Разминка дня (простите) №28:
Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре (в котором все высоты пересекаются в одной точке) окружности девяти точек граней лежат на одной сфере

Разминка дня №29:

Разминка снова тематическая, ведь сегодня день рождения Лобачевского.

Разминка дня №30

Q - случайная точка плоскости. Докажите, что красные отрезки равны

Разминка дня №31.

Синие отрезки равны. Докажите параллельность красного и одного из синих.

Разминка дня №32

(окружности, которые выглядят как касающиеся - касаются)
Докажите равенство зеленых углов

Разминка дня №33

Разминка дня №34

Разминка дня №35 (авторская, мордовский муницип 10.3):

Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD такая, что AC перпендикулярно CD. E на BC такова, что ∠DAC = ∠CAE. BD пересекает AC в точке F. Докажите, что EF || CD.

Какая то переформулировка 7 с сегодняшнего комола. Выглядит забавно, но баян.

Разминка дня №36

Разминка дня №37

Разминка дня №38

Найдите все n, для которых существует выпуклый n-угольник, который можно разрезать на 3 выпуклые многоугольника, один из которых имеет меньше n сторон, второй больше n, а третий ровно n.

Разминка дня №39

Разминка дня №40

Дан равносторонний треугольник со стороной x. В нем нашлась такая точка, что расстояния до вершин 3, 4, 5. Найдите x.

Разминка №41:

Это задача с одной небезызвестной олимпиады под авторством одного из админов нашего канала, который правда ещё не нашел кнопку опубликовать)).


На окружности отмечены точки A, B, C, D, E, F (в указанном порядке), причём AB =
= BC = CD. Прямая BE пересекает прямые CF и DF в точках G и H соответственно,
а прямая AE пересекает прямые CF и BF в точках J и K соответственно. Лучи KG и
JH пересекают окружность в точках M и N, расстояние между которыми равно AB.
Докажите, что прямые GK и JH пересекаются на окружности.

Разминка дня №42 (нас попросили сделать разминки проще):

Докажите, что центр синей окружности лежит на прямой не зависящей от выбора красной

Разминка дня №43:
Прямые XP, XQ — касательные к вписанной окружности треугольника ABC. Тогда PQ — средняя линия ABC.

Разминка дня №44:

А теперь красивая задача, к которой эта разминка является леммой.

Singapore tst 2009 p5

Разминка дня №45: