Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.
1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.
2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).
Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).
3) F — определитель матрицы |X Y Z| |Z X Y| |Y Z X| Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.
Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf
BY Непрерывное математическое образование
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
He adds: "Telegram has become my primary news source." Soloviev also promoted the channel in a post he shared on his own Telegram, which has 580,000 followers. The post recommended his viewers subscribe to "War on Fakes" in a time of fake news. Either way, Durov says that he withdrew his resignation but that he was ousted from his company anyway. Subsequently, control of the company was reportedly handed to oligarchs Alisher Usmanov and Igor Sechin, both allegedly close associates of Russian leader Vladimir Putin. He floated the idea of restricting the use of Telegram in Ukraine and Russia, a suggestion that was met with fierce opposition from users. Shortly after, Durov backed off the idea. It is unclear who runs the account, although Russia's official Ministry of Foreign Affairs Twitter account promoted the Telegram channel on Saturday and claimed it was operated by "a group of experts & journalists."
from ye
