Есть следующая простая (и хорошая) планиметрическая задача Микеля. На каждой стороне треугольника взята точка, отличная от вершин. Тогда три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника и две точки, взятые на сторонах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Имеет место быть и такой трехмерный аналог. На каждом ребре тетраэдра взята точка, отличная от вершин. Тогда четыре сферы, каждая из которых проходит через вершину тетраэдра и три точки, взятые на ребрах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Листочек на инверсию. Наверное не сильно оригинальный.

Дан треугольник ABC из каждой вершины провели красную и синию прямые, которые симметричны относительно биссектрис соответствующих углов. Оказалось, что они образовали два не равных треугольника с общим ортоцентром. Докаите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку на описанной окружности исходного.

Дан треугольник ABC. Пусть K -- точка касания вписанной окружности со стороной AC. Докажите, что окружности, касающиеся описанной окружности треугольника ABC, луча BK и продолжений AC за точки A и С, равны.

Каким минимальным числом непрозрачных попарно непересекающихся шаров можно загородить точечный источник света? А если все шары равны?

Можно ли сцепить концы у каждой из трех мишур так, чтобы получились три кольца, которые нельзя разцепить, но при разрезании любого из них они расцеплялись бы? А если мишур больше, чем три?

Вторая часть статьи про сопряжение Клауса Клоусона от Миши Сидоренко!