2) Раздел про три геометрии —
https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ —
с плакатами (и файлами для скачивания!).
И интерактивный раздел, где в модели Пуанкаре в диске можно с геометрией Лобачевского поэкспериментировать —
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ ; если справа-сверху у рисунка есть мышка с подсвеченной левой кнопкой — точки на нём можно двигать!
На скриншотах: пучок прямых, проходящих через жёлтую точку и не пересекающих белую; иллюстрации к повороту и к гиперболическому движению (сдвиг вдоль прямой); и — паркет из одинаковых правильных треугольников, сходящихся по 7 в каждой вершине + двойственный паркет из правильных семиугольников.
https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ —
с плакатами (и файлами для скачивания!).
И интерактивный раздел, где в модели Пуанкаре в диске можно с геометрией Лобачевского поэкспериментировать —
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ ; если справа-сверху у рисунка есть мышка с подсвеченной левой кнопкой — точки на нём можно двигать!
На скриншотах: пучок прямых, проходящих через жёлтую точку и не пересекающих белую; иллюстрации к повороту и к гиперболическому движению (сдвиг вдоль прямой); и — паркет из одинаковых правильных треугольников, сходящихся по 7 в каждой вершине + двойственный паркет из правильных семиугольников.
Forwarded from Математические этюды
https://etudes.ru/etudes/Dandelin-spheres/
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
Forwarded from Olimpiada.ru
📚 Сергей Валерьевич Маркелов был популяризатором науки, организатором и составителем заданий Математического праздника, автором задач Московской олимпиады школьников по математике, Турнира Городов, Турнира Ломоносова, Олимпиады по геометрии им. И.Ф. Шарыгина.
⭐️ Коллеги собрали несколько его увлекательных заданий, попробуйте решить их и вы: olimpiada.ru/article/1161
⭐️ Коллеги собрали несколько его увлекательных заданий, попробуйте решить их и вы: olimpiada.ru/article/1161
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/nir/seminar/index24.htm#markelov
16 января на семинаре учителей математики будет мини-конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова (1976–2024)
МЦНМО, с 17:45 (расписание на сайте)
приглашаются все желающие — и в этот раз возможно семинар будет интересен и старшеклассникам
16 января на семинаре учителей математики будет мини-конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова (1976–2024)
МЦНМО, с 17:45 (расписание на сайте)
приглашаются все желающие — и в этот раз возможно семинар будет интересен и старшеклассникам
Сумма внутренних углов треугольника равна π (ну или 180 градусам). Разрезав n-угольник на треугольники — легко доказать, что для него сумма равна π(n-2).
На самом деле — и то, и другое это проявление того, что сумма внешних углов равна 2π, полному обороту. (Если многоугольник выпуклый, то буквально так, если невыпуклый, то с учётом знаков.)
Потому что — представим себе, что мы обходим вокруг многоугольного забора на плоскости. В каждой вершине мы как раз поворачиваемся на соответствующий внешний угол, а суммарно делаем полный оборот.
На скриншотах — модель с сайта Математических Этюдов, иллюстрирующая это: секторы-внешние углы параллельно переносятся в одно место и собираются в полный угол.
На самом деле — и то, и другое это проявление того, что сумма внешних углов равна 2π, полному обороту. (Если многоугольник выпуклый, то буквально так, если невыпуклый, то с учётом знаков.)
Потому что — представим себе, что мы обходим вокруг многоугольного забора на плоскости. В каждой вершине мы как раз поворачиваемся на соответствующий внешний угол, а суммарно делаем полный оборот.
На скриншотах — модель с сайта Математических Этюдов, иллюстрирующая это: секторы-внешние углы параллельно переносятся в одно место и собираются в полный угол.
Математические байки
Сумма внутренних углов треугольника равна π (ну или 180 градусам). Разрезав n-угольник на треугольники — легко доказать, что для него сумма равна π(n-2). На самом деле — и то, и другое это проявление того, что сумма внешних углов равна 2π, полному обороту.…
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А
cos x = 1 - x^2/2 + …,
так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π!
Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком).
(И это не конец рассказа, конечно.)
Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного переноса, позволяющего отождествить касательные плоскости в разных точках сферы. А вектор скорости идущего вдоль забора человека — лежит в касательной плоскости в той точке, где человек сейчас находится; в частности, угол, на который он поворачивает в вершине — откладывается в касательной плоскости именно в этой вершине. А касательные плоскости в разных точках — разные.
Ну хорошо, а нельзя ли с этим что-нибудь сделать? Например: а что, если идущий человек попытается тащить касательную плоскость с собой?
Пусть он идёт вдоль пути длины L. Поделим его на N отрезков длины L/N. Человек прошёл один отрезок и перенёс касательную плоскость параллельно в R^3. Но в новой точке касательная плоскость другая — параллельно перенесённые вектора накренились на угол порядка (1/N) (точнее, (L/R) (1/N), где R — радиус сферы, но путь и сфера у нас фиксированы, а меняем мы N). Человек спохватился и что-нибудь с этим сделал — например, ортогонально спроецировал новые вектора на касательную плоскость в новой точке. («Какая ещё нормальная компонента? Вам показалось, тут ничего не было!») И так он сделал N раз.
А сильно ли у нас поменялись длины векторов к концу пути? У нас было N операций проецирования — так что на вид кажется, что сильно. Но. Каждая из них умножает длины на косинус соответствующего угла, который порядка (1/N). А
cos x = 1 - x^2/2 + …,
так что косинусы эти не просто близкие к 1, а отличаются на величину всего лишь порядка 1/N^2 ! Так что даже произведение N таких косинусов близко к 1 (логарифм у него порядка 1/N).
Итого — мы определили параллельный перенос вдоль кривой (на сфере, а на самом деле — на любой поверхности, и даже на любом многообразии, вложенном в хоть какое-нибудь R^n). И он оказался ортогональным — сохраняющим длины касательных векторов — преобразованием.
Но вот только… результат параллельного переноса будет зависеть от выбора пути! Или, что то же самое — пройдя по замкнутому пути, мы можем обнаружить (и почти всегда обнаружим), что наше касательное пространство как-то повернулось.
Собственно — для случая поверхности в R^3, именно этот поворот и есть дефект угла, то, на сколько сумма внешних углов отличается от 2π!
Потому что — представим себе, что человек обходит многоугольник, например, на сфере. Он несёт с собой касательное пространство (ну хорошо, для реалистичности — его переносную модель), и отмечает на нём свою скорость. В каждой вершине он добавляет новый сектор-угол поворота. Вернувшись в исходную точку, он получает на своей модели все сектора-углы, на которые он повернулся. И казалось бы, это полный оборот, только заканчивается их сумма в его векторе скорости сейчас, а начинается — в том же самом векторе скорости, обнесённом вокруг всего многоугольника. То есть повёрнутом параллельным переносом!
Так что на формулу, что на сфере радиуса R сумма углов треугольника равна π+(S/R^2) — можно смотреть как на утверждение, что при обходе фигуры площади S параллельный перенос приводит к повороту на S/R^2 (с правильным знаком).
(И это не конец рассказа, конечно.)
Скриншот: Математические Этюды, https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/
Математические байки
А что будет, если мы попробуем то же самое доказательство провести на сфере? (Где сумма углов треугольника уже не π — скажем, там есть равносторонний прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами!) Проблема будет в том, что у нас уже нет параллельного…
Ещё наш «параллельный перенос» можно описать, как «прокатывание» по сфере касательной плоскости без проскальзывания. А утверждение (которое мы пока не доказали!) состоит в том, что в результате такого прокатывания по границе фигуры площади S плоскость поворачивается на угол, равный S/R^2.
И мне тут вспоминался планиметр. Вообще это тема для отдельного рассказа (и коллеги о нём ещё давно писали — https://www.group-telegram.com/cme_channel/550 ), но если в двух словах, то это прибор, позволяющий найти площадь плоской фигуры. Найти — для некоторых конструкций точно, а для некоторых — приближённо.
Штука совершенно прикладная: на карте отмечена какая-то область, и мы не считаем её площадь по клеточкам, а обводим «указателем» прибора — и сразу получаем ответ. Очень удобно!
Так вот — конструкции бывают разные, но самая изящная (и связанная с «велосипедной математикой») это «топорик». Представим себе топорик с очень длинной рукоятью — или колесо на длинной же ручке, или просто велосипед с длинной рамой (у которого заднее колесо не поворачивается). Обведём кончиком рукояти (или передним колесом велосипеда) кривую. Топорище/заднее колесо может ехать только вдоль ручки — и его движение полностью задаётся тем, как движется кончик рукояти/переднее колесо.
И мне тут вспоминался планиметр. Вообще это тема для отдельного рассказа (и коллеги о нём ещё давно писали — https://www.group-telegram.com/cme_channel/550 ), но если в двух словах, то это прибор, позволяющий найти площадь плоской фигуры. Найти — для некоторых конструкций точно, а для некоторых — приближённо.
Штука совершенно прикладная: на карте отмечена какая-то область, и мы не считаем её площадь по клеточкам, а обводим «указателем» прибора — и сразу получаем ответ. Очень удобно!
Так вот — конструкции бывают разные, но самая изящная (и связанная с «велосипедной математикой») это «топорик». Представим себе топорик с очень длинной рукоятью — или колесо на длинной же ручке, или просто велосипед с длинной рамой (у которого заднее колесо не поворачивается). Обведём кончиком рукояти (или передним колесом велосипеда) кривую. Топорище/заднее колесо может ехать только вдоль ручки — и его движение полностью задаётся тем, как движется кончик рукояти/переднее колесо.
Telegram
Непрерывное математическое образование
знаете такое устройство?.. (подробности — в понедельник)
Математические байки
Ещё наш «параллельный перенос» можно описать, как «прокатывание» по сфере касательной плоскости без проскальзывания. А утверждение (которое мы пока не доказали!) состоит в том, что в результате такого прокатывания по границе фигуры площади S плоскость поворачивается…
И если мы обведём маленькую (по сравнению с длиной рукояти) кривую, ограничивающую площадь S, то топор вернётся не в исходное положение, а повернётся на какой-то угол. И угол этого поворота примерно равен S/L^2, где L — длина топорища!
Image credit: Mark Levi and Serge Tabachnikov, On bicycle tire tracks geometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks, Experiment. Math. 18:2 (2009), pp. 173-186; цветная версия иллюстрации из препринта: https://arxiv.org/abs/0801.4396 .
Image credit: Mark Levi and Serge Tabachnikov, On bicycle tire tracks geometry, hatchet planimeter, Menzin’s conjecture and oscillation of unicycle tracks, Experiment. Math. 18:2 (2009), pp. 173-186; цветная версия иллюстрации из препринта: https://arxiv.org/abs/0801.4396 .
Forwarded from Непрерывное математическое образование
На картинке — планиметр, прибор для измерения площадей. Один конец закрепляется на бумаге, другим обводят контур фигуры — и планиметр чисто механически вычисляет ее площадь.
Если думать про площадь в терминах… клеточек, которые занимает фигура или каких-то подобных, то это кажется довольно удивительным. Можно сказать, что это механическая реализация математики формулы Грина.
Это все тема несколько забытая, но какие-то тексты в интернете можно найти (1) (2) (3) (4)
Если думать про площадь в терминах… клеточек, которые занимает фигура или каких-то подобных, то это кажется довольно удивительным. Можно сказать, что это механическая реализация математики формулы Грина.
Это все тема несколько забытая, но какие-то тексты в интернете можно найти (1) (2) (3) (4)
Математические байки
На картинке — планиметр, прибор для измерения площадей. Один конец закрепляется на бумаге, другим обводят контур фигуры — и планиметр чисто механически вычисляет ее площадь. Если думать про площадь в терминах… клеточек, которые занимает фигура или каких-то…
И в дополнение к этим ссылкам (а там интересно, включая разные варианты планиметров) —
A. Kriloff, On the hatchet planimeter [О планиметрѣ-топорикѣ], 1903,
https://www.mathnet.ru/rus/im7701
A. Kriloff, On the hatchet planimeter [О планиметрѣ-топорикѣ], 1903,
https://www.mathnet.ru/rus/im7701
Продолжим? Вот этот сюжет я узнал от Григория Мерзона четыре года назад: как доказать теорему Пифагора с помощью велосипедной математики. Достаточно засунуть прямоугольный треугольник в центрифугу!
Forwarded from Математические байки (Victor Kleptsyn)
На фото (с лекции этим утром в школе "Интеллектуал"): Григорий Мерзон засовывает теорему Пифагора в блендер/центрифугу, размазывая прямоугольный треугольник до полной однородности.
Площадь πb^2 кольца, заметённого вторым катетом, равна разности площади πc^2 большого круга, заметённого гипотенузой, и площади πa^2 малого круга, заметённого первым катетом.
Площадь πb^2 кольца, заметённого вторым катетом, равна разности площади πc^2 большого круга, заметённого гипотенузой, и площади πa^2 малого круга, заметённого первым катетом.
Forwarded from Математические байки (Victor Kleptsyn)
Это — частный случай велосипедной теоремы: пусть отрезок-велосипед (у которого вершина-заднее колесо может двигаться только в направлении отрезка-рамы, а вот вершина-рулевое колесо — куда угодно) проезжает по какому-то пути и возвращается в исходное положение, сделав один "оборот". Рассмотрим кривые, по которым проехали переднее и заднее колёса, и ограничиваемые ими площади (с учётом знака и/или кратности, если кривые самопересекающиеся). Тогда разница между этими площадями равна πb^2, где b — длина рамы велосипеда.
На фото: доказательство теоремы. Путь заднего колеса приближается многоугольником, и тогда переднее едет то по прямой, то по дугам окружностей радиуса b (когда нужно повернуть), см. "сектора" на этой фотографии. И получается в точности теорема о сумме внешних углов многоугольника!
На фото: доказательство теоремы. Путь заднего колеса приближается многоугольником, и тогда переднее едет то по прямой, то по дугам окружностей радиуса b (когда нужно повернуть), см. "сектора" на этой фотографии. И получается в точности теорема о сумме внешних углов многоугольника!
Forwarded from Математические байки (Victor Kleptsyn)
А вот соответствующая статья в "Квантике" — https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/pythagoras-final.jpg (Квантик, 2019, №8; рис. — А.Вайнер)
