Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств F : D —> sSets. Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора) B_{n,d} ⊆ F(d)_n, которые замкнуты относительно вырождений s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d}, и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм f : d' —> d и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества S' <—< S >—> S'', то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ..., то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми. ... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ... Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки S_n = *. Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество ... —> (n-2) —> (n-1) —> (n), составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets." (Определение свободной диаграммы §2.4. Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces." (Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization" (Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств F : D —> sSets. Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора) B_{n,d} ⊆ F(d)_n, которые замкнуты относительно вырождений s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d}, и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм f : d' —> d и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества S' <—< S >—> S'', то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ..., то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми. ... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ... Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки S_n = *. Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество ... —> (n-2) —> (n-1) —> (n), составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets." (Определение свободной диаграммы §2.4. Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces." (Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization" (Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
BY Математическая свалка Сепы
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
On Feb. 27, however, he admitted from his Russian-language account that "Telegram channels are increasingly becoming a source of unverified information related to Ukrainian events." The channel appears to be part of the broader information war that has developed following Russia's invasion of Ukraine. The Kremlin has paid Russian TikTok influencers to push propaganda, according to a Vice News investigation, while ProPublica found that fake Russian fact check videos had been viewed over a million times on Telegram. This ability to mix the public and the private, as well as the ability to use bots to engage with users has proved to be problematic. In early 2021, a database selling phone numbers pulled from Facebook was selling numbers for $20 per lookup. Similarly, security researchers found a network of deepfake bots on the platform that were generating images of people submitted by users to create non-consensual imagery, some of which involved children. "We as Ukrainians believe that the truth is on our side, whether it's truth that you're proclaiming about the war and everything else, why would you want to hide it?," he said. That hurt tech stocks. For the past few weeks, the 10-year yield has traded between 1.72% and 2%, as traders moved into the bond for safety when Russia headlines were ugly—and out of it when headlines improved. Now, the yield is touching its pandemic-era high. If the yield breaks above that level, that could signal that it’s on a sustainable path higher. Higher long-dated bond yields make future profits less valuable—and many tech companies are valued on the basis of profits forecast for many years in the future.
from ar
