а вот и сегодняшнее видео

https://youtu.be/JM-KDFGE2tA?si=0iL1S3Nj3oUFFJZk

на прошлой неделе мы собирались дважды, поэтому завтра дадим себе небольшой отдых — желающие могут посетить капустник в честь дня учителя, он тоже в 16:15 вроде бы.

а уже в это воскресенье 6 октября состоится базовый тургор! туда надо зарегистрироваться (но не написано насколько заранее), и точек проведения несколько. и, если кто не знает, задачи реально интересные, просто топ один. так что торопитес https://turgor.ru/moscow/index.php

на этой неделе как обычно собираемся в пятницу

[11 октября, 16:15, ауд. 302]
Лев Азманов,
"Коники в элементарной геометрии"

На докладе мы рассмотрим элементарные свойства кривых второго порядка, в частности равнобоких гипербол, и с их помощью постараемся продвинутся в классических и не очень обобщениях теоремы Фейербаха. Если останется время, постараемся понять как их доказать элементарным методами.

Особых знаний для понимания не требуется, но будет здорово если все будут знать про окружность Эйлера и теорему Фейербаха, однако на лекции мы все напомним

срочно в номер! в среду состоится внеочередное заседание кружочка! приезжайте кто успеет

[9 октября (СРЕДА), 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Константа 42 в гиперболической и комплексной геометрии"

Недавно я разобрал будоражащий факт, откуда число 42 берётся в этой науке про всякие пространства модулей, и теперь хочу рассказать подробности всем желающим. Более точно, цель — доказать, что гиперболическая поверхность рода g имеет не более 42(2g-2) изометрий (что бы это ни значило).

Для понимания основной нити сюжета достаточно быть в курсе, что такое 'сфера с ручками', и знать хоть что-то про плоскость Лобачевского. Также нужно не бояться абстрактных построений и оторванных от жизни сюжетных поворотов. Все определения, а также сопутствующие факты и конструкции будут подробно обсуждаться.

вообще я планирую короткий рассказ и не уверен что он получится идеально адаптированным для широкой аудитории. но вы, конечно, заходите — например если тоже любите топологию, ну или если вам просто по пути

видео вот https://www.youtube.com/watch?v=ZZYoCN_xzUg

и комментарий: в самом конце доклада Наташа повторила свой вопрос, для каких g оценка 42(2g-2) является точной. назовём их хорошими. я попробовал порассуждать и привёл два аргумента, оба из которых по-видимому неверные.

во-первых, g=2 вроде бы плохое — не существует метрики на поверхности рода 2, имеющей 84 изометрии. такая поверхность действительно разветвлённо накрывала бы сферу с коническими особенностями индексов 2, 3 и 7, но поиск такого накрытия — проблема Гурвица (а именно — представить перестановку циклового типа <2,2,...,2> на 84 элементах в виде произведения перестановки типа <3,...,3> и перестановки типа <7,...,7>), её люди решать в общем случае не умеют.

с другой стороны, есть пример для g=3, когда изометрий 168, см [Farb, Margalit. A primer on mapping class groups, самый конец §7.3]. пока я не понимаю как он устроен, круто если кто-то умеет в такие вещи и может прийти и объяснить.

а во-вторых, если поверхность S накрывает n-листно поверхность S', то не всякий гомеоморфизм S' может подниматься до гомеоморфизма S. даже если это накрытие Галуа (нормальное), образ π₁(S) же не обязательно сохраняется при гомеоморфизме S'. то есть у S по идее может быть не в n раз больше изометрий.

причём (детективная история!) Фарб-Маргалит тоже говорят, что поверхности, для которых оценка 42(2g-2) точна, можно размножать нормальными накрытиями. а этот аргумент неверен — сразу же после этого они приводят ссылку, что хороших g примерно столько же, сколько точных кубов [Michael Larsen. How often is 84(g−1) achieved?], довольно свежую, хотя я сам пока не понимаю что там написано тоже, здорово если кто-нибудь сможет разобрать и пересказать как они это делают.

вообще пишут, уже лет шестьдесят известно, что и плохих g, и хороших g бесконечно много. а конкретный результат звучит так: сумма Σ 1/g^s по всем хорошим g конечна, если s>1/3, а при s≤1/3 ряд расходится. в частности, последовательность хороших g не может содержать бесконечных арифметических прогрессий, поэтому-то размножать хорошие поверхности накрытиями не получится.

вот так, прикиньте! математика

готово пятничное видео https://www.youtube.com/watch?v=qVYyle_sHTY
по техническим причинам часть видео не записалась (но его всё равно и так никто не посмотрит, так что будем считать всё штатно)

тем, кто хочет спокойно и более подробно разобраться с материалом, докладчик советует статью https://m.mathnet.ru/links/3c7cb4ef8de74e9c9fb75f735942c1bc/mp172.pdf
матпрос почти двадцатилетней давности, а звучит прямо как свежие нейрооткрытия (также см ссылки из самой статьи)

[18 октября (пятница), 16:15, ауд. 302]
Александр Мирошников (МФТИ),
«Инварианты почти вложений графов в плоскость»

Мой доклад начнётся с изложения базовых топологических идей на примере числа оборотов замкнутой ломаной вокруг точки и отображения графа в плоскость.
Эта вводная часть будет интересна и понятна даже тем, кто не интересуется почти вложениями, но плавно подведет к этому понятию.

В основной части доклада мы определим понятие почти вложения графа в плоскость, близкое к уже знакомому вам определению плоского (или планарного) графа. Наконец, мы обсудим инварианты почти вложений: число оборотов и числа Ву, а также соотношения между ними.
Будем много рисовать.

Доклад основан на проекте с Летней Конференции Турнира Городов, где остались открытые проблемы для исследования. Ими я с вами поделюсь.

для привлечения внимания: пример картинки с завтрашнего доклада

вчерашнее видео https://www.youtube.com/watch?v=Y19U3dO-Bfk

и статья, где написано более подробно про почти вложения и их инварианты https://arxiv.org/pdf/2410.09860

нерешённых задач довольно много, есть над чем подумать

[23 октября (СРЕДА), 16:15, ауд. 302]
Петя Кучерявый (матфак ВШЭ),
"Два пути к формуле Стирлинга"

Мы обсудим два метода асимптотического анализа и проиллюстрируем их применение, выведя формулу Стирлинга двумя разными способами. Формула Стирлинга говорит о том, как растёт n! и более общим образом, как ведёт себя гамма-функция – естественное обобщение факториала.

Метод Лапласа позволяет оценивать некоторые интегралы специального вида. Его удаётся применить в этой задаче, поскольку у гамма-функции есть интегральное представление.

Формула Эйлера-Маклорена позволяет оценивать частичные суммы гладких функций по натуральным числам. Поскольку факториал можно представить как экспоненту от суммы логарифмов, формула Эйлера-Маклорена также даёт доказательство формулы Стирлинга.

Оба метода интересны сами по себе и применяются в самых разных задачах.

[2 ноября (СУББОТА), 16:45, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Пинг-понг лемма"

Мы поговорим про группы и действия групп на множествах. Главная цель — разобрать доказательство пинг-понг леммы, а для начала разобраться в её утверждении. Среди прочего, пинг-понг лемма позволяет детектировать свободную группу, вообще её применения весьма обширны, и одно из них нам встречалось совсем недавно — оказывается, почти любой конечный набор поворотов трёхмерного пространства порождает свободную группу.

Для понимания доклада желательно знать заранее что такое группа. Но при необходимости мы обсудим все основные определения, свойства, примеры и смежные факты. Так что приходите, и обратите внимание на нестандартные день и время.

видео вот https://youtu.be/ytzA7syya1E?si=hkr5hvOWCizRNhPV

мистическим образом, финал доказательства парадокса Банаха-Тарского носит роковой и непреступный характер — мы снова не успели разобрать его целиком!

что ж, наука ждëт отважных, по-прежнему

каникулы кончились, давайте попробуем устроить настоящее рабочее заседание семинара

[8 ноября, 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Доказательство теоремы Халина"

Пусть дан связный граф с бесконечным числом вершин (степени вершин конечны). Лучом назовём простой путь бесконечный в одну сторону. Лучи эквивалентны, если существует третий луч, пересекающий их бесконечно много раз. Концы графа суть классы эквивалентности лучей.

Пусть некоторый класс эквивалентности содержит бесконечно много непересекающихся лучей. Тогда, согласно теореме Халина, граф содержит подразбиение гексагональной решётки.

Теория вокруг теоремы Халина уже обсуждалась на кружочке относительно недавно, теперь же хочется поговорить про само доказательство — в надежде придумать его более простое изложение.

приглашаются все желающие активно участвовать в обсуждении. поскольку помимо данного в анонсе определения никакого теоретического материала не ожидается, записи в этот раз скорее всего не будет

[15 ноября, 16:15, ауд. 302]
Илья Владимирович Вьюгин (матфак ВШЭ)
"Уравнение Маркова"

Андрей Марков в своей диссертации в 1879 году рассмотрел диофантово уравнение
x²+y²+z²=3xyz
и описал все его целочисленные решения. Оказалось, что его натуральные решения образуют граф-дерево, а целые решения получаются из натуральных. Я расскажу доказательства этих красивых результатов.

Уравнение Маркова можно также рассматривать над полем ℤₚ вычетов по простому модулю p. Долгое время была открытой гипотеза, утверждающая, что все его решения над полем вычетов по простому модулю получаются факторизацией его целых решений по модулю p. Невероятно сложное доказательство этой гипотезы было получено совсем недавно и опубликовано только в этом году.

Если успеем, мы обсудим эти современные результаты и возникающие при этом вопросы и задачи.

вот сегодняшнее видео https://youtu.be/xyCGheZXlBQ?si=ixo_gRQjxz4Xq-45

и ссылки:

* статья Крейна про уравнения Маркова (Квант, 1985) https://kvant.mccme.ru/1985/04/diofantovo_uravnenie_aamarkova.htm

* доказательство Вильяма Чена для ℤₚ — на архиве https://arxiv.org/abs/2011.12940 и в Annals https://annals.math.princeton.edu/2024/199-1/p05

[22 ноября, 16:15, ауд. 302]
Ваня Яковлев (кроссворд Тьюринга),
"Производящие функции и Пентагональная теорема Эйлера"

Производящие функции — мощный инструмент в комбинаторике, позволяющий исследовать последовательности и обобщать условия типа рекуррентных соотношений. С их помощью можно эффективно решать разнообразные задачи, связанные с подсчетом комбинаторных объектов.

Одним из ярких результатов в этой области является Пентагональная теорема Эйлера, которая устанавливает удивительное соотношение между бесконечным произведением и суммой:
(*)

Эта теорема имеет глубокие связи с изучением чисел разбиений, сумм делителей и другими важными последовательностями, происходящими из арифметики.

На лекции мы познакомимся с основами использования производящих функций в комбинаторике, подробно разберем Пентагональную теорему Эйлера и ее доказательство. В процессе мы введем дополнительные объекты — диаграммы Майя и диаграммы Юнга, и опишем так называемое бозонно-фермионное соответствие между ними.

Лекция рассчитана на школьников. Предварительные знания не требуются — все необходимые понятия и результаты будут введены и объяснены.

вот видео https://www.youtube.com/watch?v=ETCuuTYAwjk

и материалы к лекции:
* книга Табачников, Фукс. Математический дивертисмент (желающие найдут и в электронном виде)
* или брошюра Смирнов. Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы
* а ещё есть запись другой лекции — с другими рекомендациями литературы, а ещё с записками в комментариях

кстати, если вы любите математику в интернете, то наверное уже знаете канал Вани с более разнообразным контентом https://www.group-telegram.com/turings_crossword

[29 ноября, 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"О трудностях в геометрической топологии"

Все знают, что замкнутая несамопересекающаяся кривая на плоскости делит её на две части; более того, можно доказать, что она вырезает из плоскости что-то вроде диска.

Оказывается, в трёхмерном пространстве аналогичный факт неверен — можно задать такое непрерывное вложение сферы в ℝ³, что ни одна из компонент дополнения не будет гомеоморфна шару.

Другая интересная патология, придуманная даже чуть раньше, — можно непрерывно вложить в ℝ³ канторово множество так, что в дополнении существует нестягиваемая петля. В это невозможно поверить, поскольку между любыми двумя точками в канторовом множестве есть разрыв.

Мы подробно разберём эти и некоторые другие примеры (такие как дикие узлы и кривая Пеано), доступно и с картинками. Знать строгое определение непрерывности не помешает, но для понимания доклада это не обязательно.