#геом_разминка
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 пусть 𝐼 — инцентр. Обозначим 𝑋 как точку пересечения 𝐵𝐶 и серединного перпендикуляра к 𝐴𝐼, 𝑌 как точку пересечения 𝐶𝐴 и серединного перпендикуляра к 𝐵𝐼, а 𝑍 как точку пересечения 𝐴𝐵 и серединного перпендикуляра к 𝐶𝐼. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐴𝐼𝑋, 𝐵𝐼𝑌 и 𝐶𝐼𝑍 имеют общую радикальную ось.
Замечательного вам настроения 🥰
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 пусть 𝐼 — инцентр. Обозначим 𝑋 как точку пересечения 𝐵𝐶 и серединного перпендикуляра к 𝐴𝐼, 𝑌 как точку пересечения 𝐶𝐴 и серединного перпендикуляра к 𝐵𝐼, а 𝑍 как точку пересечения 𝐴𝐵 и серединного перпендикуляра к 𝐶𝐼. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐴𝐼𝑋, 𝐵𝐼𝑌 и 𝐶𝐼𝑍 имеют общую радикальную ось.
Замечательного вам настроения 🥰
❤11🥰2❤🔥1👍1🤝1
#геом_разминка
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐴𝑃 и 𝐵𝑄. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐵. Докажите, что если окружность, описанная вокруг треугольника 𝐵𝑀𝑃 , касается стороны 𝐴𝐶, то окружность, описанная вокруг треугольника 𝐴𝑀𝑄, касается продолжения стороны 𝐵𝐶.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐴𝑃 и 𝐵𝑄. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐵. Докажите, что если окружность, описанная вокруг треугольника 𝐵𝑀𝑃 , касается стороны 𝐴𝐶, то окружность, описанная вокруг треугольника 𝐴𝑀𝑄, касается продолжения стороны 𝐵𝐶.
❤13🔥6👍2
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 соответственно. Обозначим через 𝐼 центр вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, через 𝑀 — середину 𝐵𝐶, а через 𝐺 — основание перпендикуляра из точки 𝑀 на прямую 𝐸𝐹. Докажите, что прямая 𝐼𝐷 касается описанной окружности треугольника 𝑀𝐺𝐼.
Задача. Пусть 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 соответственно. Обозначим через 𝐼 центр вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, через 𝑀 — середину 𝐵𝐶, а через 𝐺 — основание перпендикуляра из точки 𝑀 на прямую 𝐸𝐹. Докажите, что прямая 𝐼𝐷 касается описанной окружности треугольника 𝑀𝐺𝐼.
❤13❤🔥3🥰2
#геом_разминка
Задача. Пусть Ω — окружность, а 𝛾₁, 𝛾₂ — окружности, касающиеся Ω внутренним образом в точках 𝑃 и 𝑄. Предположим, что 𝛾₁ и 𝛾₂ касаются еще друг друга внешним образом в точке 𝑇. Докажите, что прямая, проходящая через точку 𝑃, перпендикулярно 𝑃𝑇, пересекает прямую 𝑄𝑇 в точке на Ω.
Задача. Пусть Ω — окружность, а 𝛾₁, 𝛾₂ — окружности, касающиеся Ω внутренним образом в точках 𝑃 и 𝑄. Предположим, что 𝛾₁ и 𝛾₂ касаются еще друг друга внешним образом в точке 𝑇. Докажите, что прямая, проходящая через точку 𝑃, перпендикулярно 𝑃𝑇, пересекает прямую 𝑄𝑇 в точке на Ω.
❤8❤🔥3🥰2🤝1
#геом_разминка
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность Ω. Касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Перпендикуляр из 𝐴 на прямую 𝐴𝐷 пересекает прямую 𝐶𝐷 в точке 𝐹. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐵𝐶𝐹. Перпендикуляр из 𝐸 на прямую 𝐴𝑂 пересекает её в точке 𝐾. Докажите, что углы ∠𝐸𝐾𝐵 и ∠𝐵𝐴𝐷 либо равны, либо дополняют друг друга до 180°.
Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность Ω. Касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐸. Перпендикуляр из 𝐴 на прямую 𝐴𝐷 пересекает прямую 𝐶𝐷 в точке 𝐹. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐵𝐶𝐹. Перпендикуляр из 𝐸 на прямую 𝐴𝑂 пересекает её в точке 𝐾. Докажите, что углы ∠𝐸𝐾𝐵 и ∠𝐵𝐴𝐷 либо равны, либо дополняют друг друга до 180°.
❤7💩2
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝑃 и 𝑄 — точки внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶, такие, что ∠𝐴𝑃𝐵 = ∠𝐴𝑄𝐶 и ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑄𝐵. Окружность, описанная вокруг 𝐴𝑃𝑄, вторично пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Докажите, что 𝐵, 𝐶, 𝐿 и 𝐾 лежат на одной окружности.
Удачи всем финалистам шарыгинки сегодня!🤞
Задача. Пусть 𝑃 и 𝑄 — точки внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶, такие, что ∠𝐴𝑃𝐵 = ∠𝐴𝑄𝐶 и ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑄𝐵. Окружность, описанная вокруг 𝐴𝑃𝑄, вторично пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Докажите, что 𝐵, 𝐶, 𝐿 и 𝐾 лежат на одной окружности.
Удачи всем финалистам шарыгинки сегодня!
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🥰13❤5👍2💩1
#красота_спасет_мир
Публикуем задачи первого тура олимпиады Шарыгина🔥 Среди них нашалась и задача 8.4 от одного из создателей нашего канала Леонида Шатунова
Задача 8.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены биссектрисы 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁. Обозначим через 𝐵₀ середину дуги 𝐴𝐶 описанной окружности 𝐴𝐵𝐶, не содержащей 𝐵. Описанные окружности треугольников 𝐴𝐴₁𝐵₀ и 𝐶𝐶₁𝐵₀ пересекают прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Докажите, что инцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 лежит на 𝑃𝑄.
Задача 9.3. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Прямая 𝑚₁ пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ соответственно, а прямая 𝑚₂ пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂, при этом 𝐴₁ и 𝐴₂ симметричны относительно середины 𝐵𝐶, 𝐵₁ и 𝐵₂ симметричны относительно середины 𝐶𝐴, 𝐶₁ и 𝐶₂ симметричны относительно середины 𝐴𝐵. Докажите, что 𝑚₁ ⊥ 𝑚₂ тогда и только тогда, когда 𝑚₁ и 𝑚₂ являются для треугольника 𝐴𝐵𝐶 прямыми Симсона (для некоторых точек окружности 𝐴𝐵𝐶).
Задача 9.4. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 через ортоцентр 𝐻 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проведены прямые, параллельные 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 и пересекающие 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 соответственно в точках 𝐸 и 𝐹. Докажите, что прямая 𝐸𝐹 делит отрезок 𝐷𝐻 пополам.
Публикуем задачи первого тура олимпиады Шарыгина🔥 Среди них нашалась и задача 8.4 от одного из создателей нашего канала Леонида Шатунова
Задача 8.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены биссектрисы 𝐴𝐴₁ и 𝐶𝐶₁. Обозначим через 𝐵₀ середину дуги 𝐴𝐶 описанной окружности 𝐴𝐵𝐶, не содержащей 𝐵. Описанные окружности треугольников 𝐴𝐴₁𝐵₀ и 𝐶𝐶₁𝐵₀ пересекают прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Докажите, что инцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 лежит на 𝑃𝑄.
Задача 9.3. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Прямая 𝑚₁ пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ соответственно, а прямая 𝑚₂ пересекает прямые 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂, при этом 𝐴₁ и 𝐴₂ симметричны относительно середины 𝐵𝐶, 𝐵₁ и 𝐵₂ симметричны относительно середины 𝐶𝐴, 𝐶₁ и 𝐶₂ симметричны относительно середины 𝐴𝐵. Докажите, что 𝑚₁ ⊥ 𝑚₂ тогда и только тогда, когда 𝑚₁ и 𝑚₂ являются для треугольника 𝐴𝐵𝐶 прямыми Симсона (для некоторых точек окружности 𝐴𝐵𝐶).
Задача 9.4. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 через ортоцентр 𝐻 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проведены прямые, параллельные 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 и пересекающие 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 соответственно в точках 𝐸 и 𝐹. Докажите, что прямая 𝐸𝐹 делит отрезок 𝐷𝐻 пополам.
❤🔥7👍2🔥2🥰2💩1
#геом_разминка
Сегодня разминка от авторов канала — задача 8.1 вчерашнего тура. Всем участникам олимпиады желаем удачи сегодня 🍀
Задача. Дан вписанный пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Диагонали 𝐴𝐶 и 𝐶𝐸 равны и пересекают диагональ 𝐵𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Известно, что 𝐵𝑀 = 𝑁𝐷 и 𝐵𝐶 не равно 𝐶𝐷. Докажите, что точка, симметричная 𝐶 относительно середины 𝐵𝐷, лежит на прямой 𝐴𝐸.
Сегодня разминка от авторов канала — задача 8.1 вчерашнего тура. Всем участникам олимпиады желаем удачи сегодня 🍀
Задача. Дан вписанный пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Диагонали 𝐴𝐶 и 𝐶𝐸 равны и пересекают диагональ 𝐵𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Известно, что 𝐵𝑀 = 𝑁𝐷 и 𝐵𝐶 не равно 𝐶𝐷. Докажите, что точка, симметричная 𝐶 относительно середины 𝐵𝐷, лежит на прямой 𝐴𝐸.
👍9😈6🥰5❤3❤🔥2
#красота_спасет_мир
Представляем вашему вниманию 👀 второй тур олимпиады Шарыгина 📐🥇
Задача 8.7. Правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность Ω. Окружности Ω𝑎, Ω𝑏, Ω𝑐 с центрами 𝐴, 𝐵, 𝐶 соответственно проходят через точку 𝑃 , лежащую на Ω, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача 9.6. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность 𝜔. Касательные к 𝜔, проведенные в точках 𝐵 и 𝐶, пересекаются в точке 𝑆. Отрезки 𝐴𝑆 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑃. Биссектрисы (как лучи) углов 𝐴𝑃𝐶 и 𝑆𝑃𝐶 пересекают 𝜔 в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑆 лежат на одной прямой.
Задача 9.8. Восстановите вписанно-описанный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 по центру 𝐼 вписанной окружности, точке 𝐸 пересечения касательных к описанной окружности в точках 𝐴, 𝐶 и точке 𝐹 пересечения касательных к описанной окружности в точках 𝐵, 𝐷.
Задача 10.8. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и прямая 𝑙, которая пересекает стороны 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 и прямую 𝐵𝐶 в точках 𝐶₁, 𝐵₁, 𝐴₁ соответственно. Окружность 𝜔𝑎 касается прямой 𝐵𝐶 в точке 𝐴₁ и меньшей дуги 𝐵𝐶 описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Аналогично определяются окружности 𝜔𝑏, 𝜔𝑐. Докажите, что у окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 есть общая касательная.
Представляем вашему вниманию 👀 второй тур олимпиады Шарыгина 📐🥇
Задача 8.7. Правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность Ω. Окружности Ω𝑎, Ω𝑏, Ω𝑐 с центрами 𝐴, 𝐵, 𝐶 соответственно проходят через точку 𝑃 , лежащую на Ω, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Задача 9.6. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность 𝜔. Касательные к 𝜔, проведенные в точках 𝐵 и 𝐶, пересекаются в точке 𝑆. Отрезки 𝐴𝑆 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑃. Биссектрисы (как лучи) углов 𝐴𝑃𝐶 и 𝑆𝑃𝐶 пересекают 𝜔 в точках 𝑋 и 𝑌. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑆 лежат на одной прямой.
Задача 9.8. Восстановите вписанно-описанный четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 по центру 𝐼 вписанной окружности, точке 𝐸 пересечения касательных к описанной окружности в точках 𝐴, 𝐶 и точке 𝐹 пересечения касательных к описанной окружности в точках 𝐵, 𝐷.
Задача 10.8. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и прямая 𝑙, которая пересекает стороны 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 и прямую 𝐵𝐶 в точках 𝐶₁, 𝐵₁, 𝐴₁ соответственно. Окружность 𝜔𝑎 касается прямой 𝐵𝐶 в точке 𝐴₁ и меньшей дуги 𝐵𝐶 описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Аналогично определяются окружности 𝜔𝑏, 𝜔𝑐. Докажите, что у окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 есть общая касательная.
🤮12👍5🥰2❤1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#красота_спасет_мир
В догонку публикуем еще задачку с подвижной 🏃 картинкой (но не решением!)
Задача 10.6. Даны окружности Ω и 𝜔𝑎, являющиеся соответственно описанной и 𝐴-вневписанной для некоторого треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼𝑏, 𝐼𝑐 — центры двух других вневписанных окружностей, а 𝐴𝑏, 𝐴𝑐 — точки касания продолжений сторон 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 с 𝜔𝑎. Докажите, что точка пересечения прямых 𝐴𝑏𝐼𝑏 и 𝐴𝑐𝐼𝑐 не зависит от треугольника 𝐴𝐵𝐶.
В догонку публикуем еще задачку с подвижной 🏃 картинкой (но не решением!)
Задача 10.6. Даны окружности Ω и 𝜔𝑎, являющиеся соответственно описанной и 𝐴-вневписанной для некоторого треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐼𝑏, 𝐼𝑐 — центры двух других вневписанных окружностей, а 𝐴𝑏, 𝐴𝑐 — точки касания продолжений сторон 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 с 𝜔𝑎. Докажите, что точка пересечения прямых 𝐴𝑏𝐼𝑏 и 𝐴𝑐𝐼𝑐 не зависит от треугольника 𝐴𝐵𝐶.
❤8🤡3🔥2👍1🥰1
#геом_разминка
Задача. В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐷 = 90°. Окружности с диаметрами 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что 2𝑃𝑄 < 𝐴𝐷.
Задача. В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐷 = 90°. Окружности с диаметрами 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 пересекаются в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что 2𝑃𝑄 < 𝐴𝐷.
❤10🤮10🔥3🥰2😐1