кружочек

кружочек

срочно в номер! в среду состоится внеочередное заседание кружочка! приезжайте кто успеет [9 октября (СРЕДА), 16:15, ауд. 302] Андрей Рябичев, "Константа 42 в гиперболической и комплексной геометрии" Недавно я разобрал будоражащий факт, откуда число 42 берётся…

видео вот https://www.youtube.com/watch?v=ZZYoCN_xzUg

и комментарий: в самом конце доклада Наташа повторила свой вопрос, для каких g оценка 42(2g-2) является точной. назовём их хорошими. я попробовал порассуждать и привёл два аргумента, оба из которых по-видимому неверные.

во-первых, g=2 вроде бы плохое — не существует метрики на поверхности рода 2, имеющей 84 изометрии. такая поверхность действительно разветвлённо накрывала бы сферу с коническими особенностями индексов 2, 3 и 7, но поиск такого накрытия — проблема Гурвица (а именно — представить перестановку циклового типа <2,2,...,2> на 84 элементах в виде произведения перестановки типа <3,...,3> и перестановки типа <7,...,7>), её люди решать в общем случае не умеют.

с другой стороны, есть пример для g=3, когда изометрий 168, см [Farb, Margalit. A primer on mapping class groups, самый конец §7.3]. пока я не понимаю как он устроен, круто если кто-то умеет в такие вещи и может прийти и объяснить.

а во-вторых, если поверхность S накрывает n-листно поверхность S', то не всякий гомеоморфизм S' может подниматься до гомеоморфизма S. даже если это накрытие Галуа (нормальное), образ π₁(S) же не обязательно сохраняется при гомеоморфизме S'. то есть у S по идее может быть не в n раз больше изометрий.

причём (детективная история!) Фарб-Маргалит тоже говорят, что поверхности, для которых оценка 42(2g-2) точна, можно размножать нормальными накрытиями. а этот аргумент неверен — сразу же после этого они приводят ссылку, что хороших g примерно столько же, сколько точных кубов [Michael Larsen. How often is 84(g−1) achieved?], довольно свежую, хотя я сам пока не понимаю что там написано тоже, здорово если кто-нибудь сможет разобрать и пересказать как они это делают.

вообще пишут, уже лет шестьдесят известно, что и плохих g, и хороших g бесконечно много. а конкретный результат звучит так: сумма Σ 1/g^s по всем хорошим g конечна, если s>1/3, а при s≤1/3 ряд расходится. в частности, последовательность хороших g не может содержать бесконечных арифметических прогрессий, поэтому-то размножать хорошие поверхности накрытиями не получится.

вот так, прикиньте! математика

YouTube

Андрей Рябичев, "Константа 42 в гиперболической и комплексной геометрии"

доклад на кружочке 9 октября 2024.

ссылка на анонс https://www.group-telegram.com/ye/kruzhochek179.com/567

www.group-telegram.com/ye/kruzhochek179.com/569

1.4K viewsАндрей Рябичев, Oct 9 at 19:30

видео вот https://www.youtube.com/watch?v=ZZYoCN_xzUg

и комментарий: в самом конце доклада Наташа повторила свой вопрос, для каких g оценка 42(2g-2) является точной. назовём их хорошими. я попробовал порассуждать и привёл два аргумента, оба из которых по-видимому неверные.

во-первых, g=2 вроде бы плохое — не существует метрики на поверхности рода 2, имеющей 84 изометрии. такая поверхность действительно разветвлённо накрывала бы сферу с коническими особенностями индексов 2, 3 и 7, но поиск такого накрытия — проблема Гурвица (а именно — представить перестановку циклового типа <2,2,...,2> на 84 элементах в виде произведения перестановки типа <3,...,3> и перестановки типа <7,...,7>), её люди решать в общем случае не умеют.

с другой стороны, есть пример для g=3, когда изометрий 168, см [Farb, Margalit. A primer on mapping class groups, самый конец §7.3]. пока я не понимаю как он устроен, круто если кто-то умеет в такие вещи и может прийти и объяснить.

а во-вторых, если поверхность S накрывает n-листно поверхность S', то не всякий гомеоморфизм S' может подниматься до гомеоморфизма S. даже если это накрытие Галуа (нормальное), образ π₁(S) же не обязательно сохраняется при гомеоморфизме S'. то есть у S по идее может быть не в n раз больше изометрий.

причём (детективная история!) Фарб-Маргалит тоже говорят, что поверхности, для которых оценка 42(2g-2) точна, можно размножать нормальными накрытиями. а этот аргумент неверен — сразу же после этого они приводят ссылку, что хороших g примерно столько же, сколько точных кубов [Michael Larsen. How often is 84(g−1) achieved?], довольно свежую, хотя я сам пока не понимаю что там написано тоже, здорово если кто-нибудь сможет разобрать и пересказать как они это делают.

вообще пишут, уже лет шестьдесят известно, что и плохих g, и хороших g бесконечно много. а конкретный результат звучит так: сумма Σ 1/g^s по всем хорошим g конечна, если s>1/3, а при s≤1/3 ряд расходится. в частности, последовательность хороших g не может содержать бесконечных арифметических прогрессий, поэтому-то размножать хорошие поверхности накрытиями не получится.

вот так, прикиньте! математика

BY кружочек