#геом_разминка
Задача. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐷, 𝐸, 𝐹 соответственно. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает прямые 𝐷𝐸 и 𝐷𝐹 в точках 𝑃 и 𝑄. Окружность, построенная на 𝑃𝑄 как на диаметре, пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что окружность 𝐴𝑋𝑌 касается вписанной и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐷, 𝐸, 𝐹 соответственно. Биссектриса угла 𝐵𝐴𝐶 пересекает прямые 𝐷𝐸 и 𝐷𝐹 в точках 𝑃 и 𝑄. Окружность, построенная на 𝑃𝑄 как на диаметре, пересекает отрезок 𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что окружность 𝐴𝑋𝑌 касается вписанной и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶.
#геом_разминка
Задача. К окружностям 𝑆₁ и 𝑆₂ с центрами 𝑂₁ и 𝑂₂ проведены общие внешние касательные 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 (точки 𝐴 и 𝐶 лежат на окружности 𝑆₁, а 𝐵 и 𝐷 — на 𝑆₂) и общая внутренняя касательная 𝑃𝑄 (𝑃 лежит на 𝑆₁, а 𝑄 — на 𝑆₂). Прямая 𝑂₁𝑃 пересекает прямую 𝐴𝐶 в точке 𝑋, а прямая 𝑂₂𝑄 прямую 𝐵𝐷 — в точке 𝑌. Докажите, что прямая 𝑋𝑌 делит отрезок 𝑃𝑄 пополам.
Задача. К окружностям 𝑆₁ и 𝑆₂ с центрами 𝑂₁ и 𝑂₂ проведены общие внешние касательные 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 (точки 𝐴 и 𝐶 лежат на окружности 𝑆₁, а 𝐵 и 𝐷 — на 𝑆₂) и общая внутренняя касательная 𝑃𝑄 (𝑃 лежит на 𝑆₁, а 𝑄 — на 𝑆₂). Прямая 𝑂₁𝑃 пересекает прямую 𝐴𝐶 в точке 𝑋, а прямая 𝑂₂𝑄 прямую 𝐵𝐷 — в точке 𝑌. Докажите, что прямая 𝑋𝑌 делит отрезок 𝑃𝑄 пополам.
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐴𝐴₁. Высоты из вершин 𝐵 и 𝐶 пересекают окружности (𝐴𝐶𝐴₁) и (𝐴𝐵𝐴₁) в парах точек 𝐷, 𝐸 и 𝐹, 𝐺, причем 𝐷 лежит на отрезке 𝐵𝐸 и 𝐹 лежит на отрезке 𝐶𝐺. Докажите, что прямые 𝐷𝐹, 𝐸𝐺 и 𝐵𝐶 пересекаются в одной точке или параллельны.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐴𝐴₁. Высоты из вершин 𝐵 и 𝐶 пересекают окружности (𝐴𝐶𝐴₁) и (𝐴𝐵𝐴₁) в парах точек 𝐷, 𝐸 и 𝐹, 𝐺, причем 𝐷 лежит на отрезке 𝐵𝐸 и 𝐹 лежит на отрезке 𝐶𝐺. Докажите, что прямые 𝐷𝐹, 𝐸𝐺 и 𝐵𝐶 пересекаются в одной точке или параллельны.
#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена медиана 𝐵𝑀. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝑀 и 𝐶𝐵𝑀 касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Точка 𝑅 выбрана таким образом, что четырёхугольник 𝑀𝑃𝑅𝑄 является параллелограммом. Докажите, что 𝑅 лежит на биссектрисе угла 𝐴𝐵𝐶.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена медиана 𝐵𝑀. Вписанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝑀 и 𝐶𝐵𝑀 касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Точка 𝑅 выбрана таким образом, что четырёхугольник 𝑀𝑃𝑅𝑄 является параллелограммом. Докажите, что 𝑅 лежит на биссектрисе угла 𝐴𝐵𝐶.
#геом_разминка
Задача. Из вершины 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проведены касательные 𝐶𝑋, 𝐶𝑌 к окружности, проходящей через середины сторон треугольника. Докажите, что прямые 𝑋𝑌, 𝐴𝐵 и касательная в точке 𝐶 к окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекаются в одной точке.
Задача. Из вершины 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проведены касательные 𝐶𝑋, 𝐶𝑌 к окружности, проходящей через середины сторон треугольника. Докажите, что прямые 𝑋𝑌, 𝐴𝐵 и касательная в точке 𝐶 к окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекаются в одной точке.
#разминка
Нашли интересные ограничители тротуара в Тбилиси.
Задача. Некоторые вершины икосаэдра нужно пометить так, чтобы каждая грань содержала помеченную вершину. Каково наименьшее число помеченных вершин, для которого это возможно?
Нашли интересные ограничители тротуара в Тбилиси.
Задача. Некоторые вершины икосаэдра нужно пометить так, чтобы каждая грань содержала помеченную вершину. Каково наименьшее число помеченных вершин, для которого это возможно?
#разминка
Задача. Две прямые линии делят квадрат со стороной 1 на четыре области. Покажите, что по крайней мере одна из областей имеет периметр, больший или равный 2.
Задача. Две прямые линии делят квадрат со стороной 1 на четыре области. Покажите, что по крайней мере одна из областей имеет периметр, больший или равный 2.
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — Ω, а ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 — 𝐻. Пусть 𝑆 обозначает середину дуги 𝐵𝐶 треугольника Ω, которая не содержит 𝐴. Точка 𝑃 выбрана на Ω так, что ∠𝐻𝑃𝑆 = 90°. Докажите, что существует окружность, проходящая через 𝑃 и 𝑆 и касающаяся прямых 𝐴𝐵, 𝐴𝐶.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°. Описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — Ω, а ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 — 𝐻. Пусть 𝑆 обозначает середину дуги 𝐵𝐶 треугольника Ω, которая не содержит 𝐴. Точка 𝑃 выбрана на Ω так, что ∠𝐻𝑃𝑆 = 90°. Докажите, что существует окружность, проходящая через 𝑃 и 𝑆 и касающаяся прямых 𝐴𝐵, 𝐴𝐶.
#геом_разминка
Задача. Пусть точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 лежат на прямой в указанном порядке. 𝐴𝐵 — диаметр полуокружности 𝜔₁, 𝐴𝐶 — диаметр полуокружности 𝜔₂. Предположим, что 𝜔₁ и 𝜔₂ лежат по одну сторону от 𝐴𝐶. 𝐷 — точка на 𝜔₂ такая, что 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶. Окружность с центром в точке 𝐵 и радиусом 𝐵𝐷 пересекает 𝜔₁ в точке 𝐸. Точка 𝐹 выбрана на 𝐴𝐶 так, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐵𝐹.
Задача. Пусть точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 лежат на прямой в указанном порядке. 𝐴𝐵 — диаметр полуокружности 𝜔₁, 𝐴𝐶 — диаметр полуокружности 𝜔₂. Предположим, что 𝜔₁ и 𝜔₂ лежат по одну сторону от 𝐴𝐶. 𝐷 — точка на 𝜔₂ такая, что 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶. Окружность с центром в точке 𝐵 и радиусом 𝐵𝐷 пересекает 𝜔₁ в точке 𝐸. Точка 𝐹 выбрана на 𝐴𝐶 так, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐶 = 𝐵𝐹.
#геом_разминка
Задача. Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, основанием которой является выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с перпендикулярными диагоналями 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, а ортогональной проекцией вершины 𝑆 на основание является точка 𝑂 пересечения диагоналей основания. Докажите, что ортогональные проекции точки 𝑂 на боковые грани пирамиды лежат на окружности.
Задача. Дана пирамида 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷, основанием которой является выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с перпендикулярными диагоналями 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷, а ортогональной проекцией вершины 𝑆 на основание является точка 𝑂 пересечения диагоналей основания. Докажите, что ортогональные проекции точки 𝑂 на боковые грани пирамиды лежат на окружности.
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Задача. Пусть Ω — описанная окружность разностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝜔 — окружность, касающаяся внутренним образом Ω в 𝐴. Касательные из 𝐵 касаются 𝜔 в 𝑃 и 𝑄, так что 𝑃 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Аналогично, касательные из 𝐶 касаются 𝜔 в 𝑅 и 𝑆, так что 𝑅 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃𝑆 и 𝑄𝑅 пересекаются на биссектрисе ∠𝐵𝐴𝐶.
Задача. Пусть Ω — описанная окружность разностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝜔 — окружность, касающаяся внутренним образом Ω в 𝐴. Касательные из 𝐵 касаются 𝜔 в 𝑃 и 𝑄, так что 𝑃 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Аналогично, касательные из 𝐶 касаются 𝜔 в 𝑅 и 𝑆, так что 𝑅 лежит внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑃𝑆 и 𝑄𝑅 пересекаются на биссектрисе ∠𝐵𝐴𝐶.
#геом_разминка
Задача от авторов канала, которая была на туркменской 🇹🇲 олимпиаде в этом году
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. На 𝜔₁ отмечена точка 𝐶 и на 𝜔₂ отмечена точка 𝐷 так, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐴𝐵. 𝑃 — точка пересесчения касательных из точек 𝐵 и 𝐶, 𝑄 — точка пересечения касательных к 𝜔₂ из точек 𝐵 и 𝐷. Докажите, что прямая 𝐴𝐵 проходит через середину отрезка 𝑃𝑄.
Задача от авторов канала, которая была на туркменской 🇹🇲 олимпиаде в этом году
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. На 𝜔₁ отмечена точка 𝐶 и на 𝜔₂ отмечена точка 𝐷 так, что ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐴𝐵. 𝑃 — точка пересесчения касательных из точек 𝐵 и 𝐶, 𝑄 — точка пересечения касательных к 𝜔₂ из точек 𝐵 и 𝐷. Докажите, что прямая 𝐴𝐵 проходит через середину отрезка 𝑃𝑄.
#геом_разминка
Задача. Медианы треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐺. Прямая, параллельная 𝐵𝐶, проходящая через 𝐺, пересекает описанную окружность 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐸. На 𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃 так, что касательная к описанной окружности 𝐷𝐸𝑃 в точке 𝐷, касательная к описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐴 и 𝐵𝐶 пересекаются. Докажите, что 𝐺𝑃 = 𝑃𝐷.
Задача. Медианы треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐺. Прямая, параллельная 𝐵𝐶, проходящая через 𝐺, пересекает описанную окружность 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐷. Пусть прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐸. На 𝐵𝐶 выбрана точка 𝑃 так, что касательная к описанной окружности 𝐷𝐸𝑃 в точке 𝐷, касательная к описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐴 и 𝐵𝐶 пересекаются. Докажите, что 𝐺𝑃 = 𝑃𝐷.
#геом_разминка
Задача. Продолжения боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑃. На отрезке 𝐴𝐷 нашлась такая точка 𝑄, что 𝐵𝑄 = 𝐶𝑄. Докажите, что 𝑃 лежит на радикальной оси окружностей описанных около 𝐴𝑄𝐶 и 𝐵𝑄𝐷.
Задача. Продолжения боковых сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑃. На отрезке 𝐴𝐷 нашлась такая точка 𝑄, что 𝐵𝑄 = 𝐶𝑄. Докажите, что 𝑃 лежит на радикальной оси окружностей описанных около 𝐴𝑄𝐶 и 𝐵𝑄𝐷.
#геом_разминка
Публикуем задачи и решения уральского турнира⚔️ , прошедшего на майских праздниках. Кстати, сегодняшняя разминка как раз оттуда.
Задача. Точка 𝐸 лежит на стороне 𝐶𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, проведённая через точку 𝐶 перпендикулярно 𝐵𝐸, и прямая, проведенная через точку 𝐷 перпендикулярно 𝐴𝐸, пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑀 — середина отрезка 𝑃𝐸. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из 𝑀 на 𝐶𝐷, проходит через центр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷.
UPD: Как оказалось, эта задача авторства Матвея Зорько предлагалась на белорусской олимпиаде в этом году и появлялась в классном паблике наших друзей
Публикуем задачи и решения уральского турнира
Задача. Точка 𝐸 лежит на стороне 𝐶𝐷 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая, проведённая через точку 𝐶 перпендикулярно 𝐵𝐸, и прямая, проведенная через точку 𝐷 перпендикулярно 𝐴𝐸, пересекаются в точке 𝑃. Точка 𝑀 — середина отрезка 𝑃𝐸. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из 𝑀 на 𝐶𝐷, проходит через центр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷.
UPD: Как оказалось, эта задача авторства Матвея Зорько предлагалась на белорусской олимпиаде в этом году и появлялась в классном паблике наших друзей
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором углы 𝐴 и 𝐷 острые и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Оказалось, что ∠𝐵𝐷𝐴 = 30°. Докажите, что ∠𝐷𝐴𝐶 = 30°.
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором углы 𝐴 и 𝐷 острые и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Оказалось, что ∠𝐵𝐷𝐴 = 30°. Докажите, что ∠𝐷𝐴𝐶 = 30°.