И вновь представляем вашему вниманию самую длинную и самую сюжетную задачу, но уже кубка Колмогорова, от Леонида Максимовича🤴⚔
Задача. В королевстве живут рыцари, сила каждого — целое число от 1 до 10⁶.
Если два рыцаря вступают в бой, то каждый рыцарь, который не сильнее соперника или для которого это третий бой, погибает. Если же рыцарь не удовлетворяет этим условиям, то он выживает.
Король выбирает последовательность сил 𝑎₁ ≤ 𝑎₂ ≤ · · · ≤ 𝑎ₙ, берёт две группы рыцарей, у которых такие силы, и выстраивает каждую группу в шеренгу по неубыванию силы (слева направо), одна справа от другой. Затем два рыцаря из разных групп, оказавшиеся рядом, вступают в бой. После окончания боя снова два соседних рыцаря из разных групп вступают в бой, и т.д.
Пусть 𝑓 (𝑛) — количество последовательностей 𝑎₁ ≤ 𝑎₂ ≤ · · · ≤ 𝑎ₙ, для которых в результате этого процесса не останется живых рыцарей.
Докажите, что 𝑓 (4𝑘 + 1) = 𝑓 (4𝑘 + 2) = 𝑓 (4𝑘 + 3) для любого натурального 𝑘.
Задача. В королевстве живут рыцари, сила каждого — целое число от 1 до 10⁶.
Если два рыцаря вступают в бой, то каждый рыцарь, который не сильнее соперника или для которого это третий бой, погибает. Если же рыцарь не удовлетворяет этим условиям, то он выживает.
Король выбирает последовательность сил 𝑎₁ ≤ 𝑎₂ ≤ · · · ≤ 𝑎ₙ, берёт две группы рыцарей, у которых такие силы, и выстраивает каждую группу в шеренгу по неубыванию силы (слева направо), одна справа от другой. Затем два рыцаря из разных групп, оказавшиеся рядом, вступают в бой. После окончания боя снова два соседних рыцаря из разных групп вступают в бой, и т.д.
Пусть 𝑓 (𝑛) — количество последовательностей 𝑎₁ ≤ 𝑎₂ ≤ · · · ≤ 𝑎ₙ, для которых в результате этого процесса не останется живых рыцарей.
Докажите, что 𝑓 (4𝑘 + 1) = 𝑓 (4𝑘 + 2) = 𝑓 (4𝑘 + 3) для любого натурального 𝑘.
#геом_разминка
Задача. Окружности 𝑠₁ и 𝑠₂ касаются внешним образом. Их линия центров пересекает 𝑠₁ в точках 𝐴 и 𝑃, и пересекает 𝑠₂ в точках 𝐵 и 𝑃. Общая внешняя касательная касается 𝑠₁ и 𝑠₂ в точках 𝐴₁ и 𝐵₁ соответственно. Прямые 𝐴𝐴₁ и 𝐵𝐵₁ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 является общей касательной для 𝑠₁ и 𝑠₂.
Желаем вам больше приятных задач по геометрии и не только 📚
Задача. Окружности 𝑠₁ и 𝑠₂ касаются внешним образом. Их линия центров пересекает 𝑠₁ в точках 𝐴 и 𝑃, и пересекает 𝑠₂ в точках 𝐵 и 𝑃. Общая внешняя касательная касается 𝑠₁ и 𝑠₂ в точках 𝐴₁ и 𝐵₁ соответственно. Прямые 𝐴𝐴₁ и 𝐵𝐵₁ пересекаются в точке 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 является общей касательной для 𝑠₁ и 𝑠₂.
Желаем вам больше приятных задач по геометрии и не только 📚
#колм
Сегодня на турнире Колмогорова выходной, но мы не оставим вас без классной задачки на вечер. Заваривайте чай🫖 и устраивайтесь поудобнее: вот геома со вчерашних боев высшей лиги 🔥
Задача. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 на плоскости таковы, что каждая из четвёрок (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷), (𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ), (𝐸, 𝐹, 𝐴, 𝐵) лежит на одной окружности, и все эти окружности различны. Оказалось, что 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐸, 𝐵𝐶 ⊥ 𝐸𝐹, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐹 𝐴. Прямые 𝐵𝐶, 𝐷𝐸, 𝐹𝐴 образуют треугольник 𝑇₁, а прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 — треугольник 𝑇₂. Докажите, что их описанные окружности касаются.
Сегодня на турнире Колмогорова выходной, но мы не оставим вас без классной задачки на вечер. Заваривайте чай
Задача. Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 на плоскости таковы, что каждая из четвёрок (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷), (𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ), (𝐸, 𝐹, 𝐴, 𝐵) лежит на одной окружности, и все эти окружности различны. Оказалось, что 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐸, 𝐵𝐶 ⊥ 𝐸𝐹, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐹 𝐴. Прямые 𝐵𝐶, 𝐷𝐸, 𝐹𝐴 образуют треугольник 𝑇₁, а прямые 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 — треугольник 𝑇₂. Докажите, что их описанные окружности касаются.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, вписанном в окружность с центром 𝑂 проведены высоты 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹. Докажите, что отрезки 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷, 𝑂𝐸, 𝑂𝐹 разрезают треугольник 𝐴𝐵𝐶 на три пары равновеликих треугольников.
За картинкой бегите в комментарии 🏃♂➡️
Желаем вам доброго утра и выспаться на парах🧦 🧦 🧦
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, вписанном в окружность с центром 𝑂 проведены высоты 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹. Докажите, что отрезки 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷, 𝑂𝐸, 𝑂𝐹 разрезают треугольник 𝐴𝐵𝐶 на три пары равновеликих треугольников.
За картинкой бегите в комментарии 🏃♂➡️
Желаем вам доброго утра и выспаться на парах
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#колм #красота_спасет_мир
Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥
Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.
Подошел к концу третий день турнира Колмогорова, и мы, как обычно, радуем вас задачами с него 💥
Задача. На сторонах 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐴₁, 𝐵₁ и 𝐶₁ соответственно. Четырёхугольники 𝐴𝐵₁𝐴₁𝐶₁, 𝐵𝐶₁𝐵₁𝐴₁ и 𝐶𝐴₁𝐶₁𝐵₁ описаны около окружностей с центрами 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 и 𝐼𝑐 соответственно. Докажите, что площади треугольников 𝐴₁𝐵₁𝐶₁ и 𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐 отличаются в четыре раза.
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐾 и 𝐼 — середины сторон 𝑁𝑂 и 𝑂𝑊 выпуклого четырехугольника 𝑆𝑁𝑂𝑊. Максимизируйте площадь 𝑆𝑁𝑂𝑊, если длина ломаной 𝑆𝐾𝐼 (𝑆𝐾 + 𝑆𝐼) равна единице.
С первым днем зимы ☃️ Желаем вам весело провести это чудесное время года ⛷🛷⛸🏒
Задача. Пусть 𝐾 и 𝐼 — середины сторон 𝑁𝑂 и 𝑂𝑊 выпуклого четырехугольника 𝑆𝑁𝑂𝑊. Максимизируйте площадь 𝑆𝑁𝑂𝑊, если длина ломаной 𝑆𝐾𝐼 (𝑆𝐾 + 𝑆𝐼) равна единице.
С первым днем зимы ☃️ Желаем вам весело провести это чудесное время года ⛷🛷⛸🏒
#колм #красота_спасет_мир
Подошел к концу турнир Колмогорова, и в его финале ⚔ была предложена бомбическая 💣 геометрия от нашего подписчика Даниила Игнатьева 😎
Предлагаем вашему вниманию полную версию этой задачи 🔥 Ходят слухи 🦻, что доказать одну из параллельностей чисто геометрически пока никто не справился: ни автор, ни даже составители кубка 🤯
Задача. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐹 и 𝐸 соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐸𝐹 пересекаются в точках 𝐴 и 𝑋. Прямые 𝐴𝑋 и 𝐸𝐹 пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑊 — середина дуги 𝐵𝐴𝐶. Точка 𝑅 изогонально сопряжена точке 𝐴 относительно треугольника 𝐸𝐹𝑊. Пусть 𝑄 — изогонально сопряжена 𝑃 относительно 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑄𝑊 ‖ 𝑃𝑅 ‖ 𝐵𝐶.
Подошел к концу турнир Колмогорова, и в его финале ⚔ была предложена бомбическая 💣 геометрия от нашего подписчика Даниила Игнатьева 😎
Предлагаем вашему вниманию полную версию этой задачи 🔥 Ходят слухи 🦻, что доказать одну из параллельностей чисто геометрически пока никто не справился: ни автор, ни даже составители кубка 🤯
Задача. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐹 и 𝐸 соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐸𝐹 пересекаются в точках 𝐴 и 𝑋. Прямые 𝐴𝑋 и 𝐸𝐹 пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑊 — середина дуги 𝐵𝐴𝐶. Точка 𝑅 изогонально сопряжена точке 𝐴 относительно треугольника 𝐸𝐹𝑊. Пусть 𝑄 — изогонально сопряжена 𝑃 относительно 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑄𝑊 ‖ 𝑃𝑅 ‖ 𝐵𝐶.
#геом_разминка #колм
Задача. Точка 𝑂𝑎 – середина дуги 𝐵𝐶 описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, не содержащей точку 𝐴. Окружность 𝜔𝑎 с центром в точке 𝑂𝑎 касается прямой 𝐵𝐶. Окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐 определяются аналогично. К окружностям 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐 проведена общая внешняя касательная 𝑙𝑎, относительно которой эти окружности и отрезок 𝐵𝐶 лежат в разных полуплоскостях. Прямые 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐 определяются аналогично. Докажите, что прямые 𝑙𝑎, 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐 пересекаются в одной точке.
Желаем продуктивно начать эту неделю😇
Задача. Точка 𝑂𝑎 – середина дуги 𝐵𝐶 описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, не содержащей точку 𝐴. Окружность 𝜔𝑎 с центром в точке 𝑂𝑎 касается прямой 𝐵𝐶. Окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐 определяются аналогично. К окружностям 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐 проведена общая внешняя касательная 𝑙𝑎, относительно которой эти окружности и отрезок 𝐵𝐶 лежат в разных полуплоскостях. Прямые 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐 определяются аналогично. Докажите, что прямые 𝑙𝑎, 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐 пересекаются в одной точке.
Желаем продуктивно начать эту неделю
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#колм #красота_спасет_мир
Завершился кубок Колмогорова личной олимпиадой🥇 Публикуем ее условия 📝
Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 вписана в окружность 𝜔. Диагонали трапеции пересекаются в точке 𝐾. На лучах 𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 выбраны точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что отрезок 𝑋𝑌 касается 𝜔 в своей середине 𝑍. Докажите, что 𝑍 лежит на продолжении средней линии трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Завершился кубок Колмогорова личной олимпиадой
Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 вписана в окружность 𝜔. Диагонали трапеции пересекаются в точке 𝐾. На лучах 𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 выбраны точки 𝑋 и 𝑌 соответственно так, что отрезок 𝑋𝑌 касается 𝜔 в своей середине 𝑍. Докажите, что 𝑍 лежит на продолжении средней линии трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Про выпуклый пятиугольник 𝑅𝐴𝐷𝑂𝑆 известно, что 𝑅𝑆 = 𝑆𝑂 и ∠𝐴𝑅𝑆 = ∠𝐷𝑂𝑆 = 90°. Внутри 𝑅𝐴𝐷𝑂𝑆 взята точка 𝑇 так, что 𝑅𝑇 ⊥ 𝐴𝑆 и 𝑇𝑂 ⊥ 𝐷𝑆. Докажите, что 𝑆𝑇 ⊥ 𝐴𝐷.
Желаем вам больше радости в жизни 😊
Задача. Про выпуклый пятиугольник 𝑅𝐴𝐷𝑂𝑆 известно, что 𝑅𝑆 = 𝑆𝑂 и ∠𝐴𝑅𝑆 = ∠𝐷𝑂𝑆 = 90°. Внутри 𝑅𝐴𝐷𝑂𝑆 взята точка 𝑇 так, что 𝑅𝑇 ⊥ 𝐴𝑆 и 𝑇𝑂 ⊥ 𝐷𝑆. Докажите, что 𝑆𝑇 ⊥ 𝐴𝐷.
Желаем вам больше радости в жизни 😊
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник. Точки 𝑋 и 𝑌 лежат на отрезках 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно, так что 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌, а отрезок 𝑋𝑌 проходит через ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Касательные к описанной окружности треугольника 𝐴𝑋𝑌 в точках 𝑋 и 𝑌 пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 лежат на одной окружности.
Желаем вам поменьше тревог и волнений 🌊
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник. Точки 𝑋 и 𝑌 лежат на отрезках 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно, так что 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌, а отрезок 𝑋𝑌 проходит через ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Касательные к описанной окружности треугольника 𝐴𝑋𝑌 в точках 𝑋 и 𝑌 пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 лежат на одной окружности.
Желаем вам поменьше тревог и волнений 🌊
#разминка
Задача. Пусть 53ⁿ + 22ⁿ делится на 101. Докажите, что 5ⁿ + 44ⁿ тоже делится на 101.
Желаем вам добра ❤️
Задача. Пусть 53ⁿ + 22ⁿ делится на 101. Докажите, что 5ⁿ + 44ⁿ тоже делится на 101.
Желаем вам добра ❤️
#геом_разминка
Задача. В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶) на сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐵 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно так, что 𝑃𝑄 перпендикулярно 𝐴𝐵 и 𝑃𝑄 делит периметр треугольника пополам. Докажите, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃.
Желаем вам здоровья 💊
Задача. В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶) на сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐵 отмечены точки 𝑃 и 𝑄 соответственно так, что 𝑃𝑄 перпендикулярно 𝐴𝐵 и 𝑃𝑄 делит периметр треугольника пополам. Докажите, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃.
Желаем вам здоровья 💊
#геом_разминка
Задача. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 во внешнюю сторону построены подобные прямоугольные треугольники 𝐴𝐷𝐵 и 𝐶𝐸𝐵. Докажите, что точки 𝐷 и 𝐸 равноудалены относительно середины отрезка 𝐴𝐶.
Желаем чтобы вам все было ясно даже в самую пасмурную погоду ⛅️
Задача. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 во внешнюю сторону построены подобные прямоугольные треугольники 𝐴𝐷𝐵 и 𝐶𝐸𝐵. Докажите, что точки 𝐷 и 𝐸 равноудалены относительно середины отрезка 𝐴𝐶.
Желаем чтобы вам все было ясно даже в самую пасмурную погоду ⛅️