Всем привет! Решил поделиться с вами несколькими несложными задачами - баянами, которые явно что то объединяет)

1. Выбрана произвольная красная точка на стороне. Докажите что пунктирная окружность проходит через фиксированную точку.

2. В треугольнике проведены 2 чевианы. Оказалось что существует синяя окружность
a) Докажите что пунктирные прямые(касательные) пересекаются на стороне треугольника
б) Докажите что все такие окружности проходят через фиксированную точку
в) Поймите что после инверсии в А это одно и тоже

3. Картинка такая же как в 2. Докажите что середины всевозможных синих отрезков лежат на фиксированной прямой(Фан факт про эту задачу: ее частный случай для р/б треугольника предлагался на МОШе за 8кл в 2024 году. я тогда ее решил(точно верно 100%) но не обосновал одну очевидную вписанность, просто отметил уголки на рисунке, которые очевидно равны ) и мне поставили -+ :(. Также эта задача в общем случае предлагалась на олимпиаде "Гроб". Прикол в том, что в моем решении с МОШа чтоб решить эту задачу в общем виде надо было просто заменить слово "равные" на "подобные")

4. Фиксирован угол, вершина угла и оранжевая окружность. На ней выбирается произвольная красная точка и по ней строятся точки на сторонах угла, для которых верно соотношение на уголочки(см картинку). Докажите что прямая, соединяющая такие 2 точки проходит через фиксированную точку.

О барицентрических координатах в популяционной генетике.

Рассмотрим некоторую популяцию в которой действует панмиксия и некоторые доминантный признак А и рецессивный а. Пусть в этой популяции расщепление по генотипу X:Y:Z. Положим x=X/(X+Y+Z), y=Y/(X+Y+Z), z=Z/(X+Y+Z).

Рассмотрим треугольник и назовем его вершины AA, Aa, aa. Тогда можно считать, что каждому расщеплению соответствует точка с нормированными барицентрическими координатами (x,y,z).

Рассмотрим что происходит с расщеплением по генотипу при переходу к следующему поколению. Заметим, что родитель с генотипом AA передаёт всегда ген А, с генотипом Аа передает А с вероятностью 1/2. Из этого имеем x'=(x+y/2)^2, y'=2(x+y/2)(z+y/2), z'=(z+y/2)^2 (*). (Подвигать это можно https://www.geogebra.org/m/sfkyyssv).

Итак мы поняли что происходит при переходе между поколениями. Рассмотрим теперь какие расщепления являются равновесными:

Из закона Харди-Вайнберга мы получаем, что равновесность (x,y,z) равносильна тому, что существуют p и q такие что p^2=x, q^2=y, p+q=1. То есть множество точек вида (t^2; 2t-2t^2; 1-2t+t^2), где t из [0;1]. Подстановкой в декартову систему координат не сложно получить, что эта фигура - часть конического сечения ограниченная треугольником. Заметим, что из зануления x следует зануление y => коника касается стороны AA Aa в точке AA. Аналогично она касается aa Aa в точке aa. Осталось заметить что также нам удовлетворяет менделеевское распределение (1/4;1/2;1/4) (В дальнейшем точка M).

Итак у нас есть 5 точек, 2 пары из которых склеенные. Угадаем что это за коническое сечение. Пусть середины AAAa и aaAa - K и L соответственно. Рассмотрим Центроид AAAaaa и на вписанную конику в AaKL с перспектором в нем (см. первую картинку). Эта коника касается сторон в точках AA и aa, также проходит через менделевское распределение, а значит это наша коника.

Пусть центроид - G. Заметим, что центр описанного эллипса Штейнера треугольника AaKL - середина AaG => G лежит на описанном эллипсе штейнера, а значит эта коника парабола!

По лемме о перспекторе Б.У. точка этой параболы - б.у. точка медианы, но тогда из изогонального свойства коник фокус этой параболы лежит на симмедиане и более того он лежит на описанной окружности AaKL, а значит это точка Болтая AAAaaa.

Если вам интересно, то напишите мне, я напишу продолжение. Анонс продолжения:

Пусть P и P' родительское и дочернее поколение, тогда
1)P' лежит на этой параболе
2) PP' параллельно медиане (см. картинка 2 или чтобы подвигать https://www.geogebra.org/m/mtjx2jym)
3) Из этого несложно получается критерий совпадения генотипов дочерних популяций.