Наконец дошли руки дописать и выложить в архив обещанный обзор разных теорий рационализации для групп и пространств.

https://arxiv.org/abs/2111.10694

Есть 4 теории рационализации не односвязных пространств, которые обобщают классическую рационализацию односвязных пространств:

1) Q-пополнение Боусфилда-Кана
2) Гомологическая рационализация Боусфилда
3) Ω-рационализация Касакуберты-Печке
4) π_1-послойная рационализация, которую придумали Гомез-Тато, Гальперин и Танре.

Им соответствуют три рационализации не нильпотентных групп, которые обобщают классическое пополнение Мальцева:

1) Q-пополнение
2) HQ-локализация
3) Локализация Баумслага

А четвёртой теории рационализаций пространств ничего не соответствует. Потому что она не меняет фундаментальную группу.

Вот я разложил базовые факты про эти рационализации и простейшие связи между ними. Чтобы все знали, что есть много способов рационализовать группы и пространства и все они хороши по своему.

HR-длина свободной группы и полиномиальные функторы.

Пусть R — либо подкольцо ℚ, либо R=ℤ/nℤ. Тогда HR-локализация группы G — это универсальный гомоморфизм
G —> LG,
для которого
H_1(G,R) —> H_1(LG,R) — изоморфизм,
H_2(G,R) —> H_2(LG,R) — эпиморфизм.

Для вычисления HR-локализации Боусфилдом была придумана естественная трансфинитная башня эпиморфизмов, проиндексированная ординалами
L_1G <— L_2G <— .... <— L_αG <--..,
которая определяется индуктивно, и такая, что для достаточно большого ординала α
LG=L_αG.
Наименьшее α, для которого это равенство выполняется, называется HR-длиной группы G. На самом деле, L_αG — это факторы LG по трансфинитному нижнему R-центральному ряду.

Этот инвариант группы интересен тем, что если два пространства R-гомологически эквивалентны, то HR-длины их фундаментальных групп совпадают.

Мы уже давно с Ромой мечтам вычислить HR-длину свободной неабелевой группы F, но не получается. Из работ Боусфилда следовало, что Hℤ-длина F не меньше ω+1. Из наших работ по проблеме Боусфилда следовало, что HR-длина F не меньше ω+1 для любого R. Потом мы доказали, что Hℤ-длина F не меньше, чем ω+2. И вот сейчас у нас небольшой прорыв, который я аккуратно сформулирую в виде теоремы.

ТЕОРЕМА: Пусть R — подкольцо ℚ, и F — свободная группа ранга не меньше двух. Тогда HR-длина F не меньше, чем ω+ω.

Доказали мы эту теорему неожиданным методом: анализом спектральных последовательностей на языке полиномиальных функторов над ℚ. Рома давно продвигал эту идею, что нужно клетки спектралок стараться заполнять не абелевыми группами, а функторами из категории свободных конечно порождённых абелевых групп в категорию абелевых групп. Естественных преобразований между функторами может быть гораздо меньше, чем между их значениями на ℤ. Это даёт сильные ограничения на то, какие могут быть дифференциалы. Но толком эта идея нигде не сработала до этого момента. А сейчас сработала. Правда, сработала небольшая её модификация, надо не абелевы группы смотреть, а ℚ-векторные пространства, так гораздо проще.

Я уже писал когда-то про теорию строго полиномиальных и теорию полиномиальных функторов ( https://vk.com/wall-123600092_574 ). Преимущество рациональных чисел в том, что над ними эти две теории совпадают. Благодаря этому класс полиномиальных функторов из категории конечномерных векторных пространств во все векторные пространства
vect(ℚ) —> Vect(ℚ)
обладает двумя замечательными свойствами:
1) он замкнут относительно расширений и подфакторов внутри категории всех функторов vect(ℚ) —> Vect(ℚ);
2) можно определить однородные функторы степени n так, что каждый полиномиальный функтор однозначно распадается в прямую сумму однородных компонент, и между однородными функторами разных степеней нет естественных преобразований.

Это позволило нам чётко разложить некоторые спектралки на независимые компоненты, на "однородные спектралки", что и позволило решить нашу задачу.

Текст выложен в архиве:

https://arxiv.org/abs/2111.11835

Уже 14 лет назад мы с Сашей Ивановым сделали этот ролик в честь 15-летия ЛНМО. До сих пор мне он нравится.

https://youtu.be/lM2w9naCDx4

Написал Стивен Гальперин недавно. Спросил, чего это я рационализацию Сулливана не упоминаю в своём обзоре рационализаций. Говорит, она отлично работает для всех пространств, не только односвязных. Не сразу понял, что он имеет ввиду под рационализацией Сулливана. В начале подумал, что это по-клеточная конструкция с локальными клетками. Но оказалось нет, по-клеточная конструкция не функториальна по гомотопической категории для неодосвязных пространств, гомотопический тип зависит от клеточного разложения.

Оказалось, что рационализация Сулливана строится так: надо в начале взять минимальную модель Сулливана, а потом её геометрическую реализацию. Техника минимальных моделей есть и для неодносвязных пространств, она, правда, эквивалентности категорий не даёт, и вообще более сложная, но полезная.

Добавил я значит в свой обзор тему про рационализацию Сулливана. Она оказалась равна Q-пополнению Боусфилда-Кана для пространств конечного типа (с конечными числами Бетти). Так что как бы ничего нового, но конструкция совершенно другая, через dg-алгебры.

Гальперин всё равно остался недоволен. Я не до конца понял, что ему не понравилось. Но у него какое-то явно совсем другое видение этой темы.

https://arxiv.org/abs/2111.10694

Вычисления Тангоры нестабильной спектральной последовательности Адамса для 2-кручения гомотопических групп S^2

Решил открыть книгу Тангоры 1985-ого года про его вычисления второго листа нестабильной спектральной последовательности Адамса для сфер (которая сходится к p-кручению гомотопических групп сфер) и посмотреть, что же он там вычислил для двумерной сферы и p=2. Он там это всё делает на языке лямбда-алгебры. Когда мы с Ромой и Джи Ву доказывали, что гомотопические группы двумерной сферы нетривиальны,
( вот статья, кстати:
https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/hha/content/vols/0018/0002/a018/ )
мы в большей степени изучали 3-кручение, искали там ненулевые элементы, а тут я решил на 2-кручение посмотреть. У Тангоры это всё в такой неудобоваримой форме записано, что я решил сделать гугл-табличку и записать размерности соответствующих векторных пространств над полем из двух элементов. Делал вручную, надеюсь, нигде не накосячил, я два раза перепроверял. Там есть некоторые тонкости со сдвигами градуировок, я тут сдвинул всё так, чтобы n-ая строка соответствовала n-ой гомотопической группе S^2. А дифференциал на r-ом листе идёт из клетки с индексом (n,m) в клетку с индексом (n+r,m+1). То есть он всегда между соседними строчками, а не диагоналями. Мы это называем "спектральной последовательностью с построчной сходимостью". Синей линией отмечена "линия обнуления", правее которой сплошные нули. Пустые клетки обозначают нули, а вопросы — клетки, для которых Тангора не смог вычислить. Большая часть ненулевых клеток одномерны, но есть две двумерные. На этой табличке, например, хорошо видно, что 2-кручение в девятой и десятой гомотопических группах S^2 тривиально. Если посмотреть до 21-ой гомотопической группы S^2 то оказывается, что этот второй лист на этих уровнях совпадает c бесконечным.

Вот для сравнения сами 2-кручения гомотопических групп S^2, которые я переписал с википедии:

π_4(S^2)(2) = Z/2
π_5(S^2)(2) = Z/2
π_6(S^2)(2) = Z/4
π_7(S^2)(2) = Z/2
π_8(S^2)(2) = Z/2
π_9(S^2)(2) = 0
π_10(S^2)(2) = 0
π_11(S^2)(2) = Z/2
π_12(S^2)(2) = Z/2 + Z/2
π_13(S^2)(2) = Z/4 + Z/2
π_14(S^2)(2) = Z/4 + Z/2 + Z/2
π_15(S^2)(2) = Z/2 + Z/2
π_16(S^2)(2) = Z/2
π_17(S^2)(2) = Z/2
π_18(S^2)(2) = Z/2
π_19(S^2)(2) = Z/2 + Z/2
π_20(S^2)(2) = Z/4 + Z/2 + Z/2
π_21(S^2)(2) = Z/4 + Z/2 + Z/2


вот гугл-табличка:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1p6W7cjEJvknxhnXsq6HtvHZe9ecwzWDuOPOxs_IIgQ0/edit#gid=0

Куда можно вложить счётную группу?

(1949) Любая счётная группа вкладывается в 2-порождённую группу.

(1976) Любая счётная группа вкладывается в 6-порождённую простую группу.

(1980) Любая счётная группа вкладывается в 7-порождённую ацикличную группу.

(2018) Любая счётная группа вкладывается в FP_2-группу*.

* FP_n-группа или группа типа FP_n — это группа G, для которой существует проективная резольвента тривиального Z[G]-модуля
...→ P_3 → P_2 → P_1 → P_0 → Z,
для которой проективные модули P_0,P_1, ... P_n конечно порождены (а остальные — любые). FP_2-группу эквивалентно можно определить как группу, у которой аугментационный идеал I(G) конечно представим как модуль. Любая конечно представимая группа, например, является FP_2-группой. Поэтому FP_2-группы иногда называют почти конечно представимыми. Обратное неверно: существуют FP_2-группы, которые не конечно представимы. Например, это следует из того, что не все счётные группы вкладываются в конечно представимые (в конечно представимые вкладываются только так называемые рекурсивно представимые группы), а в FP_2-группы вкладываются все счётные группы.

[1] Higman, G., Neumann, B. H., Neuman, H. (1949). Embedding theorems for groups. Journal of the London Mathematical Society, 1(4), 247-254.

[2] Schupp, P. E. (1976). Embeddings into simple groups. Journal of the London Mathematical Society, 2(1), 90-94.

[3] Baumslag, G., Dyer, E., Heller, A. (1980). The topology of discrete groups. Journal of Pure and applied algebra, 16(1), 1-47.

[4] Leary, I. J. (2018). Subgroups of almost finitely presented groups. Mathematische Annalen, 372(3), 1383-1391.

Кому интересно почитать про размерные подгруппы, гипотезу Баума-Конна, К-функторы, мульти-дзета функции Римана, разделённые степени и 2-категории, можете посмотреть серию Смешариков, которая называется "Распорядок - Азбука здоровья".

начиная с 2:40.

https://youtu.be/ofkbNrPN2zs

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ГРАФА ГРУПП

Есть две важные конструкции в теории групп, которые имеют близкие свойства: амальгамированное произведение и HNN-расширение. В первом случае есть два вложения из одной группы в две другие α : A→G и α' : A→G' и берётся пушаут этих вложений. Во втором случае есть два вложения в из одной группы в другую α,α' : A → G и рассматривается в каком-то смысле «гомотопический коуравнитель» этих вложений G→P, композиции с которым оказываются сопряженными гомоморфизмами (но не равными). Для меня эти конструкции похожи прежде всего потому, что в обоих случаях есть длинная точная последовательность гомологий типа последовательности Майера—Вьеториса. Ещё обе эти конструкции объединяет то, что все гомоморфизмы в полученную группу тоже оказываются вложениями, что не совсем очевидно и бывает очень полезным при вычислениях с группами.

Эти две конструкции являются частными случаями более общей конструкции, которая называется фундаментальной группой графа групп . Фундаментальная группа графа групп возникла в теории Басса-Серра, которая описывает всевозможные действия групп на деревьях без инверсий [1],[3]. Она ещё много где возникает, например, при описании групп когомологической размерности 1 над произвольным заданным коммутативным кольцом R [2]. Про это всё я хочу рассказать поподробнее. Вот такие темы я затрону: графы групп; групповая конструкция фундаментальной группы графа групп; топологическая конструкция; фундаментальный группоид графа групп; последовательность Майера-Вьеториса для графа групп; теория Басса-Серра; группы когомологической размерности 1 над произвольным коммутативным кольцом.

Графы групп

Для начала скажу про то определение графа, которое в этой науке используется.

Колчан — это четвёрка (V,E,o,t), где V, E — это множества, которые называются множеством вершин и множеством рёбер соответственно, а o : E→ V и t : E → V — два отображения, которые называются началом ребра и концом ребра.

Граф — это колчан, на рёбрах которого действует инволюция e↦e' без неподвижных точек так, что o(e')=t(e) и t(e')=o(e). То есть граф — это колчан, в котором рёбра разбиты на пары рёбер с противоположными направлениями.

Элементы из E будем называть ориентированными рёбрами графа, а двухэлементные множества {e,e'} будем называть неориентированными рёбрами. В частности, неориентированная петля — это именно двухэлементное множество {e,e'}, потому что e≠e'. Когда граф рисуют на плоскости, то рисуют неориентированный граф, подразумевая, что каждое изображенное неориентированное ребро соответствует паре ориентированных рёбер.

Как видно из определения, в графе допускаются кратные рёбра и петли.

В дальнейшем нам ещё понадобится понятие ориентации на графе, и я его решил ввести здесь, хотя оно не нужно для определения графа групп.

Ориентация на графе — это разбиение множества рёбер на два подмножества E=E^+ ∪ E^-, так, что (E^+)'=E^-. То есть мы выбираем по одному ориентированному ребру в каждом неориентированном ребре и называем его положительным, а второе отрицательным.

Граф групп — это связный граф вместе с двумя семействами групп {A_e} и {G_v}, проиндексированных рёбрами e ∈ E и вершинами v ∈ V так, что A_e = A_{e'}, и вместе с семейством вложений {α_e : A_e → G_{t(e)}}, проиндексированных ориентированными рёбрами. То есть на каждом неориентированном ребре стоит группа, и она вкладывается в группы стоящие на вершинах.

Если в графе групп есть неориентированная петля, то каждой её ориентированной компоненте соответствует своё вложение, которые могут быть разными (как в HNN-расширениях).

Групповая конструкция фундаментальной группы графа групп

По графу групп можно построить группу π, которая называется фундаментальной группой графа групп. Её можно описать несколькими способами: чисто алгебраически сразу как группу; топологически, как фундаментальную группу некоторого пространства; и на языке теории группоидов.

Чисто алгебраическое групповое описание выглядит не очень инвариантно и зависит от выбора максимального поддерева (остовного дерева) Т в графе. Группа порождается элементами групп стоящих на вершинах G_v и ориентированными рёбрами e∈E с некоторыми соотношениями. Соотношения устроены таким образом, что два отображения из группы ребра оказываются равными, если ребро из дерева, и сопряженными при помощи ребра, если ребро не из дерева. Более строго: группа π равна свободному произведению всех групп вершин G_v свободно умноженному на свободную группу F(E) , порождённую рёбрами, профакторизованному по трём видам соотношений:
1) два вложения группы A_e в G_e и G_{e'} оказываются сопряжены при помощи e:
e' α_e(a) e = α_{e'}(a);
2) рёбра e и e' взаимно обратны;
3) рёбра из дерева T тривиальны.

Можно доказать, что очевидные отображения G_e → π инъективны, и мы в дальнейшем иногда будем отождествлять G_e с его образом в π. Отображения A_e → π конечно же тоже инъективны, и мы тоже будем отождествлять их с образами, но заметим, что образы A_e и A_{e'} не обязательно равны, а только сопряжены.

Оказывается, что итоговая группа не зависит от выбора дерева с точностью до изоморфизма.

Если все группы G_v и A_e тривиальны, то получается обычная фундаментальная группа графа, то есть свободная группа ранга |V|-|E|/2+1.

Если граф состоит из двух вершин и одного неориентированного ребра между ними, то получается амальгамированное произведение. Если граф состоит из одной неориентированной петли, то получается HNN-расширение.

Топологическая конструкция фундаментальной группы графа групп

Самый понятный, видимо, — это топологический способ описания фундаментальной группы графа групп, как фундаментальной группы некоторого пространства. Чтобы построить это пространство, нужно просто взять классифицирующие пространства всех групп X_v =K(G_v,1) и Y_e = K(A_e,1), рассмотреть цилиндры Y_e×I и подклеить эти цилиндры концами к пространствам X_v при помощи непрерывных отображений, индуцируемых вложениями. Фундаментальная группа этого пространства — это и есть фундаментальная группа графа. В посте про HNN-расширения я уже рассказывал про топологический способ думать про HNN-расширение, а это его обобщение.

Про топологический способ определения фундаментальной группы графа можно почитать в [3] вокруг Предложения 3.6 и дальше. Там рассматривается общее понятие графа пространств, его тотального пространства и говорится, что фундаментальная группа тотального пространства зависит только от графа групп (поэтому вместо классифицирующих пространств можно брать 2-мерные комплексы, как это и делается в [4]).

Фундаментальный группоид графа групп

Этот топологический способ, который мы описали выше, опять слегка не инвариантный способ описания этой группы, потому что для определения фундаментальной группы нужно выделять отмеченную точку. Но можно её не выделять, а выделить сразу несколько: в каждом пространстве X_v есть одна выделенная точка, и мы возьмём их все выделим. Тогда можно рассмотреть не фундаментальную группу, а фундаментальный группоид, который уже полностью инвариантен, и который можно описать чисто алгебраически. То есть, фундаментальную группу графа групп вообще невозможно описать инвариантно без выбора либо вершины, либо поддерева, а фундаментальный группоид можно.

Чисто алгебраическое описание данного группоида очень похоже на описание фундаментальной группы, только без дерева. Рассмотрим свободный группоид F, порождённый нашим графом, в котором e' = e^{-1}, и рассмотрим вполне несвязный группоид G (т.е. дизъюнктное объединение групп) на том же множестве объектов, в котором автоморфизмы вершины v — это G_v. У обоих группоидов множество объектов — это множество вершин нашего графа. Значит можно взять свободное произведение группоидов G*F (т.е. пушаут над дискретным группоидом объектов) и далее профакторизовать по соотношениям
e' α_e(a) e = α_{e'}(a).
Более детальное описание можно найти в [5].

В [6] может быть найдено описание этого группоида на языке гомотопических копределов в категории группоидов, но я про гомотопические копределы решил тут не писать. В другой раз.

Точная последовательность Майера-Вьеториса

Для фундаментальной группы графа есть аналог последовательности Майера-Вьеториса, как для гомологий, так и для когомологий с коэффициентами в любом модуле. Для того, чтобы описать её нужно выбрать ориентацию на графе E=E^+∪E^-.

Если π — это фундаментальная группа графа групп и M — это ℤ[π]-модуль, то в последовательности для гомологий есть, как обычно, три вида членов:

1) прямая сумма по всем положительным рёбрам e ∈ E^+ гомологий A_e с коэффициентами в M;
2) прямая сумма по всем вершинам v ∈ V гомологий G_v с коэффициентами в M;
3) гомологии π с коэффициентами в M.

Ну и тогда есть точная последовательность

…→ (1)_n → (2)_n → (3)_n → (1)_{n-1} →…

Для когомологий прямые суммы нужно заменить на произведения и направления стрелок поменять

…→(3)^n → (2)^n → (1)^n → (3)^{n+1} → …

Про это можно почитать в [7]. Ещё это доказано для графов алгебр Ли в [8].

Теория Басса-Серра

Теория Басса-Серра изучает действия групп на деревьях. Но не любые действия, а действия без инверсий. Если группа G действует на дереве T, то инверсией называется пара (g,e), где g — элемент группы, e — ориентированное ребро такие, что ge=e'. То есть, грубо говоря, инверсия — это когда элемент группы «переворачивает» ребро. Иначе действие без инверсий можно определить как действие, для которого существует ориентация на дереве, которая сохраняется при этом действии. Любое действие можно заменить на действие без инверсий, если заменить дерево на его барицентрическое подразделение. Тогда инверсия превращается в элемент из стабилизатора новой вершины. Действие без инверсий удобно тем, что можно корректно определить фактор граф по такому действию.

Действие группы на дереве задаёт некоторую структуру на группе, по которой много чего можно сказать про саму группу. Например, есть такая теорема.

Теорема: Если группа G действует на дереве без инверсий и свободно (т.е. стабилизатор любой вершины тривиален), то группа свободна.

Это такой способ доказывать, что группа свободна. Из этого утверждения, например, мгновенно следует, что подгруппа свободной группы свободна, потому что любая подгруппа действует на графе Кэли всей группы.

Главное утверждение теории Басса-Серра заключается в том, что по группе с действием на дереве можно построить граф групп, а по графу групп можно построить группу с действием на дереве, и эти операции взаимно обратны с точностью до изоморфизма.

(группы с действием на дереве) ↔️ (графы групп)

В частности, если группа G действует на дереве T, то она представляется как фундаментальная группа определённого графа групп. Очень хочется сформулировать это утверждение в виде эквивалентности категорий, что-то типа «типа категория групп с действием на дереве эквивалентна категории графов групп». Но почему-то нигде не встретил такой категорной формулировки (даже в группоидном контексте, где она напрашивается), поэтому и сам не буду так формулировать. Возможно, чтобы добиться строгого категорного утверждения, там нужно как-то заморачиваться, всё не так просто.

Обе эти стрелочки чисто комбинаторно описываются довольно сложно. Я не поленюсь описать конструкцию,
(группы с действием на дереве) → (графы групп),
потому что пока я её не разобрал у меня были какие-то нестыковки в голове, но обратно не буду. Сам граф — это просто фактор граф T/G, но структура графа групп описывается сложно. Если в двух словах, то нужно правильным образом поднять все вершины и рёбра из T/G в T и там взять их стабилизаторы относительно действия G. И дальше правильным образом определить вложения, которые необязательно тождественные. Дальше курсивом идёт хардкорное подробное описание этой структуры графа групп, построенного по группе с действием на дереве, которое читать необязательно, и которое можно найти в [1] на странице 54.

По группе G с действием на дереве T мы строим граф групп, подлежащий граф которого равен фактор графу T/G. Структура графа групп на этом графе описывается следующим образом. В этом фактор графе нужно выделить максимальное поддерево S ⊆ T/G и ориентацию E(T/G)=E^+∪ E^- . Поддерево S можно поднять в T. То есть построить морфизм j:S→ T, который в композиции с проекцией тождественен. Такой морфизм всегда существует, потому что S — дерево. Дальше нужно этот j продолжить до сечения множеств рёбер j: E(T/G) →E(T), которое уже не обязано задавать морфизмом графов, но так, чтобы оно было согласованно с инволюцией и для положительных рёбер e∈ E^+(T/G) мы бы имели j(o(e))=o(j(e)). То есть морфизм графов мы сделать не можем, но сделать хотя бы так, чтобы начала положительных стрелок переходили куда надо, можем. Но концы j(e) для положительных рёбер e не из дерева уже не обязаны лежать в образе дерева, мы только знаем, что они лежат в правильной орбите. Значит мы всегда можем выбрать элементы g_e из группы такие, что t(j(e))=g_ej(t(e)). Для рёбер из дерева S мы определяем g_e=1, а для отрицательных рёбер не из дерева g_e=g_{e'}^{-1}. Тогда структура графа групп на T/G определяется так, что G_v — это стабилизатор j(v), а A_e определяется как стабилизатор j(e). Вложение A_e → G_v определяется как сопряжение при помощи g_e для положительных рёбер, и как тождественное вложение для отрицательных.

Оказывается, что G изоморфна фундаментальной группе этого графа групп. В частности, если все стабилизаторы тривиальны, получаем, что эта группа свободна.

Стрелочка
(графы групп) → (группы с действием на дереве)
называется накрывающим деревом графа групп и чисто комбинаторно описывается тоже довольно заморочено. Множество вершин там равно дизъюнктному объединению фактор множеств π/G_v, а множество рёбер равно дизъюнктному объединению фактор множеств π/A_e. Но описание начала и конца ребра довольно техническое, и тоже зависит от выбора ориентации и максимального поддерева, и мне стало лень его здесь писать. Кому интересно, можете почитать параграф 5.3 в [1].

Есть и топологическое описание накрывающего дерева через накрытие тотального пространства графа пространств, которое можно найти в [3] на странице 166.

Теория Басса-Серра бывает полезна, чтобы доказать, что какая-то группа — это амальгамированное произведение групп. Например, при помощи неё можно доказать, что SL_2(ℤ) изоморфна амальгамированному произведению ℤ/6 и ℤ/4 с объединенным ℤ/2. Для этого надо рассмотреть стандартное действие на верхней полуплоскости, там в полуплоскости можно выбрать некоторое поддерево, фактор которого по действию будет равен графу с двумя вершинами и одним ребром, стабилизаторы будут как раз равны ℤ/6, ℤ/4 и ℤ/2 соответственно. Аналогичное рассуждение можно провести и для модулярной группы PSL_2(ℤ) и показать, что она изоморфна ℤ/3*ℤ/2. Про это можно почитать в книжке Серра [1] на странице 35.

Группы когомологической размерности 1 над произвольным коммутативным кольцом

Теорема Столлинса-Свона говорит, что когомологическая размерность группы равна единице тогда и только тогда, когда группа свободна. Так же несложно показать, что когомологическая размерность равна нулю только у тривиальной группы. Но это если мы рассматриваем когомологии с коэффициентами во всех ℤ[G]-модулях. А что если мы заменим ℤ на какое-то фиксированное коммутативное кольцо R? Когомологическая размерность группы G над R определяется как наименьшее n, для которого H^{n+1}(G,M)=0 для любого R[G]-модуля M. Эквивалентно можно сказать, что когомологическая рамерность группы G над R равна проективной размерности тривиального модуля R над R[G]. Обозначается cdim_R(G). Из теоремы Машке следует, что для конечной группы cdim_ℚ(G)=0. Из последовательности Майера-Вьеториса легко выводится, что cdim_ℚ(G) ≤ 1для фундаментальной группы графа конечных групп. Данвуди [2] доказал, что это эквивалентное условие: cdim_ℚ(G) ≤ 1 тогда и только тогда, когда G представляется как фундаментальная группа графа конечных групп.

Он доказал так же аналог этой теоремы для любого коммутативного кольца R. Группа G называется группой без R-кручения, если порядок любой конечной подгруппы G обратим в R. Тогда теорема Данвуди звучит так.

Теорема: Если группа G без R-кручения, то cdim_R(G)≤1 тогда и только тогда, когда G представляется как фундаментальная группа графа конечных групп без R-кручения.

Список литературы

[1] J.-P. Serre, Trees. Springer-Verlag, 1980
[2] Dunwoody, M. J. (1979). Accessibility and groups of cohomological dimension one. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(2), 193-215.
[3] P. Scott, C. T. C. Wall, Topological methods in group theory', Homological group theory (ed. C. T. C. Wall), London Mathematical Society Lecture Note Series 36 (Cambridge University Press, 1979), pp. 137-203.
[4] Corson, J. M. (1992). Complexes of groups. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(1), 199-224.
[5] Moore, E. J. (2001). Graphs of groups: word computations and free crossed resolutions. University of Wales. Bangor.
[6] Farjoun, E. D. (2004). Fundamental group of homotopy colimits. Advances in Mathematics, 182(1), 1-27.
[7] Chiswell, I. M. (1976). Exact sequences associated with a graph of groups. Journal of Pure and Applied Algebra, 8(1), 63-74.
[8] Kochloukova, D. H., & Martínez-Pérez, C. (2021). Bass-Serre theory for Lie algebras: A homological approach. Journal of Algebra, 585, 143-175.

кажется, конгресс отменят.

https://twitter.com/amermathsoc/status/1496255307697340418

Впал в детство и нарисовал симплициальный квадратик. Если говорить более строго, я нарисовал невырожденные симплексы симплициального множества, равного произведению двух копий стандартного 1-симплекса Δ^1. Пока рисовал, дважды запутался, решил оформить красиво и выложить здесь, чтобы было. Каждый, наверное, рисует такой, когда изучает симплициальную теорию гомотопий и проходит теорему о том, что геометрическая реализация переводит покомпонентное произведение симплициальных множеств в произведение (хаусдорфовых компактно порождённых) топологических пространств. Я "в детстве" был шокирован этой теоремой, и нарисовал тогда несколько картинок такого типа. Вот сейчас потребовалось снова вспомнить это всё, чтобы аналогизировать в других контекстах.

Новости САП. Коллектив САП выиграл РНФ (21млн на три года), но руководитель проекта Р.М. от гранта отказался. Вот его слова:

Сегодня важный день. Подписал отказ от РНФ. 21 лям на три года – огромные деньги, пусть они пойдут тому, кто собирается серьезно заниматься наукой. Мне очень важно, чтобы ни на кого в этой истории не пала тень, чтобы никто не заподозрил, что это из-за внутренних конфликтов внутри универа или института. Нет, ко мне всегда хорошо относились, никаких конфликтов, это связано исключительно с моим болезненным восприятием мира и войны, и никак не связано с замечательными людьми, которые работали со мной. Я не могу больше заниматься наукой и не могу себе позволить получать эти деньги, будучи функционером. Разложилось как разложилось, будем весну встречать и молиться за мир.

Выучи теорию промоноидальных категорий, говорили они.
Там всё просто, говорили они.

https://ncatlab.org/nlab/show/promonoidal+category

если бы я читал курс теории узлов и зацеплений для студентов, я бы в начале рассказал, что такое TikTok Towel Challenge, показал бы несколько таких видео, а уже потом бы рассказал, что такое зацепление Хопфа, и почему оно нетривиально.

https://youtu.be/mjaQfxReCc0

https://youtu.be/WoTQvXY5qbs

Категорный взгляд на компактные хаусдорфовы пространства через ультрафильтры.

Допустим, мы родились со знанием теории множеств и теории категорий, и больше ничего в этой жизни не знаем. При этом мы знаем все стандартные категорные конструкции, но единственный конкретный пример категории, который мы знаем, — это категория множеств. Как нам естественным образом прийти к понятию компактного хаусдорфова пространства?

Ну вот мы знаем категорию множеств. Знаем стандартные категорные понятия на ней. Например, мы знаем, что такое копроизведение в категории множеств X⨿Y. Это дизъюнктное объединение. По определению копроизведения есть два вложения
X → X⨿Y ← Y.
А ещё мы знаем, что такое функтор из категории множеств в себя
F: Sets → Sets.
Раз уж мы больше ничего не знаем, давайте применим любой функтор F к диаграмме копроизведения
F(X) → F(X⨿Y) ← F(Y).
По универсальному свойству копроизведения получаем отображение
F(X)⨿F(Y) → F(X⨿Y).
Естественно задаться вопросом, может ли быть это отображение изоморфизмом. Например, для тождественного функтора это изоморфизм, но легко придумать такие функторы, когда это не изоморфизм. Давайте скажем, что функтор сохраняет конечные копроизведения, если это изоморфизм для любых X,Y. Дальше можно спросить, а есть ли универсальный функтор, который сохраняет конечные копроизведения? И окажется, что да, есть:

ТЕОРЕМА (Börger). Функтор множества ультрафильтров U — это универсальный (терминальный) функтор из категории множеств в себя, сохраняющий конечные копроизведения.

То есть для любого функтора, сохраняющего конечные копроизведения, из него есть единственное естественное преобразование в U. Можно было бы сказать, что U — это терминальный объект категории всех функторов, сохраняющих конечные копроизведения, но тут могут возникать теоретико-множественные трудности с определением категории таких функторов, которые легко решаются, если вы используете теорию множеств Гротендика-Тарского, но мне не очень хочется про это сейчас говорить.

Напомню тему про ультрафильтры.

Для любого множества X обозначим множество всех его подмножеств через P(X). Тогда непустое множество подмножеств
F ⊆ P(X)
называется фильтром на Х, если:
(1) ∅ не из F;
(2) A,B∈F ⇒ A∩B ∈ F;
(3) A∈F, A ⊆B⊆X ⇒ B∈F.

Фильтр называется ультрафильтром, если выполняется ещё одна аксиома:
(4) для любого A⊆X, либо A∈F, либо X\A ∈F.

Есть много других определений ультрафильтра. Например, ультрафильтр — это максимальный по включению фильтр.

Самый простой пример фильтра - это главный фильтр. Для любого элемента x∈X мы можем определить главный фильтр F_x как множество всех подмножеств Х, содержащих x. Такой фильтр является ультрафильтром. Никаких других ультрафильтров явно построить невозможно. На конечных множествах никаких других ультрафильтров и нет. Но из аксиомы выбора можно вывести, что любой фильтр содержится в некотором ультрафильтре, а фильтров можно много построить. Например, если X бесконечно, то множество подмножеств Х с конечным дополнением является фильтром, который называется фильтром Фреше. И ультрафильтр, содержащий фильтр Фреше, не будет главным.

Кстати, ещё известно, что любой фильтр равен пересечению всех ультрафильтров, которые его содержат. То есть ультрафильтров как бы очень много, но они "очень высоко" по включению над обычными фильтрами, и они есть только благодаря аксиоме выбора, а явно их построить нельзя, кроме главных.

Если обозначить через U(X) множество всех ультрафильтров на Х, то это задаст функтор
U : Sets → Sets.
Для отображения f : X → Y мы определяем отображение
U(f) : U(X) → U(Y)
так, что U(f)(F) состоит из таких подмножеств Y, прообраз которых является элементом F. Вот этот функтор и будет универсальным функтором, который сохраняет конечные копроизведения.

Таким образом, мы после нашего рождения доказали нашу первую теорему. И теперь мы уже знаем теорию категорий, теорию множеств, и то, что есть такой замечательный функтор U множества ультрафильтров, который универсальный среди всех функторов, которые сохраняют конечные копроизведения.