Несложная задача на вечер

Просто красивая задача

Обобщение задачи сверху
Р и Q — изогонально сопряженные точки

Приглашаю поботать к региону на бесплатном недельном курсе, где тебя ждет:

• 4 интенсивных занятия с главными темами

• Преподовательский состав из сильных олимпиадников:
Даниил Козлов – комбинаторика
Станислав Кузнецов – геометрия
Тимофей Бакшеев – теория чисел

•Стримы консультации с преподавателями

• Пробная олимпиада в формате РЭ и разбор

• Ламповый чатик - там можно вместе поботать/отдохнуть



🔗 Подробности – тут

По запросам – сложная задача

Точка О – центр описанной окружности вписанно-описанного четырёхугольника ABCD. Точки I – центры вписанных окружностей треугольников, соответствующих индексам точек I.
(!) Точки I коцикличны

Вечерняя разминка

Точки M, N – середины сторон AB и BC треугольника АВС, точка G – его центроид. На дуге MN окружности (MNB) выбирается точка P, точка Q на PG такова, что PG : QG = 1 : 2 (P и Q по разные стороны от G). Точка D на прямой BP такова, что ∠ABC = ∠ADC. Точка E на окружности (ABC) такова, что QE || BD.
(!) BQ = DE

Теперь к разминкам, которые никем не были решены, через какое-то небольшое время будут появляться подсказки!

На этот раз добрая разминка!

Утренняя разминка!

На сфере с диаметром MN выбрали точки А, В, С. Оказалось, что точка N лежит на описанной окружности треугольника ABC и AN = BN.
(!) ∠ACM = ∠BCM

Честно говоря, до вчерашнего дня знал этот факт только для биссектрис (получается, что O, Ap1, Ap2 на одной прямой). Оказывается, он верен для любых чевиан.

Красные окружности построены как на диаметрах
(!) Соосность красных окружностей
(!) Их рад. ось проходит через О

Хороший листик на эту тему и подсказка:
Рад. ось двух окружностей - это ГМТ центров окружностей, перпендикулярных им (без отрезка внутри окружностей, если он есть).

Осенний тургор 2023 или же новая разминка

Утренняя разминка

И хороший листик на степень точки.
Задачи 1-7 подойдут для начинающих, задачи 8+ будут интересны всем.

Задача 60:
Автор - GeoGen, Пётр Ким

В выпуклом четырёхугольнике ABCD E - точка пересечения диагоналей. F - точка пересечения лучей AB и DC. Точка X - E-точка Шалтая треугольника AED, а точка Y - E-точка Шалтая треугольника BEC.
Доказать, что (XEY) касается FE.

На этот раз пост будет необычным.
Хочу рассказать об игре Graphwar, в которую я играю со своими одноклассниками уже 2 года.

В чём смысл игры
Игровая плоскость разделена на 2 части, граница между которыми проходит по оси ординат: на одной полуплоскости спавнятся игроки синей команды, а другой красной. Задача каждой команды - уничтожить всех игроков противоположной команды с помощью графиков функций. На карте рандомным образом генерируются препятствия, через которые график пройти не может.

Где скачать
На стиме или на сайте игры

http://www.graphwar.com/tutorial.html - подробное описание игры
https://store.steampowered.com/app/1899700/Graphwar/ - graphwar в стиме
https://youtu.be/EHuQe7SKwkA?feature=shared - 1ый туториал
https://youtu.be/E_MmkxTO5kg?feature=shared - 2ой туториал

Также приклепил файл для копипасты с основными функциями из видео и парочкой от меня.

В качестве вечерней разминки предлагается понять, почему все эти графики правда так выглядят, и построить на их основе график головы котика.

Разминка перед ЮМШ

(!) Касательная параллельна боковой стороне треугольника

Всем удачи сегодня на туре!

Пусть Н - точка пересечения высот ортоцентрического тетраэдра ABCD. Его высота DP вторично пересекает его описанную сферу в точке Q.
(!) 2HP = PQ

ЮМШ 2024

На стороне ВС треугольника ABC с площадью S выбрана точка D. Точки E и F на сторонах AB и АС таковы, что AEDF – параллелограмм.
(!) Найдите площадь фиругы, ограниченной всеми прямыми EF и прямой BC

Видимо теперь в канале будут появляться разминки по матану...

Утренняя предразминка!

Правда ли, что существует невыпуклый многогранник без дырок, вписанный в сферу?

А теперь разминка

Синяя точка на стороне треугольника произвольная, синяя точка на дуге окружности тоже
(!) Равенство выделенных углов