#геом_разминка
Успехов всем участникам всеросса на втором туре 🤞
Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶 вписана в окружность Ω. Пусть 𝑀 середина дуги 𝐴𝐷, не содержащей точки 𝐵, окружности Ω. Пусть 𝑁 середина дуги 𝐵𝐶, не содержащей точки 𝐴, окружности Ω. Вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐶 окружность касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝑋, вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐷 окружность касатеся стороны 𝐴𝐷 в точке 𝑌. Докажите, что прямые 𝑀𝑌 и 𝑁𝑋 пересекаются на Ω.
Успехов всем участникам всеросса на втором туре 🤞
Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶 вписана в окружность Ω. Пусть 𝑀 середина дуги 𝐴𝐷, не содержащей точки 𝐵, окружности Ω. Пусть 𝑁 середина дуги 𝐵𝐶, не содержащей точки 𝐴, окружности Ω. Вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐶 окружность касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝑋, вписанная в треугольник 𝐴𝐵𝐷 окружность касатеся стороны 𝐴𝐷 в точке 𝑌. Докажите, что прямые 𝑀𝑌 и 𝑁𝑋 пересекаются на Ω.
Завершился второй тур олимпиады. В 9 и 10 классах была вот такая интерсная геома на последней позиции. Как вам?
Задача. На периметре треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐸₁, 𝐸₂, 𝐹₁, 𝐹₂ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке 𝐴, 𝐹₁, 𝐹₂, 𝐵, 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐶, 𝐸₁, 𝐸₂. Оказалось, что 𝐴𝐷₁ = 𝐴𝐷₂ = 𝐵𝐸₁ = 𝐵𝐸₂ = 𝐶𝐹₁ = 𝐶𝐹₂. Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых 𝐴𝐷₁, 𝐵𝐸₁, 𝐶𝐹₁ и 𝐴𝐷₂, 𝐵𝐸₂, 𝐶𝐹₂ равны.
Задача. На периметре треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны точки 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐸₁, 𝐸₂, 𝐹₁, 𝐹₂ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке 𝐴, 𝐹₁, 𝐹₂, 𝐵, 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐶, 𝐸₁, 𝐸₂. Оказалось, что 𝐴𝐷₁ = 𝐴𝐷₂ = 𝐵𝐸₁ = 𝐵𝐸₂ = 𝐶𝐹₁ = 𝐶𝐹₂. Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых 𝐴𝐷₁, 𝐵𝐸₁, 𝐶𝐹₁ и 𝐴𝐷₂, 𝐵𝐸₂, 𝐶𝐹₂ равны.
Финал_Решения_Тур_2.pdf
349.6 KB
А вот и книжечка 📙 с решениями второго дня
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Милый факт по мотивам задачи 10.2 финала. Справитесь доказать без длинных перебрасываний углов? Расшифруете связь 📶 с исходной задачей? Ваши версии ждем в комментах👇
Задача. Две окружности 𝜔₁ с центром в 𝑂₁ и 𝜔₂ с центром в 𝑂₂ вписаны в угол 𝛾 с вершиной 𝑂 (притом у 𝜔₁ радиус меньше чем у 𝜔₂). Через 𝑂 проведены прямые 𝑙₁ и 𝑙₂. Точки 𝑃₂ и 𝑄₂ — пересечения 𝑙₁ и 𝑙₂ с меньшей из двух дуг 𝜔₂ с концами в точках касания 𝜔₂ со сторонами угла 𝛾. Точки 𝑃₁ и 𝑄₁ — пересечения 𝑙₁ и 𝑙₂ с большей из двух дуг 𝜔₁ с концами в точках касания 𝜔₁ со сторонами угла 𝛾. Докажите, что существует окружность, касающаяся 𝑂₁𝑃₁, 𝑂₁𝑄₁, 𝑂₂𝑃₂ и 𝑂₂𝑄₂.
Милый факт по мотивам задачи 10.2 финала. Справитесь доказать без длинных перебрасываний углов? Расшифруете связь 📶 с исходной задачей? Ваши версии ждем в комментах👇
Задача. Две окружности 𝜔₁ с центром в 𝑂₁ и 𝜔₂ с центром в 𝑂₂ вписаны в угол 𝛾 с вершиной 𝑂 (притом у 𝜔₁ радиус меньше чем у 𝜔₂). Через 𝑂 проведены прямые 𝑙₁ и 𝑙₂. Точки 𝑃₂ и 𝑄₂ — пересечения 𝑙₁ и 𝑙₂ с меньшей из двух дуг 𝜔₂ с концами в точках касания 𝜔₂ со сторонами угла 𝛾. Точки 𝑃₁ и 𝑄₁ — пересечения 𝑙₁ и 𝑙₂ с большей из двух дуг 𝜔₁ с концами в точках касания 𝜔₁ со сторонами угла 𝛾. Докажите, что существует окружность, касающаяся 𝑂₁𝑃₁, 𝑂₁𝑄₁, 𝑂₂𝑃₂ и 𝑂₂𝑄₂.
#геом_разминка
Публикуем еще одну задачку по мотивам 10.2 этого года. Сможете решить без движения 🏃точек?
Задача. Дан вписанный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝑃. Точки 𝑄 и 𝑅 внутри четырехугольника взяты так, что 𝐵𝑄 = 𝑄𝐶, 𝐴𝑅 = 𝑅𝐷 и точки 𝑃, 𝑄 и 𝑅 лежат на одной прямой. Докажите, что ∠𝑄𝐵𝐴 = ∠𝑅𝐴𝐵.
Всем вкусных куличей и хорошего настроения! 😊
Публикуем еще одну задачку по мотивам 10.2 этого года. Сможете решить без движения 🏃точек?
Задача. Дан вписанный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝑃. Точки 𝑄 и 𝑅 внутри четырехугольника взяты так, что 𝐵𝑄 = 𝑄𝐶, 𝐴𝑅 = 𝑅𝐷 и точки 𝑃, 𝑄 и 𝑅 лежат на одной прямой. Докажите, что ∠𝑄𝐵𝐴 = ∠𝑅𝐴𝐵.
Всем вкусных куличей и хорошего настроения! 😊
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐵𝑄 — его высота. Параллельная 𝑂𝐶 прямая, проходящая через 𝑄, пересекает прямую 𝐵𝑂 в точке 𝑋. Докажите, что точка 𝑋 и середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 лежат на одной прямой.
Предлагаем в комментах👇 продолжить фразу: «Вы все уже…»
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐵𝑄 — его высота. Параллельная 𝑂𝐶 прямая, проходящая через 𝑄, пересекает прямую 𝐵𝑂 в точке 𝑋. Докажите, что точка 𝑋 и середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 лежат на одной прямой.
Предлагаем в комментах👇 продолжить фразу: «Вы все уже…»
#геом_разминка
Задача. Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 и дугой 𝐵𝐶 некоторой окружности. Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам площадь этой фигуры
Задача. Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 и дугой 𝐵𝐶 некоторой окружности. Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам площадь этой фигуры
Внимание :) Новости 18+
Наши друзья — тг-канал Кроссворд Тьюринга — организуют Matema-fest. Это неформальный науч-поп фестиваль с топовыми спикерами: В числе выступающих Андрей Райгородский, Сергей Дориченко, Федор Нилов и многие другие.
Мероприятие пройдет 27 апреля в клубе Лахесис. Успейте купить билеты!!
К сожалению 18+, но всех студентов и взрослых будем рады встретить на фестивале. Да-да, сами мы не устояли и тоже идем :)
Наши друзья — тг-канал Кроссворд Тьюринга — организуют Matema-fest. Это неформальный науч-поп фестиваль с топовыми спикерами: В числе выступающих Андрей Райгородский, Сергей Дориченко, Федор Нилов и многие другие.
Мероприятие пройдет 27 апреля в клубе Лахесис. Успейте купить билеты!!
К сожалению 18+, но всех студентов и взрослых будем рады встретить на фестивале. Да-да, сами мы не устояли и тоже идем :)
#геом_разминка #в_стране_чудес
Задача. В Стране Чудес в течении дня в одной аудитории проходит бесконечно много лекций по барикам. Слушает эти лекции только 𝑛 мудрецов (состав слушателей не меняется), среди которых есть грязные. Каждый мудрец видит грязь на лицах других, а на своем — нет. Преподаватель на первой лекции сообщил: «Дорогие мудрецы! Cреди вас есть грязные, пожалуйста, пойдите и умойтесь между лекциями.» Мудрецы хотят выполнить это указание, но не хотят вставать со своего места зря, так что выходят из аудитории, только когда уверены, что они грязные.
Что произойдёт, если
а) грязный один?
б) если грязных будет 2025?
Желаем вам только чистых 🧽 решений, но без всякой воды 💦
Задача. В Стране Чудес в течении дня в одной аудитории проходит бесконечно много лекций по барикам. Слушает эти лекции только 𝑛 мудрецов (состав слушателей не меняется), среди которых есть грязные. Каждый мудрец видит грязь на лицах других, а на своем — нет. Преподаватель на первой лекции сообщил: «Дорогие мудрецы! Cреди вас есть грязные, пожалуйста, пойдите и умойтесь между лекциями.» Мудрецы хотят выполнить это указание, но не хотят вставать со своего места зря, так что выходят из аудитории, только когда уверены, что они грязные.
Что произойдёт, если
а) грязный один?
б) если грязных будет 2025?
Желаем вам только чистых 🧽 решений, но без всякой воды 💦
Фулл и точка
#геома_блин В последний день Масленицы мы побывали в самой ее столице — Ярославле 🐻 Передаем вам пламенный привет с сожжения чучела зимы 🔥 А еще вот классная задача с вчерашней регаты (в нашей обработке:) Задача. На круглой сковородке изображен равнобедренный…
Сегодня вспоминаем нашу поездку в Ярославль 🧸 — столицу Масленицы 🥞
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. Пусть 𝑀 — середина дуги 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 — взяты на 𝐴𝐷 и 𝐷𝐶 так, что 𝐸𝑀 = 𝐹𝑀 = 𝐷𝑀. Докажите, что ∠𝐴𝐵𝐸 = ∠𝐹𝐵𝐶
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. Пусть 𝑀 — середина дуги 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 — взяты на 𝐴𝐷 и 𝐷𝐶 так, что 𝐸𝑀 = 𝐹𝑀 = 𝐷𝑀. Докажите, что ∠𝐴𝐵𝐸 = ∠𝐹𝐵𝐶
#разминка #лингво
Даны математические выражения с числительными языка на'ви, созданного для фильма «Аватар» (2009) лингвистом Полом Фроммером.
Известно, что все числа натуральные и не превышают 100.
1. pxey + kinä = vomun
2. tsing + mrr = volaw
3. tsing × mrr = mevosing
4. vol × vol = zam
5. mune × mune = tsing
6. 'aw + mrr = pukap
7. puvomun : vomun = mrr
8. zamun - mrrvosing = mevofu
9. tsivol + tsivohin = zahin
10. zam vopey - kivomrr = vofu
11. vosing × mrr = kivosing
12. zam tsivopey : tsivolaw = pxey
Задание 1. Запишите выражения числами. Кратко поясните Ваше решение.
Задание 2. Как переводится с языка на'ви числительное mezazam pxevozam puzam volaw?
Задание 3. Предположите, какая физиологическая особенность народа на'ви с планеты Пандора нашла отражение в его языке.
Примечание. px, ts, ' - особые согласные, rr - особый гласный языка на'ви. Знакомство с фильмом «Аватар» для решения задачи не требуется.
Даны математические выражения с числительными языка на'ви, созданного для фильма «Аватар» (2009) лингвистом Полом Фроммером.
Известно, что все числа натуральные и не превышают 100.
1. pxey + kinä = vomun
2. tsing + mrr = volaw
3. tsing × mrr = mevosing
4. vol × vol = zam
5. mune × mune = tsing
6. 'aw + mrr = pukap
7. puvomun : vomun = mrr
8. zamun - mrrvosing = mevofu
9. tsivol + tsivohin = zahin
10. zam vopey - kivomrr = vofu
11. vosing × mrr = kivosing
12. zam tsivopey : tsivolaw = pxey
Задание 1. Запишите выражения числами. Кратко поясните Ваше решение.
Задание 2. Как переводится с языка на'ви числительное mezazam pxevozam puzam volaw?
Задание 3. Предположите, какая физиологическая особенность народа на'ви с планеты Пандора нашла отражение в его языке.
Примечание. px, ts, ' - особые согласные, rr - особый гласный языка на'ви. Знакомство с фильмом «Аватар» для решения задачи не требуется.
#геом_разминка
Задача. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐷 — основание высоты из прямого угла 𝐶. На отрезке 𝐶𝐷 выбрана точка 𝑋. На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐵𝑋 выбраны такие точки 𝐾 и 𝐿, что 𝐵𝐾 = 𝐵𝐶 и 𝐴𝐿 = 𝐴𝐶. Окружность (𝐷𝐾𝐿) пересекает 𝐴𝐵 второй раз в точке 𝑇, отличной от 𝐷. Докажите, что ∠𝐴𝐶𝑇 = ∠𝐵𝐶𝑇.
Задача. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐷 — основание высоты из прямого угла 𝐶. На отрезке 𝐶𝐷 выбрана точка 𝑋. На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐵𝑋 выбраны такие точки 𝐾 и 𝐿, что 𝐵𝐾 = 𝐵𝐶 и 𝐴𝐿 = 𝐴𝐶. Окружность (𝐷𝐾𝐿) пересекает 𝐴𝐵 второй раз в точке 𝑇, отличной от 𝐷. Докажите, что ∠𝐴𝐶𝑇 = ∠𝐵𝐶𝑇.
#геом_разминка
Задача. Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на картинке в комментах👇 одного радиуса, треугольник – равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника – диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?
Желаем вам хорошего настроения 😊
Задача. Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на картинке в комментах👇 одного радиуса, треугольник – равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника – диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?
Желаем вам хорошего настроения 😊
#геом_разминка
Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 с описанной окружностью Γ. Пусть 𝑀 — точка Γ, принадлежащая той дуге 𝐶𝐷, которая не содержит 𝐴. Точки 𝑃 и 𝑅 — соответственно точки пересечения 𝐴𝑀 с 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷, 𝑄 и 𝑆 — соответственно точки пересечения 𝐵𝑇𝑊 с 𝐴𝐶 и 𝐷𝐶. Докажите, что 𝑃𝑆 и 𝑄𝐵 перпендикулярны.
Задача. Дан квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 с описанной окружностью Γ. Пусть 𝑀 — точка Γ, принадлежащая той дуге 𝐶𝐷, которая не содержит 𝐴. Точки 𝑃 и 𝑅 — соответственно точки пересечения 𝐴𝑀 с 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷, 𝑄 и 𝑆 — соответственно точки пересечения 𝐵𝑇𝑊 с 𝐴𝐶 и 𝐷𝐶. Докажите, что 𝑃𝑆 и 𝑄𝐵 перпендикулярны.
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 и 𝐴𝐻 — биссектриса и высота, проведенные из вершины 𝐴. Серединный перпендикуляр к 𝐴𝐷 пересекает лежащие снаружи треугольника 𝐴𝐵𝐶 дуги окружностей, постренных на отрезках 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 как на диаметрах, в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что четырехугольник 𝑋𝑌𝐷𝐻 вписанный.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 и 𝐴𝐻 — биссектриса и высота, проведенные из вершины 𝐴. Серединный перпендикуляр к 𝐴𝐷 пересекает лежащие снаружи треугольника 𝐴𝐵𝐶 дуги окружностей, постренных на отрезках 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 как на диаметрах, в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что четырехугольник 𝑋𝑌𝐷𝐻 вписанный.