Об интегрировании по частям.
В весеннем семестре толпа студентов первого курса приобрела (или хотя бы попыталась) такой полезный навык как интегрирование функций, причём всякими разными приёмами. Хочу обсудить, каким образом этот момент преподаётся, поделиться своим подходом и послушать мнение опытных коллег. Не буду громко называть это «ДРУГОЙ СПОСОБ, который от вас скрывают, а он вообще лучший в мире» — не люблю, когда так говорят про то же самое, только по-другому записанное. Но предлагаемая здесь форма действительно как-то непопулярна, и по-моему зря. Речь пойдёт об интегрировании по частям и немного о замене переменной. Понимаю, что для нашей публики тема непристойно простая, но от обучения первокурсников азам ведь зависит наше будущее)
Мой тезис:
Формула ~dy(x)=y’(x)dx~ — наше всё.
Причём нам она полезнее справа налево: если студент привыкнет вносить множители под дифференциал, большинство элементарных заданий тут же сдадутся ему без боя, а остальные будут перед ним трепетать в страхе.
Простой пример. Специально помониторила в интернете разборы несложных интегралов, и вот про такие
∫sin(x)cos³(x)dx
все говорят как данность: тут вводим замену t = cosx. А потом уже поясняется, почему именно так. Мы же попробуем задаться менее сковывающим вопросом: а что мы здесь МОЖЕМ внести под дифференциал? То есть от какого множителя мы знаем первообразную? По таблице первообразных мгновенно получаем, что sin(x)dx = d(-cosx) и cos(x)dx = d(sinx). Менее мгновенно ещё можно устроить sin(x)cos(x)dx =1/4 d(-cos2x). Остальные комбинации, такие как cos²(x)dx, так просто в дифференциал не сложатся, но мы-то уже заметили, что при внесении синуса у нас оказывается под дифференциалом косинус, и за дифференциалом тоже штука, содержащая x только в косинусе:
∫sin(x)cos³(x)dx = -∫cos³(x)d(cos x)
И вот теперь уже понятно, почему именно его логично обозвать новой буквой. Только и обзывать больше нет надобности, в таком виде можно сразу табличную формулу применить.
Впрочем, таким образом щёлкаются не все задания на замену переменной. Во многих случаях действительно пригодится третий глаз или некоторая насмотренность, чтобы верно ввести t, и решение через замену будет значительно быстрее, чем поиск подходящего множителя. Но вот в интегрировании по частям такой способ записи раскрывается во всей красе.
Снова элементарный пример.
∫x cos(x)dx
По классике выбирают u и dv, то есть новых буквы теперь аж две. Пишут лирическое отступление с вычислением v и du и подставляют в заклинание «у по дэ вэ равно у вэ минус вэ по дэ у». Если делать то же самое, но без новых букв, запись будет выглядеть так:
∫ x cos(x)dx = ∫x d(sinx) = x sinx - ∫sin(x)dx
По моему мнению, внесение под дифференциал здесь даёт преимущество по скорости. Лёгкие конструкции вполне можно интегрировать по частям в уме, и при этом в голове такие непрерывные преобразования для меня визуализировать куда проще, чем запись с новыми буквами где-то отдельно: косинус буквально плывёт под d, по дороге превращаясь в синус, потом синус вместе с иксом плывут за знак равно и т д. Чем меньше объектов перед глазами крутится – тем легче на них сконцентрироваться.
Ещё в поддержку такой формы скажу, что писать через u и v меня учили сначала в школе, потом на первом курсе, и тогда интегрирование по частям для меня осталось чем-то сильно более сложным, чем остальные приёмы. От одногруппников тоже слышала, что они этой темы боятся. И потому моей личной педагогической гордостью является то, что некоторые мои ученики, которых я первая учила интегрировать, говорили: «О, так по частям – это вообще из интегрирования самое лёгкое!» А ещё в китайском антидемидовиче решения тоже таким образом написаны😁
На новизну всего изложенного ни в коем случае не претендую. Если у вас возникло желание в комментариях написать «Ну дык я всегда так и преподавал/решал» - даю вам пять! От остальных буду рада почитать контраргументы и просто мнения.
#ёжик_дискутирует #математический_анализ_I
В весеннем семестре толпа студентов первого курса приобрела (или хотя бы попыталась) такой полезный навык как интегрирование функций, причём всякими разными приёмами. Хочу обсудить, каким образом этот момент преподаётся, поделиться своим подходом и послушать мнение опытных коллег. Не буду громко называть это «ДРУГОЙ СПОСОБ, который от вас скрывают, а он вообще лучший в мире» — не люблю, когда так говорят про то же самое, только по-другому записанное. Но предлагаемая здесь форма действительно как-то непопулярна, и по-моему зря. Речь пойдёт об интегрировании по частям и немного о замене переменной. Понимаю, что для нашей публики тема непристойно простая, но от обучения первокурсников азам ведь зависит наше будущее)
Мой тезис:
Формула ~dy(x)=y’(x)dx~ — наше всё.
Причём нам она полезнее справа налево: если студент привыкнет вносить множители под дифференциал, большинство элементарных заданий тут же сдадутся ему без боя, а остальные будут перед ним трепетать в страхе.
Простой пример. Специально помониторила в интернете разборы несложных интегралов, и вот про такие
∫sin(x)cos³(x)dx
все говорят как данность: тут вводим замену t = cosx. А потом уже поясняется, почему именно так. Мы же попробуем задаться менее сковывающим вопросом: а что мы здесь МОЖЕМ внести под дифференциал? То есть от какого множителя мы знаем первообразную? По таблице первообразных мгновенно получаем, что sin(x)dx = d(-cosx) и cos(x)dx = d(sinx). Менее мгновенно ещё можно устроить sin(x)cos(x)dx =1/4 d(-cos2x). Остальные комбинации, такие как cos²(x)dx, так просто в дифференциал не сложатся, но мы-то уже заметили, что при внесении синуса у нас оказывается под дифференциалом косинус, и за дифференциалом тоже штука, содержащая x только в косинусе:
∫sin(x)cos³(x)dx = -∫cos³(x)d(cos x)
И вот теперь уже понятно, почему именно его логично обозвать новой буквой. Только и обзывать больше нет надобности, в таком виде можно сразу табличную формулу применить.
Впрочем, таким образом щёлкаются не все задания на замену переменной. Во многих случаях действительно пригодится третий глаз или некоторая насмотренность, чтобы верно ввести t, и решение через замену будет значительно быстрее, чем поиск подходящего множителя. Но вот в интегрировании по частям такой способ записи раскрывается во всей красе.
Снова элементарный пример.
∫x cos(x)dx
По классике выбирают u и dv, то есть новых буквы теперь аж две. Пишут лирическое отступление с вычислением v и du и подставляют в заклинание «у по дэ вэ равно у вэ минус вэ по дэ у». Если делать то же самое, но без новых букв, запись будет выглядеть так:
∫ x cos(x)dx = ∫x d(sinx) = x sinx - ∫sin(x)dx
По моему мнению, внесение под дифференциал здесь даёт преимущество по скорости. Лёгкие конструкции вполне можно интегрировать по частям в уме, и при этом в голове такие непрерывные преобразования для меня визуализировать куда проще, чем запись с новыми буквами где-то отдельно: косинус буквально плывёт под d, по дороге превращаясь в синус, потом синус вместе с иксом плывут за знак равно и т д. Чем меньше объектов перед глазами крутится – тем легче на них сконцентрироваться.
Ещё в поддержку такой формы скажу, что писать через u и v меня учили сначала в школе, потом на первом курсе, и тогда интегрирование по частям для меня осталось чем-то сильно более сложным, чем остальные приёмы. От одногруппников тоже слышала, что они этой темы боятся. И потому моей личной педагогической гордостью является то, что некоторые мои ученики, которых я первая учила интегрировать, говорили: «О, так по частям – это вообще из интегрирования самое лёгкое!» А ещё в китайском антидемидовиче решения тоже таким образом написаны😁
На новизну всего изложенного ни в коем случае не претендую. Если у вас возникло желание в комментариях написать «Ну дык я всегда так и преподавал/решал» - даю вам пять! От остальных буду рада почитать контраргументы и просто мнения.
#ёжик_дискутирует #математический_анализ_I
Дорогие коллеги!
У финансистов есть термин «кассовый разрыв». Простыми словами, это ситуация, когда организации временно не хватает денег на операционные расходы, например, на зарплату сотрудникам или поставщикам. У нас на Ёжике сейчас произошло именно это. Мы потратили достаточно много средств на нашу видеостудию: купили большой овальный стол, повесили видеопроектор, существенно улучшили акустику студии, приобрели два качественных кардиоидных микрофона, собрали пятый мобильный видеокомплект, а послезавтра к нам приедет профессиональная видеокарта, с помощью которой сможем производить качественное шумоподавление на нашем студийном десктопе. В общем, видеостудия Ёжика становится всё лучше и лучше!!
Но всё это, безусловно, потребовало много денег, и впервые с января 2023 года у Ёжика опять образовался долг... На данный момент он вполне подконтрольный (~15.000 р.), но ближайшие большие финансовые поступления (от факультета ВМК МГУ и ВК) у нас планируются только в начале июля, и до этого времени нужно будет два раза заплатить текущие авторские гонорары. Поэтому самое время напомнить о замечательных мерчах от Ёжика: футболках и кружках! Где-то до конца июня мы сможем отправлять наши товары почтой во все уголки РФ и ближнего зарубежья. Потом, видимо, нам придётся взять перерыв до конца лета. Пожалуйста, спешите!
Кружки по-прежнему стоят 550 р., а футболки — 1600 р. Со всеми посылками коллегам отправляются календарики и открытки с нашими Ёжиками! Более подробно см. раздел «Товары»:
vk.com/market-186208863?scr...
Каждый приобретённый вами мерч, безусловно, нас очень поддержит! Ну а если вы хотите просто поддержать нас монетой, можете отправить донат через VK Donut или написать нашему сообществу, и мы пришлём номер банковской карты.
Ёжики, вперёд!!
#ёжик_в_матане
У финансистов есть термин «кассовый разрыв». Простыми словами, это ситуация, когда организации временно не хватает денег на операционные расходы, например, на зарплату сотрудникам или поставщикам. У нас на Ёжике сейчас произошло именно это. Мы потратили достаточно много средств на нашу видеостудию: купили большой овальный стол, повесили видеопроектор, существенно улучшили акустику студии, приобрели два качественных кардиоидных микрофона, собрали пятый мобильный видеокомплект, а послезавтра к нам приедет профессиональная видеокарта, с помощью которой сможем производить качественное шумоподавление на нашем студийном десктопе. В общем, видеостудия Ёжика становится всё лучше и лучше!!
Но всё это, безусловно, потребовало много денег, и впервые с января 2023 года у Ёжика опять образовался долг... На данный момент он вполне подконтрольный (~15.000 р.), но ближайшие большие финансовые поступления (от факультета ВМК МГУ и ВК) у нас планируются только в начале июля, и до этого времени нужно будет два раза заплатить текущие авторские гонорары. Поэтому самое время напомнить о замечательных мерчах от Ёжика: футболках и кружках! Где-то до конца июня мы сможем отправлять наши товары почтой во все уголки РФ и ближнего зарубежья. Потом, видимо, нам придётся взять перерыв до конца лета. Пожалуйста, спешите!
Кружки по-прежнему стоят 550 р., а футболки — 1600 р. Со всеми посылками коллегам отправляются календарики и открытки с нашими Ёжиками! Более подробно см. раздел «Товары»:
vk.com/market-186208863?scr...
Каждый приобретённый вами мерч, безусловно, нас очень поддержит! Ну а если вы хотите просто поддержать нас монетой, можете отправить донат через VK Donut или написать нашему сообществу, и мы пришлём номер банковской карты.
Ёжики, вперёд!!
#ёжик_в_матане
Vk
Ёжик в матане's product catalog – 17 products | VK
Product catalog of Ёжик в матане – 17 products
Дорогие коллеги! Конкурс новых авторов «Ёжика» приближается к концу! У вас есть время до конца этой недели для того, чтобы предложить нам свой пост. Сегодня мы предлагаем вам пробный пост от активного участника нашего паблика, который пишет под псевдонимом Батька Джон. Просим поддержать коллегу своими реакциями/репостами/комментариями!
----------------------------------------------------------------------
Выбранные моменты программирования систем исчисления на Python
Добрейшего всем ознакамливающимся времени суток! Хотелось бы поделиться решением некоторых моментов программирования систем исчисления и замеченными тонкостями.
Python – распространенный инструмент автоматизации вычислений в научной среде. Но имеющий свои ограничения в плане решений для работы с системами исчислений (СИ) «из коробки». В частности, это 4 всем известные со школы (надеюсь) 4 функции:
bin(число, которое необходимо перевести в двоичную СИ)
oct(число, которое необходимо перевести в восьмеричную СИ)
hex(число, которое необходимо перевести в шестнадцатеричную СИ)
int(число, которое необходимо перевести в десятичную СИ, размерность исходной СИ)
И если задача автоматизации перевода из 10 в другую систему исчисления (меньше 10) также решается в рамках школьного курса, то задача перевода из десятичной СИ в СИ с размерностью выше 10, но не 16 уже не так проста. Ну и также хочется упомянуть, что int() также имеет ограничение по переводу, так как ограничивается размерностью системы 36 (10 цифр + 26 букв английского алфавита).
С такими задачами я столкнулся в процессе подготовки школьников к ЕГЭ по информатике, и мы с ребятами наткнулись на эти ограничения. К сожалению, внедрение обучения Python вместо всяких паскалей и бейсиков при изучении программирования в школе оставляет желать лучшего (о чем нам говорят результаты ЕГЭ по информатике прошлого года – по всей стране 124 100-бальника из в приблизительно 125 тысяч сдававших), и пришлось показывать ребятам эти алгоритмы, придумывая их практически на ходу.
Решения таких задач стоит начинать с построения алфавита СИ размерностью N. Алфавит будем получать в виде списка символов, который будет иметь смысл «цифр» первого десятка в порядке возрастания, начиная с нуля:
def generate_alphabet(N):
return ([str(i) for i in range(10)] +
[chr(ord('a') + i) for i in range(N - 10)])
Практика показала, что функция такого вида без ошибок сгенерирует не сколь угодно большой алфавит СИ с целой положительной размерностью, существует ограничение на работу функции chr(). Проверка показала, что chr() ломается при попытке получить символ с условным номером 1 114 112 (количество символов, записанных в UTF-8), но и такой результат на несколько порядков расширяет наши возможности.
Далее займемся вопросом перевода из десятичной СИ в СИ со сгенерированным алфавитом. Будем формировать нашу запись числа, дописывая символ, чей индекс в алфавите будет соответствовать остатку от деления числа на размерность СИ (или длине алфавита, что одно и то же). По окончанию развернем запись в обратном порядке:
def from_10_to_N(number, alphabet):
rezult = ''
while number != 0:
rezult += alphabet[number % len(alphabet)]
number //= len(alphabet)
return rezult[::-1]
Также незамысловатый алгоритм, правда, может выдать категорически нечитаемый результат, который и отобразится-то не в каждом текстовом редакторе. И тем не менее будет соответствовать смыслу, не вдаваясь в тонкости дизайна. Так что прямую задачу можно считать решенной. А что насчет обратной задачи? Решим же и её.
Для решения задачи перехода из нашей СИ в традиционную десятичную (для начала в нее) нам понадобится уже работать с рангами цифр в числе и со степенями размерности исходной СИ. В данном случае рангом цифры в числе я буду называть порядковый номер цифры в числе справа, начиная с нуля. Собственно, число в десятичной СИ мы получим, суммируя произведения индекса числа в алфавите исходной СИ и размерности исходной СИ в степени ранга цифры:
def from_N_to_10(number: str, alphabet: list):
rezult = 0
for i in range(len(str(number))):
rezult += (alphabet.index(number[i]) *
----------------------------------------------------------------------
Выбранные моменты программирования систем исчисления на Python
Добрейшего всем ознакамливающимся времени суток! Хотелось бы поделиться решением некоторых моментов программирования систем исчисления и замеченными тонкостями.
Python – распространенный инструмент автоматизации вычислений в научной среде. Но имеющий свои ограничения в плане решений для работы с системами исчислений (СИ) «из коробки». В частности, это 4 всем известные со школы (надеюсь) 4 функции:
bin(число, которое необходимо перевести в двоичную СИ)
oct(число, которое необходимо перевести в восьмеричную СИ)
hex(число, которое необходимо перевести в шестнадцатеричную СИ)
int(число, которое необходимо перевести в десятичную СИ, размерность исходной СИ)
И если задача автоматизации перевода из 10 в другую систему исчисления (меньше 10) также решается в рамках школьного курса, то задача перевода из десятичной СИ в СИ с размерностью выше 10, но не 16 уже не так проста. Ну и также хочется упомянуть, что int() также имеет ограничение по переводу, так как ограничивается размерностью системы 36 (10 цифр + 26 букв английского алфавита).
С такими задачами я столкнулся в процессе подготовки школьников к ЕГЭ по информатике, и мы с ребятами наткнулись на эти ограничения. К сожалению, внедрение обучения Python вместо всяких паскалей и бейсиков при изучении программирования в школе оставляет желать лучшего (о чем нам говорят результаты ЕГЭ по информатике прошлого года – по всей стране 124 100-бальника из в приблизительно 125 тысяч сдававших), и пришлось показывать ребятам эти алгоритмы, придумывая их практически на ходу.
Решения таких задач стоит начинать с построения алфавита СИ размерностью N. Алфавит будем получать в виде списка символов, который будет иметь смысл «цифр» первого десятка в порядке возрастания, начиная с нуля:
def generate_alphabet(N):
return ([str(i) for i in range(10)] +
[chr(ord('a') + i) for i in range(N - 10)])
Практика показала, что функция такого вида без ошибок сгенерирует не сколь угодно большой алфавит СИ с целой положительной размерностью, существует ограничение на работу функции chr(). Проверка показала, что chr() ломается при попытке получить символ с условным номером 1 114 112 (количество символов, записанных в UTF-8), но и такой результат на несколько порядков расширяет наши возможности.
Далее займемся вопросом перевода из десятичной СИ в СИ со сгенерированным алфавитом. Будем формировать нашу запись числа, дописывая символ, чей индекс в алфавите будет соответствовать остатку от деления числа на размерность СИ (или длине алфавита, что одно и то же). По окончанию развернем запись в обратном порядке:
def from_10_to_N(number, alphabet):
rezult = ''
while number != 0:
rezult += alphabet[number % len(alphabet)]
number //= len(alphabet)
return rezult[::-1]
Также незамысловатый алгоритм, правда, может выдать категорически нечитаемый результат, который и отобразится-то не в каждом текстовом редакторе. И тем не менее будет соответствовать смыслу, не вдаваясь в тонкости дизайна. Так что прямую задачу можно считать решенной. А что насчет обратной задачи? Решим же и её.
Для решения задачи перехода из нашей СИ в традиционную десятичную (для начала в нее) нам понадобится уже работать с рангами цифр в числе и со степенями размерности исходной СИ. В данном случае рангом цифры в числе я буду называть порядковый номер цифры в числе справа, начиная с нуля. Собственно, число в десятичной СИ мы получим, суммируя произведения индекса числа в алфавите исходной СИ и размерности исходной СИ в степени ранга цифры:
def from_N_to_10(number: str, alphabet: list):
rezult = 0
for i in range(len(str(number))):
rezult += (alphabet.index(number[i]) *
len(alphabet) ** (len(number) - i - 1))
return rezult
Собственно, и обратная задача в некотором приближении решена. С таким набором инструментов уже можно преобразовывать числа в указанных выше ограничениях и выполнять с ними несложную математику, приводя их в десятичную систему и конвертируя результат в нужную нам СИ. Но это даже звучит как «костыль» и кажется необходимой для полного морального удовлетворения реализация метода перевода из одной произвольной СИ в другую произвольную СИ, но данная задача не реализуема как минимум без сложения и умножения (возведения в степень) в недесятичных СИ (да, «кампуктор» по факту все вычисления производит в двоичном виде с бешенными скоростями, и тем не менее «лишние» операции вызывают чувство горечи).
Данную проблему можно решить написанием специальной библиотеки с описанием всех этих чисел в разных СИ, прописав им «волшебные» методы математических действий (чем, собственно, в качестве хобби занимаюсь). Да и генерацию описания новых «цифр» можно взять не из функции chr(), а сделать их по принципу генерации названий столбцов в экселе, просто в таких новых числах между «цифрами» ставить пробел или иной разделительный символ – это поставит ограничение на размерность СИ исключительно объемами памяти «кампуктора». Если тема интересна, по окончании работы могу поделится результатами. Если считаете такую работу важной и необходимой – то в качестве промежуточного этапа работы хотелось бы провести опрос среди комьюнити, как будет удобнее в некоторых ситуациях, ибо там уже нужно договариваться о некоторых вещах. Спасибо за внимание.
#предложка_ёжика
return rezult
Собственно, и обратная задача в некотором приближении решена. С таким набором инструментов уже можно преобразовывать числа в указанных выше ограничениях и выполнять с ними несложную математику, приводя их в десятичную систему и конвертируя результат в нужную нам СИ. Но это даже звучит как «костыль» и кажется необходимой для полного морального удовлетворения реализация метода перевода из одной произвольной СИ в другую произвольную СИ, но данная задача не реализуема как минимум без сложения и умножения (возведения в степень) в недесятичных СИ (да, «кампуктор» по факту все вычисления производит в двоичном виде с бешенными скоростями, и тем не менее «лишние» операции вызывают чувство горечи).
Данную проблему можно решить написанием специальной библиотеки с описанием всех этих чисел в разных СИ, прописав им «волшебные» методы математических действий (чем, собственно, в качестве хобби занимаюсь). Да и генерацию описания новых «цифр» можно взять не из функции chr(), а сделать их по принципу генерации названий столбцов в экселе, просто в таких новых числах между «цифрами» ставить пробел или иной разделительный символ – это поставит ограничение на размерность СИ исключительно объемами памяти «кампуктора». Если тема интересна, по окончании работы могу поделится результатами. Если считаете такую работу важной и необходимой – то в качестве промежуточного этапа работы хотелось бы провести опрос среди комьюнити, как будет удобнее в некоторых ситуациях, ибо там уже нужно договариваться о некоторых вещах. Спасибо за внимание.
#предложка_ёжика
Уважаемые коллеги!
Принимаем ваши поздравления!!! Вчера наконец-то была поставлена точка в истории о передаче нам собственной аудитории для создания видеостудии «Ёжик в матане»! Мы с моим хорошим другом, Серёжей Березанцевым, главным электриком нашего факультета, повесили табличку у входа в нашу студию!
Почти год назад нас попросили освободить аудиторию (нам не принадлежащую), которую мы использовали для видеосъёмки. И вот теперь в МГУ, на факультете ВМК, появилась такая непосредственная и нестандартная табличка! За это время нам пришлось испытать массу сложностей, потратить около полумиллиона рублей на оборудование новой студии, но теперь я могу точно сказать, что видеостудия «Ёжик в матане» — это одна из лучших образовательных видеостудий в Москве (а может быть, даже в России!).
Впереди нас ожидает очень много приятной, но не менее сложной работы по записи образовательных роликов, лекций, интервью... Но мы смотрим в будущее с оптимизмом и верой в себя! 😊😊😊
Ёжики, вперёд!! Make CMC great again!!!
#ёжик_в_матане
#make_cmc_great_again
Принимаем ваши поздравления!!! Вчера наконец-то была поставлена точка в истории о передаче нам собственной аудитории для создания видеостудии «Ёжик в матане»! Мы с моим хорошим другом, Серёжей Березанцевым, главным электриком нашего факультета, повесили табличку у входа в нашу студию!
Почти год назад нас попросили освободить аудиторию (нам не принадлежащую), которую мы использовали для видеосъёмки. И вот теперь в МГУ, на факультете ВМК, появилась такая непосредственная и нестандартная табличка! За это время нам пришлось испытать массу сложностей, потратить около полумиллиона рублей на оборудование новой студии, но теперь я могу точно сказать, что видеостудия «Ёжик в матане» — это одна из лучших образовательных видеостудий в Москве (а может быть, даже в России!).
Впереди нас ожидает очень много приятной, но не менее сложной работы по записи образовательных роликов, лекций, интервью... Но мы смотрим в будущее с оптимизмом и верой в себя! 😊😊😊
Ёжики, вперёд!! Make CMC great again!!!
#ёжик_в_матане
#make_cmc_great_again
Ромбоикосододекаэдр — архимедово тело (полуправильный многогранник), одно из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел, построенных из двух или более типов правильных многоугольников. У него 120 рёбер, 60 вершин и 62 грани, 20 из которых являются правильными треугольниками, другие 30 — квадратами, а остальные 12 — правильными пятиугольниками.
Такое громоздкое название ему дал Иоганн Кеплер в своём труде Harmonices Mundi, датируемом 1618 годом. Тем, кто не знаком с составляющими названия этого многогранника, наверняка любопытно, по какой причине ему дано именно такое название. Давайте разбираться.
Приставка «ромбо-» сложилась чисто исторически и не имеет никакого отношения к ромбам или ромбоусечениям, несмотря на распространённый миф: она обозначает наличие в составе многогранника квадратов. Сочетание «икосододекаэдр» указывает на способы, которыми возможно получить этот многогранник. Наиболее распространены три способа сделать это:
Способ 1. Взяв правильный додекаэдр, усечь все его вершины так, чтобы образовались правильные треугольники, и все его рёбра так, чтобы образовались квадраты.
Способ 2. Взяв правильный икосаэдр, усечь все его вершины так, чтобы образовались правильные пятиугольники, и все его рёбра так, чтобы образовались квадраты.
Способ 3. Взяв икосододекаэдр, вставить квадраты между его треугольными и пятиугольными гранями.
Достаточно очевидно, что все рёбра ромбоикосододекаэдра равны: все его грани — правильные многоугольники, а некоторые имеют общие стороны.
Ромбоикосододекаэдр изогонален, полуправилен и обладает икосаэдральной симметрией (Ih). Это означает, что все его вершины геометрически идентичны, что все его грани — правильные, но различные, многоугольники, и что существует 60 различных поворотов и отражений, сохраняющих его форму.
Некоторые вирусы — к примеру, аденовирусы — имеют форму, близкую к ромбоикосододекаэдру. Архитектурные конструкции в стиле хай-тек часто используют его форму для создания сложных, но красивых геометрических структур.
Каждая вершина ромбоикосододекаэдра соединяет треугольник, квадрат и пятиугольник. Если выбрать три цвета и покрасить в один из них все треугольники, в другой — все квадраты, а в оставшийся — все пятиугольники, ромбоикосододекаэдр окажется окрашен в весьма красивый узор.
А что вы знаете об этом многограннике?
https://vk.com/video-186208863_456244162
#геометрия #многогранники
Такое громоздкое название ему дал Иоганн Кеплер в своём труде Harmonices Mundi, датируемом 1618 годом. Тем, кто не знаком с составляющими названия этого многогранника, наверняка любопытно, по какой причине ему дано именно такое название. Давайте разбираться.
Приставка «ромбо-» сложилась чисто исторически и не имеет никакого отношения к ромбам или ромбоусечениям, несмотря на распространённый миф: она обозначает наличие в составе многогранника квадратов. Сочетание «икосододекаэдр» указывает на способы, которыми возможно получить этот многогранник. Наиболее распространены три способа сделать это:
Способ 1. Взяв правильный додекаэдр, усечь все его вершины так, чтобы образовались правильные треугольники, и все его рёбра так, чтобы образовались квадраты.
Способ 2. Взяв правильный икосаэдр, усечь все его вершины так, чтобы образовались правильные пятиугольники, и все его рёбра так, чтобы образовались квадраты.
Способ 3. Взяв икосододекаэдр, вставить квадраты между его треугольными и пятиугольными гранями.
Достаточно очевидно, что все рёбра ромбоикосододекаэдра равны: все его грани — правильные многоугольники, а некоторые имеют общие стороны.
Ромбоикосододекаэдр изогонален, полуправилен и обладает икосаэдральной симметрией (Ih). Это означает, что все его вершины геометрически идентичны, что все его грани — правильные, но различные, многоугольники, и что существует 60 различных поворотов и отражений, сохраняющих его форму.
Некоторые вирусы — к примеру, аденовирусы — имеют форму, близкую к ромбоикосододекаэдру. Архитектурные конструкции в стиле хай-тек часто используют его форму для создания сложных, но красивых геометрических структур.
Каждая вершина ромбоикосододекаэдра соединяет треугольник, квадрат и пятиугольник. Если выбрать три цвета и покрасить в один из них все треугольники, в другой — все квадраты, а в оставшийся — все пятиугольники, ромбоикосододекаэдр окажется окрашен в весьма красивый узор.
А что вы знаете об этом многограннике?
https://vk.com/video-186208863_456244162
#геометрия #многогранники