Всем привет!!! Многие думают, что самая интересная прямая в треугольнике - прямая Эйлера. И действительно, у нее очень много крутых свойств, но я хочу подвергнуть ее абсолютное первое место сомнению, и предложить другую очень крутую прямую на это место.
Этот пост создан благодаря очень крутому листику кружка цпм по геометрии по линейным функциям(кажется его ещё не опубликовали) и кружочку 179, а конкретно докладу про ортополюс от Дани Дюдяева
Эта прямая - OI, Птолемеева ось треугольника. Я покажу вам множество любопытных фактов в про нее, а вы, надеюсь, вникните в них и попытаетесь решить парочку.
(Номер задачи = номер картинки)
1. Начнем с чего то простого, для чего не нужно никакой теории. Птолемеева ось фиолетового треугольника = прямая Эйлера синего треугольника.(сложность 3/10) наверное уже из этого можно вывести много крутых фактов, но мне лень
2. Задача, для которой ничего про ОI знать не надо, но эта задача все равно вызывает трудности если не знать кое какой факт(не связанный с OI)
Сложность( 4/10 если знать факт, 8-9/10 если не знать)
3. Теперь перейдем к блоку «Птолемеева ось и биссектрисы» он уже посложнее. (Сложность 1/10 если знать про линейные функции связанные с OI, 7/10 если нет)
4. Обобщим задачу для вневписанной окружности, сложность такая же как у 3.
5. Очень сложная задача, связанная с 3. и 4. Тут уже если не знаешь задач 3. и 4. Не справиться(7/10 если знать про 3 и 4, 10/10 если нет)
СПАСИБО ЗА КАРТИНКУ ДЖАСТСАИНС
6. Переходная задача(без теории про связь с линейными функциями, полагаю, не справиться) Докажите что если фиолетовый треугольник крутиться понселе, а точка P - зафиксирована, то сумма розовых отрезков постоянна)
Сложность 3/10 если знать теорию, 10/10 если нет(наверное)
7. Докажите аналогичное про вневписанную окружность(тут надо правильно ориентировать расстояния)
Сложность наверное тоже 3/10
(Нет картинки!!!)
8. Переходим к блоку про Ортополюс. Тут я сам не умею ничего доказывать, просто классные факты)) Докажите что прямые симпсона таких точек пересекаются в точке Фейербаха, а также пересекаются с OI и вписанной окружности в одной точке.
9. Более общий факт: Теорема Фонтене. Докажите что для любой точки на птолемеевой оси ее педальная окружность проходит через точку Фейербаха
10. F - ортополюс OI
11. Бонус. Довольно глупая авторская задача, которую невозможно решить без 1го из фактов выше. Сложность 4/10 если знать этот факт.
Есть еще множество фактов про OI которые я пока не осознал, быть может когда то потом выпущу пост и про них.
В заключении это удивительная прямая с кучей крутых свойств
Этот пост создан благодаря очень крутому листику кружка цпм по геометрии по линейным функциям(кажется его ещё не опубликовали) и кружочку 179, а конкретно докладу про ортополюс от Дани Дюдяева
Эта прямая - OI, Птолемеева ось треугольника. Я покажу вам множество любопытных фактов в про нее, а вы, надеюсь, вникните в них и попытаетесь решить парочку.
(Номер задачи = номер картинки)
1. Начнем с чего то простого, для чего не нужно никакой теории. Птолемеева ось фиолетового треугольника = прямая Эйлера синего треугольника.(сложность 3/10) наверное уже из этого можно вывести много крутых фактов, но мне лень
2. Задача, для которой ничего про ОI знать не надо, но эта задача все равно вызывает трудности если не знать кое какой факт(не связанный с OI)
Сложность( 4/10 если знать факт, 8-9/10 если не знать)
3. Теперь перейдем к блоку «Птолемеева ось и биссектрисы» он уже посложнее. (Сложность 1/10 если знать про линейные функции связанные с OI, 7/10 если нет)
4. Обобщим задачу для вневписанной окружности, сложность такая же как у 3.
5. Очень сложная задача, связанная с 3. и 4. Тут уже если не знаешь задач 3. и 4. Не справиться(7/10 если знать про 3 и 4, 10/10 если нет)
СПАСИБО ЗА КАРТИНКУ ДЖАСТСАИНС
6. Переходная задача(без теории про связь с линейными функциями, полагаю, не справиться) Докажите что если фиолетовый треугольник крутиться понселе, а точка P - зафиксирована, то сумма розовых отрезков постоянна)
Сложность 3/10 если знать теорию, 10/10 если нет(наверное)
7. Докажите аналогичное про вневписанную окружность(тут надо правильно ориентировать расстояния)
Сложность наверное тоже 3/10
(Нет картинки!!!)
8. Переходим к блоку про Ортополюс. Тут я сам не умею ничего доказывать, просто классные факты)) Докажите что прямые симпсона таких точек пересекаются в точке Фейербаха, а также пересекаются с OI и вписанной окружности в одной точке.
9. Более общий факт: Теорема Фонтене. Докажите что для любой точки на птолемеевой оси ее педальная окружность проходит через точку Фейербаха
10. F - ортополюс OI
11. Бонус. Довольно глупая авторская задача, которую невозможно решить без 1го из фактов выше. Сложность 4/10 если знать этот факт.
Есть еще множество фактов про OI которые я пока не осознал, быть может когда то потом выпущу пост и про них.
В заключении это удивительная прямая с кучей крутых свойств
О, прикольно, это можно было бы добавить как задачу в пост про OI. Она тоже легко решается линейными функциями
Forwarded from кружочек (Андрей Рябичев)
[25 марта (ВТОРНИК), 16:15, ауд. 302]
Станислав Кузнецов,
"Коники, 2-2 соответствия и поризм Понселе"
Поризм Понселе (или Теорема Понселе) является классическим фактом проективной алгебраической геометрии. Эта знаменитая теорема является примером так называемой теоремы о замыкании, когда некоторый процесс построения новых точек в результате проведения тех или иных линий, зацикливается через некоторое количество шагов. У этого факта есть множество разных доказательств, версий и обобщений. Все сильные матшкольники в 10-11 классах обычно знают эту теорему и ноль-два ее доказательства в общем случае (есть классическое геометрическое рассуждение через пучки окружностей, а есть аналитическое доказательство через функцию плотности — и то, и другое есть в статье Протасова "два века теоремы Понселе"), но они обладают теми проколами, что работают лишь в вещественной проективной плоскости, то есть используют средства евклидовой геометрии.
На докладе мы обсудим чисто алгебраический подход к поризму Понселе через так называемые 2-2 соответствия, который не просто докажет ее в общем случае на CP² с кониками, но еще и определенное количество смежных фактов: например, этого, этого и этого. Более того, на проекте будут решены две задачи с проекта ЛКТГ по движению точек, одну из которых не решил ни один из участников, а другую не решили даже жюри - некоторое время (больше полугода) она оставалась нерешенной.
Пререквизиты: желательно понимать, что такое CP², CP¹ и коника. В принципе, больше ничего особо и не надо.
Станислав Кузнецов,
"Коники, 2-2 соответствия и поризм Понселе"
Поризм Понселе (или Теорема Понселе) является классическим фактом проективной алгебраической геометрии. Эта знаменитая теорема является примером так называемой теоремы о замыкании, когда некоторый процесс построения новых точек в результате проведения тех или иных линий, зацикливается через некоторое количество шагов. У этого факта есть множество разных доказательств, версий и обобщений. Все сильные матшкольники в 10-11 классах обычно знают эту теорему и ноль-два ее доказательства в общем случае (есть классическое геометрическое рассуждение через пучки окружностей, а есть аналитическое доказательство через функцию плотности — и то, и другое есть в статье Протасова "два века теоремы Понселе"), но они обладают теми проколами, что работают лишь в вещественной проективной плоскости, то есть используют средства евклидовой геометрии.
На докладе мы обсудим чисто алгебраический подход к поризму Понселе через так называемые 2-2 соответствия, который не просто докажет ее в общем случае на CP² с кониками, но еще и определенное количество смежных фактов: например, этого, этого и этого. Более того, на проекте будут решены две задачи с проекта ЛКТГ по движению точек, одну из которых не решил ни один из участников, а другую не решили даже жюри - некоторое время (больше полугода) она оставалась нерешенной.
Пререквизиты: желательно понимать, что такое CP², CP¹ и коника. В принципе, больше ничего особо и не надо.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Вписанная в тетраэдр сфера касается одной грани в инцентре, второй в центроиде, третьей в ортоцентре. Докажите, что она касается четвертой в X57.
Можно ли расположить на плоскости 5 окружностей так, чтобы они попарно касались?