Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств F : D —> sSets. Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора) B_{n,d} ⊆ F(d)_n, которые замкнуты относительно вырождений s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d}, и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм f : d' —> d и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества S' <—< S >—> S'', то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ..., то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми. ... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ... Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки S_n = *. Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество ... —> (n-2) —> (n-1) —> (n), составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets." (Определение свободной диаграммы §2.4. Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces." (Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization" (Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств F : D —> sSets. Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора) B_{n,d} ⊆ F(d)_n, которые замкнуты относительно вырождений s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d}, и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм f : d' —> d и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества S' <—< S >—> S'', то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ..., то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми. ... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ... Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки S_n = *. Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество ... —> (n-2) —> (n-1) —> (n), составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets." (Определение свободной диаграммы §2.4. Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces." (Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization" (Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
BY Математическая свалка Сепы
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
"We as Ukrainians believe that the truth is on our side, whether it's truth that you're proclaiming about the war and everything else, why would you want to hide it?," he said. "The argument from Telegram is, 'You should trust us because we tell you that we're trustworthy,'" Maréchal said. "It's really in the eye of the beholder whether that's something you want to buy into." Perpetrators of these scams will create a public group on Telegram to promote these investment packages that are usually accompanied by fake testimonies and sometimes advertised as being Shariah-compliant. Interested investors will be asked to directly message the representatives to begin investing in the various investment packages offered. Sebi said data, emails and other documents are being retrieved from the seized devices and detailed investigation is in progress. If you initiate a Secret Chat, however, then these communications are end-to-end encrypted and are tied to the device you are using. That means it’s less convenient to access them across multiple platforms, but you are at far less risk of snooping. Back in the day, Secret Chats received some praise from the EFF, but the fact that its standard system isn’t as secure earned it some criticism. If you’re looking for something that is considered more reliable by privacy advocates, then Signal is the EFF’s preferred platform, although that too is not without some caveats.
from us
