#геометрия #задача

Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.

O,H — центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC. Площади закрашенных треугольников равны.

Замкнутая четырехзвенная ломаная описана вокруг сферы. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

// П.Пушкарь напомнил такую задачу с ММО-1950

а) Пусть 4 окружности на плоскости касаются друг друга по циклу (внешним образом). Доказать, что точки касания лежат на одной окружности.

б) То же не на плоскости, а на сфере.

в) Вывести отсюда предыдущую задачу.

// по мотивам обсуждения в комментариях

Прямые одного цвета перпендикулярны. Докажите касание пунктирных окружностей.

#геом_разминка

Задача. Внутри квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 взята точка 𝑃 такая, что 𝐴𝑃 : 𝐵𝑃 : 𝐶𝑃 = 1 : 2 : 3. Найдите угол 𝐴𝑃𝐵.

Пусть никакие трудности вас не пошатнут 🗿

статья А.Заславского и С.Маркелова «Трисекция угла и другие классические задачи» (Квант №9 за 2024 год)

обсуждается трисекция с помощью коник и проч., по мотивам проекта на ЛКТГ

Свежий взгляд на старое.

Два разных замощения плоскости (спиралевидное и кольцеобразное) копиями многоугольника, изображенного сверху, из книги Грюнбаума и Шепарда "Замощения и орнаменты"

Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет.

Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.

S.Markelov. Circles and parabolas

// А.Акопян пишет: «В книжке с картинками есть целая серия задач про параболы, для которых выполняются классические теоремы про окружности. Мало кто знает, но этот трюк обнаружил Серёжа. Сейчас это уже является базой для продвинутых олимпиадных геометров, но тогда это было полной неожиданностью.»

Вчера не стало Сергея Маркелова. Соболезнования близким 🙏

Сегодня прошла олимпиада ЮМШ. Вот одна из задачек) 8.5.
Дан прямоугольник ABCD и точка K такая,что AK || BD. На отрезке AB выбрана точка
E такая,что ∠EKD = 90. Пусть M — середина отрезка BE. Докажите, что точки A, K, C, M лежат на одной окружности (на олимпиаде просили доказать, что MK = MC).

#красота_спасет_мир

Подошла к концу олимпиада ЮМШ 🥇 Публикуем задачку, которая предлагалась в девятом классе 🔥

Задача. Дан вписанный выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 выбраны на прямых 𝐴𝐷, 𝐴𝐵, 𝐶𝐵, 𝐷𝐶 так, что 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑄𝑅 ⊥ 𝐵𝐶, 𝑅𝑆 ⊥ 𝐶𝐷 и 𝑆𝑃 ⊥ 𝐷𝐴. Оказалось, что четырёхугольники 𝑃𝑄𝑅𝑆 и 𝐴𝐵𝐶𝐷 (соответственно) подобны. Докажите, что центр описанной окружности четырёхугольника 𝑃𝑄𝑅𝑆 — это точка пересечения диагоналей 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Олимпиада ЮМШ 10 класс. Точки P и Q изогонально сопряжены в правильном треугольнике ABC с центром O. Оказалось, что угол POQ = 90.  Докажите, что PQ касается описанной окружности треугольника ABC.

продолжение истории: https://www.group-telegram.com/olympgeom/1573

Можно ли в плоскости прорезать тонкое отверстие, не разбивающее ее на части, через которое можно продеть каркас: a) куба; b) тетраэдра? (Ребра каркаса считаются сколь угодно тонкими)