Симпатичная задача для начинающих геометров

Точки I₁ и I₂ – центры вписанных окружностей рыжего и голубого треугольников
(!) Существование пунктирной окружности

Продолжение предыдущей задачи

Красные окружности касаются боковых сторон в голубых точках

Норм задача

Точки H, O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC, а точка F на AB такова, что OF || BC. Пусть точка M – середина AH.
(!) ∠FMC = 90⁰

Сегодня проводил пару интенсива к региону для девятиков. Несмотря на то, что это 9 класс, на мой взгляд, листик очень тяжелый. Думаю, даже для продвинутых в геоме он потребует хотя бы 2 часа для полного прорешивания...

Еще хочу обратить внимание, что 8 задача – пятерка рега прошлого года 9 класса, у которой я нашел решение, подходящее под тему листка, и которого нет в официальных...

РазминОчка

Пусть P – произвольная точка на стороне BD параллелограмма ABCD. Окружность с центром Р, проходящая через А, повторно пересекаст AB и АD в точках X и Y соответственно. Прямая АР пересекает ВС и СD в точках Q и R соответственно.
(!) ∠XPY = ∠XQY + ∠XRY

Несложная разминка по матану

Цирковая лошадь по команде дрессировщика плавно начинает бег по окружности арены в некоторой точке и, пробежав круг, плавно останавливается в той же точке.
(!) Существует две диаметрально противоположные точки арены, которые лошадь проходит с одной и той же скоростью.

И неплохой текст с разбором прошлой разминки.

Гроб с ММО

Пусть P, Q – произвольные точки на описанной окружности треугольника ABC. Точка Xa на BC такова, что PXa, QXa симметричны относительно BC. Аналогично определим Xb, Xc.
(!) Точки Xa, Xb, Xc лежат на одной прямой

Желаю всем нам удачи на завтрашнем регионе!
Помните, что самое главное это не пройти на закл, а получить удовольствие от решения задач и ни в коем случае не расстаиваться, если что-то не получилось, впереди ещё очень много других олимпиад. Но всё же, пусть геометрия будет пятой, а задачи 1 - 3 полной халявой!

Слив 11.5

На самом деле была задача с ЮМТ в другой формулировке, а в посте её обобщение

Симпатично

Я дурею с этой прикормки

Пусть точки A, B, C, D, E, F таковы, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой и никакие 4 не лежат на одной окружности. Пусть P, Q, R – точки пересечения серединных перпендикуляров к парам отрезков (AD, BE), (BE, CF), (CF, DA). Пусть Po, Qo, Ro – точки пересечения серединных перпендикуляров к парам отрезков (AE, BD), (BF, CE), (CA, DF).
(!) Прямые PPo, QQo, RRo пересекаются в одной точке