Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.
А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M G_n: M -> S^{d-1} гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.
Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.
Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?
*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.
Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.
А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M G_n: M -> S^{d-1} гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.
Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.
Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?
*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.
BY сладко стянул
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Telegram Messenger Blocks Navalny Bot During Russian Election Elsewhere, version 8.6 of Telegram integrates the in-app camera option into the gallery, while a new navigation bar gives quick access to photos, files, location sharing, and more. Given the pro-privacy stance of the platform, it’s taken as a given that it’ll be used for a number of reasons, not all of them good. And Telegram has been attached to a fair few scandals related to terrorism, sexual exploitation and crime. Back in 2015, Vox described Telegram as “ISIS’ app of choice,” saying that the platform’s real use is the ability to use channels to distribute material to large groups at once. Telegram has acted to remove public channels affiliated with terrorism, but Pavel Durov reiterated that he had no business snooping on private conversations. Two days after Russia invaded Ukraine, an account on the Telegram messaging platform posing as President Volodymyr Zelenskiy urged his armed forces to surrender. Since its launch in 2013, Telegram has grown from a simple messaging app to a broadcast network. Its user base isn’t as vast as WhatsApp’s, and its broadcast platform is a fraction the size of Twitter, but it’s nonetheless showing its use. While Telegram has been embroiled in controversy for much of its life, it has become a vital source of communication during the invasion of Ukraine. But, if all of this is new to you, let us explain, dear friends, what on Earth a Telegram is meant to be, and why you should, or should not, need to care.
from ye
