Рассказывают о различных полезных свойствах определителя. Например, говорят, что определитель произведения — это произведение определителей, что матрица обратима тогда и только тогда, когда определитель ненулевой, что определитель не меняется при замене базиса, и так далее. Учат вычислять их, обращать матрицы при помощи них. Но остаётся не совсем понятным, почему такая странная формула даёт такой полезный инструмент. Особенно, если человек, как и я, не любит сложные формулы, остаётся осадочек.
Алгебраисты, гомотописты и алгебраические геометры не любят координаты. Предпочитают так называемый «бескоординатный подход». Потому что при таком подходе общая теория оказывается более понятной, а координаты нужны уже для конкретных вычислений. В случае линейной алгебры бескоординатный подход — это подход, при котором мы рассматриваем векторные пространства и линейные отображения между ними, не выбирая в них базис, и не записывая линейные отображения в виде матриц. Так как определитель не меняется при замене базиса, понятно, что определитель корректно определён для любого линейного отображения из конечномерного векторного пространства в себя a:V→V. Хочется дать какое-то определение определителя, для которого не нужно было бы выбирать базис и записывать его в виде матрицы.
Когда я пытался рассказать об этом аналитику, он мне сказал, что определитель можно определить как объём параллелепипеда, который получается как образ куба со стороной 1 при этом линейном отображении. Это очень хорошее интуитивно понятное свойство определителя, но во-первых, это только над полем вещественных чисел ℝ; во-вторых, это модуль определителя, знак так не получить, для знака нужно ориентацию учитывать; в-третьих, концепция объёма в многомерном пространстве с чисто математической точки зрения более сложна, чем концепция определителя. Но в целом мне понравилось это замечание.
Алгебраисты делают иначе. Они определяют определитель линейного отображения a: V→V через внешнюю алгебру. Минусы такого подхода в том, что он тоже, как и в случае определения через объём, требует знания более сложных концепций. А именно, нужно знать, что такое тензорное произведение и начала теории категорий. Плюсы в том, что определитель возникает абсолютно естественным образом в полной общности, бескоординатно, все его свойства очевидны, и это определение допускает различные обобщения.
Ну перейдём к определению.
Напомню, что тензорная алгебра TV векторного пространства V определяется как прямая сумма его тензорных степеней.
Алгебраисты, гомотописты и алгебраические геометры не любят координаты. Предпочитают так называемый «бескоординатный подход». Потому что при таком подходе общая теория оказывается более понятной, а координаты нужны уже для конкретных вычислений. В случае линейной алгебры бескоординатный подход — это подход, при котором мы рассматриваем векторные пространства и линейные отображения между ними, не выбирая в них базис, и не записывая линейные отображения в виде матриц. Так как определитель не меняется при замене базиса, понятно, что определитель корректно определён для любого линейного отображения из конечномерного векторного пространства в себя a:V→V. Хочется дать какое-то определение определителя, для которого не нужно было бы выбирать базис и записывать его в виде матрицы.
Когда я пытался рассказать об этом аналитику, он мне сказал, что определитель можно определить как объём параллелепипеда, который получается как образ куба со стороной 1 при этом линейном отображении. Это очень хорошее интуитивно понятное свойство определителя, но во-первых, это только над полем вещественных чисел ℝ; во-вторых, это модуль определителя, знак так не получить, для знака нужно ориентацию учитывать; в-третьих, концепция объёма в многомерном пространстве с чисто математической точки зрения более сложна, чем концепция определителя. Но в целом мне понравилось это замечание.
Алгебраисты делают иначе. Они определяют определитель линейного отображения a: V→V через внешнюю алгебру. Минусы такого подхода в том, что он тоже, как и в случае определения через объём, требует знания более сложных концепций. А именно, нужно знать, что такое тензорное произведение и начала теории категорий. Плюсы в том, что определитель возникает абсолютно естественным образом в полной общности, бескоординатно, все его свойства очевидны, и это определение допускает различные обобщения.
Ну перейдём к определению.
Напомню, что тензорная алгебра TV векторного пространства V определяется как прямая сумма его тензорных степеней.
Это градуированная алгебра, в которой произведение определяется приписыванием, или точнее сказать «притензориванием».
Можно заметить, что TV — это свободная ассоциативная алгебра с единицей, порождённая V, то есть отображение V→TV универсально среди всех линейных отображений в ассоциативные алгебры.
Внешняя алгебра ΛV векторного пространства V — это фактор тензорной алгебры TV по идеалу, порождённому соотношениями v²=0
Внешняя алгебра ΛV векторного пространства V — это фактор тензорной алгебры TV по идеалу, порождённому соотношениями v²=0
Этот идеал однородный, поэтому внешняя алгебра тоже оказывается градуированной, и её n-ая компонента называется n-ой внешней степенью.
Легко видеть, что внешние степени задают (неаддитивные) функторы на категории векторных пространств. В частности, для каждого линейного отображения a:V→ U задано линейное отображение между внешними степенями. Можно показать, что размерность внешней степени конечномерного векторного пространства вычисляется как биномиальный коэффициент.
Если d=dim V, то d-ая внешняя степень одномерна и поэтому соответствующее линейное отображение из d-ой внешней степени в себя — это умножение на скаляр. Этот скаляр и называется определителем линейного отображения a: V→V.
Однако, замечу, что я слышал историю про то, как один преподаватель алгебры в университете дал определение определителя первокурсникам именно на таком языке, и ему пришлось писать объяснительную на эту тему. Не зашло оно первокурсникам. Если бы я читал алгебру студентам, я бы, наверное, не стал давать это определение при первом знакомстве с определителем. Я бы построил курс таким образом, что в начале студенты узнают всё про определитель через стандартную формулу, а скажем, через год, после того, как у них пройдёт базовый курс теории категорий, я бы рассказал полилинейную алгебру с тензорными произведениями, и только тогда рассказал бы про такое бескоординатное определение определителя.
Подробнее про такой подход к определителям можно прочитать в книжке Бурбаки «Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра», Глава III, §6.
UPD. В комментариях Григорий Мерзон заметил, что можно дать такое же бескоординатное определение определителя в полной общности, не определяя тензорные произведения и внешние степени. Если V — d-мерное векторное пространство над некоторым полем K, то отображение φ: V^d → K называется ориентированным объёмом, если оно полилинейно и обращается в ноль, если какие-то два из её аргументов равны. Обозначим множество ориентированных объёмов через Vol(V). Тогда можно доказать, что Vol(V) образует одномерное векторное пространство, и для каждого линейного отображения a:V→V индуцированное отображение на пространстве объёмов задаётся как умножение на определитель.
Этот подход эквивалентен подходу через внешние степени, потому что есть очевидный изоморфизм.
Vol(V) = Hom( Λ^d(V) , K )
То есть это просто двойственное пространство к внешней степени. Его плюс в том, что не надо знать тензорные произведения. Его минус в том, что это всё придумано только для того, чтобы ввести определитель бескоординатно. А внешние степени постоянно возникают в алгебре естественным образом и без всяких определителей. Этот подход интересен, но скорее как методологический, когда очень хочется рассказать бескоординатно, но не хочется мучить студентов такой абстракцией как тензорное произведение.
Подробнее про такой подход к определителям можно прочитать в книжке Бурбаки «Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра», Глава III, §6.
UPD. В комментариях Григорий Мерзон заметил, что можно дать такое же бескоординатное определение определителя в полной общности, не определяя тензорные произведения и внешние степени. Если V — d-мерное векторное пространство над некоторым полем K, то отображение φ: V^d → K называется ориентированным объёмом, если оно полилинейно и обращается в ноль, если какие-то два из её аргументов равны. Обозначим множество ориентированных объёмов через Vol(V). Тогда можно доказать, что Vol(V) образует одномерное векторное пространство, и для каждого линейного отображения a:V→V индуцированное отображение на пространстве объёмов задаётся как умножение на определитель.
Этот подход эквивалентен подходу через внешние степени, потому что есть очевидный изоморфизм.
Vol(V) = Hom( Λ^d(V) , K )
То есть это просто двойственное пространство к внешней степени. Его плюс в том, что не надо знать тензорные произведения. Его минус в том, что это всё придумано только для того, чтобы ввести определитель бескоординатно. А внешние степени постоянно возникают в алгебре естественным образом и без всяких определителей. Этот подход интересен, но скорее как методологический, когда очень хочется рассказать бескоординатно, но не хочется мучить студентов такой абстракцией как тензорное произведение.
Роман Михайлов написал обзор "Homotopy patterns in group theory", который посвящен памяти Пасси и будет использоваться для выступления на конгрессе в следующем году.
https://arxiv.org/abs/2111.00737
https://arxiv.org/abs/2111.00737
В 2015 году я занимался со школьником по имени Данил Фиалковский. Мы изучали вопрос о коммутаторной длине элементов свободной группы. Напомню, что коммутаторная длина элемента из коммутанта какой-то группы — это минимальное число коммутаторов, в виде произведения которых его можно представить.
Харлампович и Мясников доказали, что в коммутанте свободной группы ранга 2 существует последовательность элементов, коммутаторные длины которых стремятся к бесконечности, а коммутаторные длины квадратов ограничены. То есть возведение в квадрат может во сколько угодно раз сократить коммутаторную длину. Но их доказательство очень неявное. Мы с Ромой обсуждали это, и нам хотелось найти конкретный элемент w коммутанта свободной группы ранга 2 такой, что
cl(w) > cl(w^2).
Но у нас не получилось.
В какой-то момент я подключил школьника Данила к этой задаче, и он разработал классный быстрый алгоритм для вычисления коммутаторной длины, основанный на работах Валерия Бардакова. Но такой элемент мы так и не смогли найти. Данил поучаствовал в конкурсах научных работ школьников, рассказывая про свой алгоритм, получил какие-то хорошие призы на американском конкурсе ISEF. Журналисты перестарались, раскручивая эту историю
("Школьник из Петербурга получил в США "малую Нобелевскую" премию по математике!!!" ; "Школьный гений. Как юный математик из Петербурга удивил американских учёных!!!" и тп
https://rg.ru/2015/05/21/shkolnik.html ).
Мы с Данилом выложили работу в архив, попробовали опубликовать в каком-то хорошем журнале, её отклонили. Мы приуныли и как-то забили на это дело. Препринт остался пылиться на архиве. Данил не пошел в математику, пошел учиться в высшую школу менеджмента. Вся эта история забылась...
Прошло 6 лет.
Пару месяцев назад Рома встретился с Лораном Бартольди и рассказал ему про эту задачу. Лоран начал гуглить и наткнулся на наш с Данилом препринт. Запрогал наш алгоритм. Подумал немного и придумал некоторый класс слов в свободной группе, коммутаторная длина квадратов которых заведомо не больше двух. При этом коммутаторная длина самого слова априори никак не ограничена. Начал перебирать такие слова, вычисляя коммутаторные длины при помощи нашего алгоритма, и нашел такое слово w, которое мы так долго искали
cl(w)=3
cl(w^2)=2.
Длина слова равна 64. По пути он доказал всякие свойства нашего алгоритма на языке теории сложности, которую я не знаю (какие-то LogSpace). А ещё он показал, что наш алгоритм быстрее определяет, является ли слово коммутатором, чем известный до этого алгоритм Викса.
Написали совместную статью. Лоран Бартольди, Данил Фиалковский и я. Пока выложили на архив, будем публиковать.
https://arxiv.org/abs/1504.04261
Харлампович и Мясников доказали, что в коммутанте свободной группы ранга 2 существует последовательность элементов, коммутаторные длины которых стремятся к бесконечности, а коммутаторные длины квадратов ограничены. То есть возведение в квадрат может во сколько угодно раз сократить коммутаторную длину. Но их доказательство очень неявное. Мы с Ромой обсуждали это, и нам хотелось найти конкретный элемент w коммутанта свободной группы ранга 2 такой, что
cl(w) > cl(w^2).
Но у нас не получилось.
В какой-то момент я подключил школьника Данила к этой задаче, и он разработал классный быстрый алгоритм для вычисления коммутаторной длины, основанный на работах Валерия Бардакова. Но такой элемент мы так и не смогли найти. Данил поучаствовал в конкурсах научных работ школьников, рассказывая про свой алгоритм, получил какие-то хорошие призы на американском конкурсе ISEF. Журналисты перестарались, раскручивая эту историю
("Школьник из Петербурга получил в США "малую Нобелевскую" премию по математике!!!" ; "Школьный гений. Как юный математик из Петербурга удивил американских учёных!!!" и тп
https://rg.ru/2015/05/21/shkolnik.html ).
Мы с Данилом выложили работу в архив, попробовали опубликовать в каком-то хорошем журнале, её отклонили. Мы приуныли и как-то забили на это дело. Препринт остался пылиться на архиве. Данил не пошел в математику, пошел учиться в высшую школу менеджмента. Вся эта история забылась...
Прошло 6 лет.
Пару месяцев назад Рома встретился с Лораном Бартольди и рассказал ему про эту задачу. Лоран начал гуглить и наткнулся на наш с Данилом препринт. Запрогал наш алгоритм. Подумал немного и придумал некоторый класс слов в свободной группе, коммутаторная длина квадратов которых заведомо не больше двух. При этом коммутаторная длина самого слова априори никак не ограничена. Начал перебирать такие слова, вычисляя коммутаторные длины при помощи нашего алгоритма, и нашел такое слово w, которое мы так долго искали
cl(w)=3
cl(w^2)=2.
Длина слова равна 64. По пути он доказал всякие свойства нашего алгоритма на языке теории сложности, которую я не знаю (какие-то LogSpace). А ещё он показал, что наш алгоритм быстрее определяет, является ли слово коммутатором, чем известный до этого алгоритм Викса.
Написали совместную статью. Лоран Бартольди, Данил Фиалковский и я. Пока выложили на архив, будем публиковать.
https://arxiv.org/abs/1504.04261
Доложился на семинаре Тайманова "Геометрия, топология и их приложения". Рассказал про разные виды рационализаций групп и пространств. Включая ту, которую я переоткрыл, омега-рационализацию. Прикрепляю слайды. В течении пары недель напишу обзор и выложу в архив.