Прежде чем говорить про пятый способ определить гомологии, я хочу поговорить про другой взгляд на симплициальные гомологии. Через комонады (я не хочу здесь объяснять, что такое комонады, кто не знает, может это пропустить и пропустить пятое определение гомологий). По каждой комонаде можно построить бар-конструкцию. При помощи неё можно определить комонадные производные функторы, которые ещё называются производными функторами Барра-Бека [1]. В нашем случае мы можем рассмотреть комонаду, которая соответствует паре сопряженности, состоящей из забывающего функтора в множества Lie → Set и функтора свободной алгебры Ли Set → Lie. Обозначим соответствующую комонаду на категории алгебр Ли через G^S. Тогда бар-конструкция по этой комонаде — это свободная симплициальная резольвента. Поэтому симплициальные гомологии — это комонадные производные функторы относительно комонады G^S.

Но на категории алгебр Ли есть ещё одна разумная комонада. Она соответствует забывающему функтору не в множества, а в k-модули Lie → Mod, и функтору свободной алгебры из категории модулей Mod → Lie. Обозначим эту комонаду через G^M.

5) Относительные симплициальные гомологии определяются как комонадные производные функторы относительно комонады G^M

Видимо, это определение можно было бы дать и на языке модельных категорий, нужно было бы определять расслоения как k-расщепляющиеся эпиморфизмы, но это много возни. Через комонады проще.

Мы доказали, что среди этих пяти функторов над произвольным кольцом могут быть изоморфны только H^{RT} и H^{RS}, остальные точно различны. Мы строим много примеров, показывая, что все они не изоморфны, кроме этой пары. Однако мы доказываем и положительные результаты.

ТЕОРЕМА. Если алгебра Ли над произвольным коммутативным кольцом плоская как модуль над этим кольцом, то все пять видов гомологий естественно изоморфны.

ТЕОРЕМА. Если g — алгебра Ли над областью главных идеалов, то H^{CE}, H^{RT} и H^{RS} от этой алгебры изоморфны, и все пять видов вторых гомологий изоморфны и задаются при помощи формулы Хопфа.

Однако, мы приводим пример алгебры Ли g над ℤ, для которой

В этом примере самым сложным было разобраться с третьими симплициальными гомологиями. Для этого целую науку пришлось построить про то, как считать третьи симплициальные гомологии. Ключевое слово здесь — спектральная последовательность Шевале-Эйленберга.

Мы определяем производные комплексы Шевале-Эйленберга L_mCE(g) через производные функторы в смысле Дольда-Пуппе

Гомологии этих комплексов обозначаем так:

И называем производными гомологиями Шевале-Эйленберга. Оказывается, есть спектральная последовательность, сходящаяся от производных гомологий Шевале-Эйленберга к симплициальным гомологиям

, которую мы называем спектральной последовательностью Шевале-Эйленберга. Благодаря изучению этой спектральной последовательности, мы получаем точную последовательность

Эта последовательность позволяет свести изучение третьих симплициальных гомологий к изучению H^{CE}_{2,1}. Это всё ещё очень сложный функтор, но нам удалось получить некоторое его описание на языке производных функторов по Дольду-Пуппе, используя результаты Брина и Жана [2],[3]. А именно, если мы вслед за Брином и Жаном, обозначим через Омега первый производный функтор от внешнего квадрата

и используем описание его элементов на языке Брина, то у нас возникает такая точная последовательность

Эта последовательность позволяет нам вычислять H_{2,1}^{CE}.

Кроме всего прочего, о чём я сказал, для нас очень важным инструментом в работе оказался комплекс Кошуля. Но эта тема заслуживает отдельного поста.

[1] Michael Barr and Jon Beck. “Homology and standard constructions”. Seminar on triples and categorical homology theory. Springer. 1969, pp. 245–335

[2] Lawrence Breen. “On the functorial homology of abelian groups”. Journal of Pure and Applied Algebra 142.3 (1999), pp. 199–237.

[3] F. Jean. “Foncteurs derives de lalgebre symetrique: Application au calculde certains groupes dhomologie fonctorielle des espaces K(B, n), Doctoralthesis”. PhD thesis. University of Paris 13, 2002.

Один знакомый математик работал в совместном проекте СПбГУ и "Газпром нефть". Газпром нефть для бурения своих вышек использует сложные вычисления для определения точного места для вышки, тратит кучу ресурсов на вычисления. Проект заключался в том, чтобы применить какие-то продвинутые математические методы для оптимизации вычислений. Разбираясь в алгоритме Газпром нефти, мой друг с коллегами переформулировали некоторую часть этого алгоритма в матричном виде. Оказалось, что существенная с вычислительной точки зрения часть алгоритма сводилась к произведению трёх больших матриц ABC. При этом A — это длинная строчка, а B,C — это какие-то матрицы большие и в ширину, и в высоту. По факту в алгоритме в начале вычислялось произведение BC, а потом уже полученное умножалось на A. Несмотря на ассоциативность умножения матриц
A(BC)=(AB)C,
с вычислительной точки зрения более оптимально в начале умножить строку A на B, а потом уже получившуюся строку на С. Умножать строку на большую матрицу гораздо проще, чем две больших матрицы между собой. Чтобы это заметить Газпром нефти потребовались учёные из университета. В итоге Газпром нефть экономит кучу ресурсов благодаря такому простому замечанию.

Я то думал, зачем нужны математики. Оказывается они нужны, чтобы объяснять другим, в каком порядке лучше матицы перемножать ))

Концептуальный взгляд на понятие определителя матрицы

Всем нам в студенческие годы рассказывают про то, что определитель квадратной n×n-матрицы над полем K определяется по следующей формуле.