Математическая свалка Сепы

Связь с гомологическими сферами

Мы здесь будем говорить в терминах кусочно-линейной топологии. Комбинаторная триангуляция кусочно-линейного многообразия M — это кусочно-линейный гомеоморфизм с геометрической реализацией симплициального комплекса K.

Понятие комбинаторной триангуляции отличается от общего понятия триангуляции, где гомеоморфизм не предполагается кусочно-линейным. Например, существует некомбинаторная триангуляция пятимерной сферы. Но некомбинаторные триангуляции — это экзотическая тема. Все триангуляции, которые легко себе представить, комбинаторные.

Если есть комбинаторная триангуляция K замкнутого кусочно линейного многообразия M, то можно построить такой орграф G, вершины которого — это симплексы K, и ещё две дополнительные вершины 0 и 1. Стрелки в G бывают трёх видов
1) s —> t, где s грань симплекса t (коразмерности один),
2) 0 —> s, где s — это 0-симплекс
3) s —> 1, где s — это симплекс максимальной размерности.

ТЕОРЕМА: Орграф G диагональный тогда и только тогда, когда M гомологическая сфера.

Магнитудные гомологии таких орграфов G, построенным по комбинаторной триангуляции кусочно-линейного многообразия, мы умеем вычислять и в общем случае, для любого многообразия M. Диагональная часть хитрая, зависит от комбинаторики, а недиагональная часть зависит только от гомологий M. Это даёт прикольный источник примеров орграфов с определенными магнитудными гомологиями.

https://arxiv.org/abs/2405.04748

arXiv.org

On diagonal digraphs, Koszul algebras and triangulations of...

The article is devoted to the magnitude homology of digraphs, with a primary focus on diagonal digraphs, i.e., digraphs whose magnitude homology is concentrated on the diagonal. For any digraph...

www.group-telegram.com/us/math_dump_of_sepa.com/226

2.0K viewsSergei, edited  May 16 at 04:56

Связь с гомологическими сферами

Мы здесь будем говорить в терминах кусочно-линейной топологии. Комбинаторная триангуляция кусочно-линейного многообразия M — это кусочно-линейный гомеоморфизм с геометрической реализацией симплициального комплекса K.

Понятие комбинаторной триангуляции отличается от общего понятия триангуляции, где гомеоморфизм не предполагается кусочно-линейным. Например, существует некомбинаторная триангуляция пятимерной сферы. Но некомбинаторные триангуляции — это экзотическая тема. Все триангуляции, которые легко себе представить, комбинаторные.

Если есть комбинаторная триангуляция K замкнутого кусочно линейного многообразия M, то можно построить такой орграф G, вершины которого — это симплексы K, и ещё две дополнительные вершины 0 и 1. Стрелки в G бывают трёх видов
1) s —> t, где s грань симплекса t (коразмерности один),
2) 0 —> s, где s — это 0-симплекс
3) s —> 1, где s — это симплекс максимальной размерности.

ТЕОРЕМА: Орграф G диагональный тогда и только тогда, когда M гомологическая сфера.

Магнитудные гомологии таких орграфов G, построенным по комбинаторной триангуляции кусочно-линейного многообразия, мы умеем вычислять и в общем случае, для любого многообразия M. Диагональная часть хитрая, зависит от комбинаторики, а недиагональная часть зависит только от гомологий M. Это даёт прикольный источник примеров орграфов с определенными магнитудными гомологиями.

https://arxiv.org/abs/2405.04748

BY Математическая свалка Сепы