А какие ещё функторы сохраняют конечные копроизведения? Тождественный, например. Значит, есть естественное преобразование
η : Id → U.
А ещё композиция U^2 = U◦U сохраняет конечные копроизведения. Значит, есть естественное преобразование
μ : U^2 → U.
Поскольку мы знаем теорию категорий, мы сразу замечаем, что эти два естественных преобразования задают структуру монады на U. Раз есть монада, надо изучить категорию алгебр над этой монадой. И тут выясняется:

ТЕОРЕМА (Manes). Категория алгебр над монадой (U,η,μ) изоморфна категории компактных хаусдорфовых топологических пространств.

Да-да, не просто эквивалентна, а даже изоморфна.

Как увидеть этот изоморфизм категорий? Если есть топологическое пространство Х, то мы говорим, что фильтр F на X сходится к точке х, если F содержит фильтр всех окрестностей х (здесь под окрестностью мы понимаем необязательно открытое подмножество, содержащее х в своей внутренности). Есть теорема о том, что пространство компактно тогда и только тогда, когда любой ультрафильтр сходится. И пространство компактно и хаусдорфово, если у каждого ультрафильтра есть ровно один предел. Поэтому для компактного хаусдорфова пространства Х у нас возникает отображение предела ультрафильтра
ξ : U(X) → X,
которое и задаёт структуру U-алгебры.

Обратно. Пусть X — это U-алгебра. То есть задано отображение
ξ : U(X) → X,
которое удовлетворяет некоторым аксиомам. Давайте для удобства назовём ξ(F) пределом F. Тогда назовём подмножество Y⊆X открытым, если любой ультрафильтр, сходящийся к элементу Y, содержит Y. Оказывается, это задаёт структуру компактного хаусдорфова топологического пространства на Х.

Вот так, родившись только со знанием теории категорий, теории множеств и всего одним примером категории, категории множеств, мы очень быстро пришли к идее компактного хаусдорфова пространства, которое мы определили через монаду ультрафильтров.

Про это можно более подробно прочитать в книжке Manes "Algebraic theories" в пунктах 5.24 - 5.33 первой главы (страницы 60-63). Прикрепляю книжку. Ещё про это написано на ncatlab:
https://ncatlab.org/nlab/show/ultrafilter

ЛНМО — школа, в которой я стал математиком. Она существует уже 30 лет, но сейчас её пытаются уничтожить.

С юридической точки зрения, это не школа, а центр дополнительного образования, арендующий помещения в школах. У ЛНМО так же есть химико-биологическая площадка, инженерная площадка, гуманитарная площадка и площадка для академических 5-6 классов, так что из ЛНМО уже давно выходят не только математики. У каждого из этих направлений свой основатель (математическая площадка — Илья Александрович Чистяков, биологическая площадка — Евгений Александрович Нинбург, инженерная площадка — Анатолий Альбертович Шперх, гуманитарная площадка — Дедов Андрей Сергеевич, площадка для академических 5-6 классов — Анна Витальевна Васильева). Построенная ими модель привлекает новых ярких учителей в каждое направление. Формально это всё вместе называется "научно-инженерный образовательный кластер "ЛНМО"".

В начале июля одновременно три школы, в которых располагались классы ЛНМО, расторгли договоры аренды. Власти настаивают на том, чтобы ЛНМО оформлялась как частная школа, но это невозможно успеть сделать до первого сентября, это бы заняло много месяцев, если не год. И, если это сделать, стоимость обучения вырастет в разы. Родители учеников начали писать во все инстанции, чтобы не допустить закрытия ЛНМО. Через пару недель почти одновременно 22 июля в районе 22:00 в нескольких крупных питерских пабликах в контакте появился большой пост под названием "Секта свидетелей Ильи" о том, насколько ЛНМО ужасная школа. Я насчитал как минимум семь групп, с числом подписчиков от 30 тысяч до 750 тысяч, в которых был опубликован этот пост. В большинстве из них этот пост был опубликован одновременно с точностью до минуты: в 22:05 - 22:06, два поста были опубликованы на 25 минут раньше в 21:40 - 21:41. Насколько я понимаю, публикации в таких больших группах стоят недёшево, тем более, что они не отмечены как рекламы. Внизу поста привожу список этих групп и ссылки на посты. В этих постах рассказывается, какие ужасные вещи делал И.А. Чистяков тридцать лет назад, и этим оправдывается закрытие всей школы, в которой учатся 600 замечательных учеников и преподаёт множество ярких учителей.

Я сам когда-то учился у Нинбурга биологии и у Минарского физике, и могу сказать, что это было действительно круто.

В ЛНМО, кстати, сейчас учится один из моих родственников. Наверное, если бы это была плохая школа, я бы не посоветовал ему туда идти.

Многие сейчас на волне этого хейта говорят о разных недостатках ЛНМО, но я убеждён, что какие бы ни были недостатки, это не повод уничтожать мою школу. Поэтому я прошу вас подписать петицию о сохранении ЛНМО и максимально распространить информацию о ней:

www.change.org/p/требуем-сохранить-лнмо

—
Здесь можно подробнее почитать про эту тему:

- Зав.кафедры технологии программирования ИТМО Анатолий Шалыто
https://vk.com/@1077823-sos
- "The Village"
https://www.the-village.ru/news/news/lnmo
- "Бумага"
https://paperpaper.ru/v-peterburge-zastavlyayut-zakry..
- "Мойка78"
https://moika78.ru/news/2022-07-22/793982-v-admiralte..
- Константин Пакульневич
https://vk.com/wall269276487_1874

—
Список некоторых групп и анти-ЛНМО-шных постов, появившихся почти одновременно:

1) “Мой Питер” (~ 750 тысяч подписчиков)
https://vk.com/wall-37169648_1990214
2) “Мода Метро Питер СПБ” ( ~ 240 тысяч )
https://vk.com/wall-142122096_220452
3) “Это чисто Питер:)” (~ 115 тысяч)
https://vk.com/wall-80337293_108439
4) “Новости и мероприятия Петербурга” (~ 100 тысяч)
https://vk.com/wall-54662816_129098
5) “Куда пойти сходить в Питере” (~ 75 тысяч)
https://vk.com/public140404506
6) “Подслушано Метро Питер СПБ” (~ 75 тысяч)
https://vk.com/wall-63705296_398250
7) “Питер” (~ 30 тысяч)
https://vk.com/wall-57415596_59677

мнение стинрода о симплициальных множествах

Когда-то я написал пост про путевые гомологии.
https://vk.com/wall-123600092_1090
Некто по имени "Гриша Папаянов" написал комментарий к нему, в котором он попытался объяснить, как можно думать о путевых гомологиях графов через величинные гомологии (magnitude homology). Я тогда не стал вникать, не так уж мне интересна была эта тема тогда. Потом я серьёзно заинтересовался этой темой, но к тому моменту про этот комментарий забыл. Недавно прочитал статью "Magnitude homology and Path homology" японца по имени Yasuhiko Asao, которая посвящена именно той идее, про которую говорил Гриша.
https://arxiv.org/abs/2201.08047
Но статья написана позже, чем этот комментарий. Статья выложена в архив 20 января 2022 года, а комментарий написан 11 сентября 2021 года. Гриша во всем был прав. Он, видимо, из контакта удалился, передавайте ему эту историю, кто его знает.

Открытые проблемы в топологии нетранзитивных игр, в частности, покера.

1. В классическом техасе найдена 4-мерная сфера, а 5-мерная не найдена. Какая максимальная размерность возможна?
2. Сделать то же самое в омахе. Какие подпространства возможны, каких размерностей?А в омахе 5+2?
3. Открываем одну-две-три карты на флопе, вероятности исходов меняются, пространства деформируются. Пространства каких размерностей могут получиться?
4. Можно ли в топологии нетранзитивных игр найти пространства с несвободными фунд. группами? В классическом покере много букетов сфер разных размерностей и окружностей.

Я тут с двумя китайскими и одним российским студентами теорию накрытий ориентированных графов построил, связал её с путевыми гомологиями, построив спектральную последовательность, и применил для вычисления путевых гомологий некоторых графов Кэли.

Препринт:
https://arxiv.org/abs/2305.15683

Слайды:

Несуществующие функторы

Несколько месяцев назад написал Эммануэль Фарджун (который еще нильпотентные пространства придумал). Говорит, что уверен, что не бывает никаких функторов из категории всех групп в категорию конечных групп, кроме постоянных. Но как доказать не знает. А доказать хочется, потому что его интересуют подобные вопросы для его любимых бесконечность категорий. Я скинул этот вопрос про категорию групп в чатик друзей, и Толик в тот же день доказал, красавчик вообще.

Эммануэль впечатлился, но сказал, что надо бы обобщить тогда уж. Нужно доказать, что не бывает непостоянных функторов из в каком-то смысле "больших" категорий во в каком-то смысле "маленькие" категории. Я помедитировал на доказательство Толика, десять раз его переделал, и доказал такую общую теорему.

Теорема. Пусть к — какой-то кардинал, C и D — категории, в которых определены произведения мощности к, и F — функтор из C в D. Предположим, что категория C сильно связна (то есть все её хом-множества не пусты), и что мощности хом-множеств между образами функтора F ограничены кардиналом к
|D(Fc,Fc')| ≤ к.
Тогда F постоянный функтор.

По технике — это детский сад, элементарная теория категорий, но Фарджун был доволен.

Из этой теоремы много забавных частных случаев следует. Например, из категории счётных групп нет непостоянных функторов в категорию конечно порожденных групп. Хотя чисто интуитивно довольно близкие категории. Или, например, если есть два кардинала к и л таких, что к ≥ 2^л, то нет непостоянных функторов из категории непустых множеств мощности ≤к в категорию непустых множеств мощности ≤л. Можно ещё много частных случаев напридумывать.

Мы ещё много чего понаписали, ещё другое направление там развили (изучали каких подфункторов в тождественном функторе на категории групп не бывает), скинули это дело в архив, но мы там ошибочку допустили. Мы сказали, что нет непостоянных функторов из категории всех множеств в категорию конечных множеств. Вот тут то нас и подловили. Понаписали на почту какие-то люди, что оказывается есть функтор такой. Что можно пустое множество в пустое послать, а все остальные множества в одноэлементное. И правда, я там опростоволосился с тем, что подумал, что категория множеств сильно связная, а оказалось, что хом из непустого множества в пустое множество пуст. Ну мы подправили. Нужно было категорию множеств либо на категорию непустых множеств заменить, либо на категорию множеств с отмеченной точкой. Эммануэль там еще какие-то свои гипотезы про бесконечность категории понаписал, как обычно. Выложили новую версию:

https://arxiv.org/abs/2306.04432

Об истории возникновения понятия сопряженных функторов

Недавно Эммануэль Фарджун приехал ко мне в гости в Пекин. Мы с ним много работали над одной темой, и в какой-то момент я сказал, что нам нужно придумать хороший термин для одного из понятий, которое мы решили подробнее изучить. Он сказал, что да, хорошие термины очень важны, и рассказал мне историю про то, как его учитель Дан Кан изобрел понятие сопряженного функтора.

Дан Кан защитил свою докторскую диссертацию Еврейском университете Иерусалима в 1955 и после этого поехал работать постдоком в Колумбийский университет в Нью-Йорк. Там он ходил на лекции Эйленберга по теории категорий. Эйленберг на своих лекциях как-то раз сказал, что для векторных пространств хом более фундаментален, чем тензорное произведение, потому что он имеет категорный смысл. Кан не согласился с этим высказыванием Эйленберга. Он считал, что они одинаково важны. Но Эйленберг продолжал настаивать. Через некоторое время Кан пришел к Эйленбергу с доказательством того, что эти два функтора взаимно однозначно определяют друг друга в некотором категорном смысле. Эйленберг признал, что он не прав. Так возникло понятие сопряженных функторов, которое мы теперь встречаем на каждом шагу. Кан считал, что это понятие стало популярным очень быстро из-за удачно выбранного термина.

Википедия говорит, что понятие сопряженного функтора было введено Каном в 1958 году. Статья действительно была опубликована в 1958 году, но в ней написано, что она была получена в редакцию в 1956 году.

Фильтрованное пространство ассоциированное с графом (1/2)

В этом посте я расскажу об одной очень простой идее, которая мне кажется очень фундаментальной при гомотопическом подходе в изучении графов. Правда, очень простой она будет только для тех, кто знает, что такое симплициальное множество, я тут буду свободно ими пользоваться. Я использую симплициальный подход к теории гомотопий, и под пространством, как и всегда в симплициальной теории гомотопий, я буду понимать симплициальное множество. Кто больше любит топологические пространства, всегда может взять геометрическую реализацию.

Идея, про которую я здесь буду говорить — это как раз та самая идея, высказанная Гришей Папаяновым в комментариях под одним из предыдущих постов. Но он говорил про фильтрованные категории, что не совсем грамотно. Более грамотно говорить про категории, обогащенные над категорией фильтрованных множеств, как это делает Асао
https://arxiv.org/abs/2303.05677
Но я сразу буду говорить про фильтрованное симплициальное множество, мне так проще.

Я здесь всё буду писать для ориентированных графов (орграфов), которые в моём определении — это пары
X=( X_0 , X_1 )
такие, что X_0 — это множество, а X_1 — это подмножество декартова квадрата X_0, содержащее диагональ. Чаще всего требуют наоборот, чтобы диагональные элементы не содержались в X_1, но мне удобнее их сразу в X_1 все добавить (типа как вырождения вершин). Потому что мне хочется, чтобы морфизмы орграфов могли "стягивать" стрелки в вершины. То есть в моём определении морфизм орграфов
f : X → Y
— это просто отображение между множествами вершин f : X_0 → Y_0 такое, что
( x , x' ) ∈ X_1 ⇒ ( f(x) , f(x') ) ∈ Y_1.

Расстояние
dist(x,x')
между вершинами x и x' в орграфе X определяется как длина кратчайшего пути из x в x'. Если такого пути нет, то расстояние равно бесконечности. Расстояние не симметрично. Однако, оно удовлетворяет двум аксиомам
dist(x,y) =0 ⇔ x=y ,
dist(x,z) ≤ dist(x,y) + dist(y,z).
Такие штуки называются расширенными квази-метриками (extended quasi-metric). Легко видеть, что отображение на множестве вершин
f : X_0 → Y_0
является морфизмом орграфов тогда и только тогда, когда
dist( f(x) , f(x') ) ≤ dist( x , x' ).
То есть тогда и только тогда, когда отображение 1-липшицево. Другими словами, категория орграфов — это полная подкатегория в категории расширенных квази-метрических пространств и 1-липшицевых отображений.

Скажем, что последовательность вершин
(x_0,...,x_n)
допустима, если для любого i
dist( x_i , x_{i+1} ) < ∞.
То есть последовательность вершин допустима, если для любого i есть путь из x_i в x_{i+1}. Здесь мы подразумеваем, что x_i может быть равно x_{i+1}.
Допустимые последовательности образуют симплициальное множество, которое я обозначаю N(X) и называю нервом X. n-симплексы этого симплициального множества — это допустимые последовательности из n+1-ой вершины, а грани и вырождения определяются очевидным образом, как выкидывание и удвоение вершины
d_i(x_0,...,x_n) = (x_0,...,x_{i-1} , x_{i+1},...,x_n),
s_i(x_0,...,x_n) = (x_0,...,x_i , x_i,...,x_n).

Называю нервом я это симплициальное множество неспроста. Это нерв определённой категории. Определённого предпорядка, который я обозначаю через Pre(X). Под предпорядком здесь я понимаю категорию, в которой хом-множества либо одноэлементные, либо пустые. Предпорядок Pre(X) определяется так: объекты — это вершины X, и из x в x' есть морфизм, если есть путь из x в x'. В остальных случаях морфизмов нет. Тогда симплициальное множество N(X) изоморфно нерву Pre(X).

Фильтрованное пространство ассоциированное с графом (2/2)

Симплициальное множество N(X) помнит очень мало информации об X. Оно помнит только предпорядок Pre(X). Например, об орграфах Кэли конечных групп N(X) вообще практически ничего не помнит, потому что Pre(X) в этом случае односвязна, в том смысле, что между любыми двумя объектами ровно один морфизм. Поэтому пространство N(X) стягиваемо. Чтобы было интересно, надо побольше информации помнить, а именно, фильтрацию на симплициальном множестве N(X).

Фильтрация строится так. Для любого натурального числа ℓ мы обозначим через N^ℓ(X) симплициальное множество, состоящее из всех допустимых последовательностей
(x_0,...,x_n),
для которых
Σ dist(x_i,x_{i+1}) ≤ ℓ.
Легко проверить, что это действительно будет симплициальное подмножество N(X). Таким образом, у нас возникает исчерпывающая фильтрация
N^0(X) ⊆ N^1(X) ⊆ N^2(X) ⊆ ... ⊆ N(X).
То есть объединение её членов равно N(X).

Эту штуку я называю фильтрованным нервом, и я считаю, что это очень важная конструкция. Очень многие разрозненные "гомотопически-гомологические" идеи вокруг орграфов сводятся к этой конструкции.

Например, вы можете определить фактор пространство
M^ℓ(X) = N^ℓ(X) / N^{ℓ-1}(X).
Я его называю магнитудным пространством (или величинным пространством), потому что его гомологии — это в точности магнитудные (величинные) гомологии орграфа. Если кому хочется, можно определить магнитудные гомотопические группы, как гомотопические группы этого пространства.

Или вы можете посмотреть на фундаментальную группу пространства N^2(X). И это будет в точности фундаментальная группа Григоряна-Лина-Муранова-Яу. Можно поизучать и фундаментальные группы N^ℓ(X) для больших ℓ, они будут её факторами.

Дальше вы можете посмотреть на гомологическую спектральную последовательность этого фильтрованного пространства, и увидеть, что на втором листе этой спектральной последовательности стоят путевые гомологии в одной из строк (теорема Асао, предсказанная Гришей Папаяновым). Короче, много всего интересного есть вокруг этого фильтрованного пространства.

Подробнее можно почитать тут:
https://arxiv.org/abs/2305.15683

Копия поста Николая Решетихина из фэйсбука
------
Dear Friends,

For a long time, I did not write anything on Facebook. It is time now.
In 2019 a group of enthusiasts of history of mathematics Nikita Kalinin, Galina Sinkevich, Dmitriy Stolyarov and I started to work on a project on history of mathematics related to St. Petersburg. The
project was intended to be completed for the ICM-2022. Because of the
well-known sad events, this project is still in progress. We are close to finishing it, but we are also running out of resources. You can find the first 150 pages of this book here:

https://drive.google.com/file/d/13oF2FIlYQy3wTkiPjXO23ZxpPcSEc6sx/view?fbclid=IwAR11w12_auq8EfgyjTUakbsb1n9GXEekBKRm6Vfmj_P1pixmpEt-92fdAH8

As of now the book has nearly 500 pages. We need volunteers who can do proofreading. We understand that to do it for the whole text is a gigantic task.
But if you can proofread one or two articles, that would be of a huge help.
If you are willing to do this, please send an email to ( mathspbthm at gmail.com ). We will send you the source file.

Please feel free to repost this message.

Nicolai Reshetikhin.
———

Ссылка на пост:

https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=pfbid0uWC2T4oNB3bCNFxdHfk3p5KaVoMVwfAVMpDrEpNDzfwEmKds385Uc2LX7ymsdGvdl&id=1236904

сделал сегодня доклад в институте про путевые и величинные гомологии, и про спектральную последовательность, в которой они участвуют. прикрепляю слайды, кому интересно:

Вот ещё видео этого доклада

Спектральные гомологии

• Квазиметрические пространства
• Магнитуда
• Магнитудные гомологии
• Путевые гомологии
• Магнитудно-путевая спектральная последовательность
• r-гомотопическая эквивалентность
• Спектральные гомологии