Друзья, продолжаем изучать фундаментальные основы синтезаторов
--
Сегодня мы разберем сердце синтезатора - его осциллятор!
В Serum нам предоставляют 2 осциллятора - OSC A и OSC B
--
Разберем панель OSC A – всё, что вы видите на втором скриншоте, на самом деле управляется математикой!
🔹 UNISON
Сколько копий одного и того же сигнала играть одновременно. Это как повторение функции с небольшим сдвигом – интерференция волн. Чем больше голосов, тем гуще и жирнее звук.
🔹 DETUNE
Сдвигает каждую копию сигнала на малую величину по частоте. Это модуляция на уровне десятых долей Герца – как разница между двумя почти одинаковыми синусоидами: получается биение, как в физике волн.
🔹 BLEND
Настраивает соотношение громкости между центральной волной и остальными голосами. Математически — взвешенное среднее амплитуд. Это регулирует «размазанность» звука.
🔹 PHASE
Начальная фаза волны при запуске ноты. Если представить волну как синус или пилу, это просто сдвиг по оси X. Полезно для согласования волн в миксе.
🔹 RAND
Рандомизация начальной фазы при каждой новой ноте. Это добавляет случайность — как функция rand() в программировании. Звук становится менее «механическим».
---
🔹 WT POS (Wavetable Position)
Перемещение по волновой таблице. Представьте себе 3D-график, где по оси X — форма волны. Чем дальше, тем сложнее форма. Математически — интерполяция между функциями.
🔹 PAN
Панорама. Распределяет звук по левому и правому каналу. Математически — это просто изменение коэффициентов громкости для каждого уха:
L = A * cos(θ), R = A * sin(θ)
🔹 LEVEL
Громкость осциллятора. Это просто масштабирование амплитуды:
y(t) = A * wave(t)
---
Поговорим про WARP!
Эта ручка меняет математическую функцию, генерирующую волну. Ниже кратко про популярные режимы:
---
🔸 OFF — ничего не применяется. Волна играет как есть (например, пила, синус, квадрат и т.д.). Это как просто график функции без модификаций.
🔸 BEND + / - / + - — изменяет форму волны, растягивая или сжимая её по горизонтали (оси времени). Математически — это нелинейная трансформация аргумента:
x → f(ax) или x → f(x^n)
🔸 ASYM — асимметричное искажение. Представьте, что положительная часть волны сжимается, а отрицательная — растягивается. Это похоже на функцию, где положительные и отрицательные значения по-разному масштабируются.
🔸 MIRROR — зеркалит часть волны. Это как применение модуля:
f(x) → f(|x|)
или условная симметрия по оси Y. Очень похоже на абсолютное значение в математике.
🔸 FOLD — складывает волну, как если бы она "отбивалась" от границы. Представьте sin(x), который при превышении 1 «сгибается» обратно. Математически:
f(x) = abs(sin(x)) — только более агрессивно.
🔸 FM (from B / noise / etc.) — это частотная модуляция: изменяется частота одной волны в зависимости от другой. Здесь уже идут производные и быстрая модуляция:
y(t) = sin(2πf₁t + sin(2πf₂t))
---
🧠 Вывод
Каждый параметр в Serum - это не просто ручка, а математическая функция. Чем лучше человек понимает математику, тем точнее он может управлять звуком.
🔊 Подпишись, если хочешь ещё больше постов на стыке звука и чисел!
#ёжик_развлекается #ёжик_рекомендует #лёгкое_чтение #ёжик_пишет #ёжик_и_музыка
--
Сегодня мы разберем сердце синтезатора - его осциллятор!
В Serum нам предоставляют 2 осциллятора - OSC A и OSC B
--
Разберем панель OSC A – всё, что вы видите на втором скриншоте, на самом деле управляется математикой!
🔹 UNISON
Сколько копий одного и того же сигнала играть одновременно. Это как повторение функции с небольшим сдвигом – интерференция волн. Чем больше голосов, тем гуще и жирнее звук.
🔹 DETUNE
Сдвигает каждую копию сигнала на малую величину по частоте. Это модуляция на уровне десятых долей Герца – как разница между двумя почти одинаковыми синусоидами: получается биение, как в физике волн.
🔹 BLEND
Настраивает соотношение громкости между центральной волной и остальными голосами. Математически — взвешенное среднее амплитуд. Это регулирует «размазанность» звука.
🔹 PHASE
Начальная фаза волны при запуске ноты. Если представить волну как синус или пилу, это просто сдвиг по оси X. Полезно для согласования волн в миксе.
🔹 RAND
Рандомизация начальной фазы при каждой новой ноте. Это добавляет случайность — как функция rand() в программировании. Звук становится менее «механическим».
---
🔹 WT POS (Wavetable Position)
Перемещение по волновой таблице. Представьте себе 3D-график, где по оси X — форма волны. Чем дальше, тем сложнее форма. Математически — интерполяция между функциями.
🔹 PAN
Панорама. Распределяет звук по левому и правому каналу. Математически — это просто изменение коэффициентов громкости для каждого уха:
L = A * cos(θ), R = A * sin(θ)
🔹 LEVEL
Громкость осциллятора. Это просто масштабирование амплитуды:
y(t) = A * wave(t)
---
Поговорим про WARP!
Эта ручка меняет математическую функцию, генерирующую волну. Ниже кратко про популярные режимы:
---
🔸 OFF — ничего не применяется. Волна играет как есть (например, пила, синус, квадрат и т.д.). Это как просто график функции без модификаций.
🔸 BEND + / - / + - — изменяет форму волны, растягивая или сжимая её по горизонтали (оси времени). Математически — это нелинейная трансформация аргумента:
x → f(ax) или x → f(x^n)
🔸 ASYM — асимметричное искажение. Представьте, что положительная часть волны сжимается, а отрицательная — растягивается. Это похоже на функцию, где положительные и отрицательные значения по-разному масштабируются.
🔸 MIRROR — зеркалит часть волны. Это как применение модуля:
f(x) → f(|x|)
или условная симметрия по оси Y. Очень похоже на абсолютное значение в математике.
🔸 FOLD — складывает волну, как если бы она "отбивалась" от границы. Представьте sin(x), который при превышении 1 «сгибается» обратно. Математически:
f(x) = abs(sin(x)) — только более агрессивно.
🔸 FM (from B / noise / etc.) — это частотная модуляция: изменяется частота одной волны в зависимости от другой. Здесь уже идут производные и быстрая модуляция:
y(t) = sin(2πf₁t + sin(2πf₂t))
---
🧠 Вывод
Каждый параметр в Serum - это не просто ручка, а математическая функция. Чем лучше человек понимает математику, тем точнее он может управлять звуком.
🔊 Подпишись, если хочешь ещё больше постов на стыке звука и чисел!
#ёжик_развлекается #ёжик_рекомендует #лёгкое_чтение #ёжик_пишет #ёжик_и_музыка
Дорогие коллеги!
Вчера и сегодня на нашем факультете проводилось замечательное мероприятие: "Летняя школа для учителей математики 2025", на которую приехало очень много учителей из многих городов России. Более подробно о конференции и докладах на ней можно прочитать на официальном сайте школы: https://teacher.msu.ru/node/131808
Т.к. проводилась онлайн-трансляция, то возможно где-то есть и запись всех докладов. Если будут желающие, я узнаю у организаторов.
Первоначально на этой школе должен был выступить хорошо известный вам всем, Алексей Савватеев, но потом у него не получилось, поэтому доклад делал я, показав в том числе сюжет Алексея о раскраске окружности, записанный в нашей студии в конце мая. Теперь, наверное, мы можем опубликовать это видео и на Ёжике. Поэтому приобщайтесь!
https://vkvideo.ru/video-186208863_456244168
А в это Воскресенье мы опубликуем небольшой клип, который я записал для слушателей данной конференции о работе с нашими съёмочными комплектами. К сожалению, я слишком долго рассказывал о нашей работе, показывая фотографии, что этот клип на конференции не показал ☹️
#колючие_лекции
#элементарная_математика
Вчера и сегодня на нашем факультете проводилось замечательное мероприятие: "Летняя школа для учителей математики 2025", на которую приехало очень много учителей из многих городов России. Более подробно о конференции и докладах на ней можно прочитать на официальном сайте школы: https://teacher.msu.ru/node/131808
Т.к. проводилась онлайн-трансляция, то возможно где-то есть и запись всех докладов. Если будут желающие, я узнаю у организаторов.
Первоначально на этой школе должен был выступить хорошо известный вам всем, Алексей Савватеев, но потом у него не получилось, поэтому доклад делал я, показав в том числе сюжет Алексея о раскраске окружности, записанный в нашей студии в конце мая. Теперь, наверное, мы можем опубликовать это видео и на Ёжике. Поэтому приобщайтесь!
https://vkvideo.ru/video-186208863_456244168
А в это Воскресенье мы опубликуем небольшой клип, который я записал для слушателей данной конференции о работе с нашими съёмочными комплектами. К сожалению, я слишком долго рассказывал о нашей работе, показывая фотографии, что этот клип на конференции не показал ☹️
#колючие_лекции
#элементарная_математика
VK Видео
Алексей Савватеев -- Учителям математики.
Мини лекция Алексея Савватеева, записанная специально для участников летней школы учителей математики на факультете ВМК МГУ
На одной из пар по дифференциальным уравнениям мой преподаватель при изучении метода Эйлера дал интересную задачу: найти все свойства синуса и косинуса, исходя только из того, что они — решения ДУ x'' + x = 0.
Оказывается, даже базовые вещи — периодичность, тождества, производные — можно строго вывести, не опираясь на геометрию! Например, знаменитое sin^2 x + cos^2 x = 1 легко доказывается через производные и начальные условия.
Задача не новая — её упоминал ещё Петровский в своем знаменитом учебнике по ОДУ. Но от этого не менее красивая!
Пробовали так смотреть на тригонометрию?🧐
https://vk.com/@543626195-izobretem-sinus-zanovo
Оказывается, даже базовые вещи — периодичность, тождества, производные — можно строго вывести, не опираясь на геометрию! Например, знаменитое sin^2 x + cos^2 x = 1 легко доказывается через производные и начальные условия.
Задача не новая — её упоминал ещё Петровский в своем знаменитом учебнике по ОДУ. Но от этого не менее красивая!
Пробовали так смотреть на тригонометрию?🧐
https://vk.com/@543626195-izobretem-sinus-zanovo
VK
Изобретём синус заново
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
В середине мая был созван математический конклав. Тридцать известных математиков с разных частей планеты приехали в Беркли. Каждая задача, которую не мог решить o4-mini, приносила математику, который ее придумал, вознаграждение в размере 7500 долларов.
https: // frontiermath-symposium . epoch . ai / сайт конкурса
https: // arxiv. org / abs / 2411.04872 статья про бэнчмарк frontiermath
На скриншоте пример задачи с сайта конкурса
В течение двух дней математики задавали боту сложные математические задачи. Оказалось, что бот способен ответить на некоторые из самых сложных решаемых задач в мире .
«У меня есть коллеги, которые буквально сказали, что эти модели приближаются к математическому гению», — рассказал Кен Оно, математик из Университета Вирджинии, руководитель турнира.
Рассматриваемый чат-бот работает на основе o4-mini , так называемой модели большого языка рассуждений (LLM). Он был обучен OpenAI делать очень сложные выводы. Аналог Google, Gemini 2.5 Flash , обладает схожими способностями. Как и LLM, которые работали в более ранних версиях ChatGPT, o4-mini учится предсказывать следующее слово в последовательности. Однако по сравнению с этими более ранними LLM, o4-mini и его эквиваленты являются более легкими, более гибкими моделями, которые обучаются на специализированных наборах данных с более сильным подкреплением от людей. Такой подход приводит к чат-боту, способному гораздо глубже погружаться в сложные проблемы математики, чем традиционные LLM .
Чтобы отслеживать прогресс o4-mini, OpenAI ранее поручил Epoch AI, некоммерческой организации, которая проводит сравнительный анализ LLM, придумать 300 математических вопросов, решения которых еще не были опубликованы. Даже традиционные LLM могут правильно ответить на многие сложные математические вопросы. Тем не менее, когда Epoch AI задал нескольким таким моделям эти вопросы, которые были непохожи на те, на которых они обучались, наиболее успешные смогли решить менее 2 процентов , что показало, что этим LLM не хватает способности рассуждать. Но o4-mini оказался совсем другим.
Epoch AI наняла Эллиота Глейзера, недавно получившего докторскую степень по математике, для разработки нового бенчмарка, получившего название FrontierMath , в сентябре 2024 года. Проект собрал новые вопросы по разным уровням сложности, причем первые три уровня охватывали задачи уровня бакалавриата, магистратуры и исследовательского уровня.
К апрелю 2025 года Глейзер обнаружил, что o4-mini может решить около 20 процентов вопросов. Затем он перешел к четвертому уровню: набору вопросов, которые были бы сложными даже для академического математика. Только небольшая группа людей в мире была бы способна разработать такие вопросы, не говоря уже о том, чтобы ответить на них. Математики, которые участвовали, должны были подписать соглашение о неразглашении, требующее от них общаться исключительно через приложение для обмена сообщениями Signal. Другие формы контакта, такие как традиционная электронная почта, потенциально могли быть просканированы LLM и непреднамеренно обучить его, тем самым загрязнив набор данных.
Epoch AI провела очную встречу в субботу, 17 мая, и воскресенье, 18 мая. Там участники должны были завершить последнюю партию вопросов-задач. 30 участников были разделены на группы по шесть человек. В течение двух дней ученые соревновались друг с другом, чтобы придумать задачи, которые они могли решить, но которые сбили бы с толку бота.
За 10 минут бот справлялся с задачами уровня PhD, на которую у человека ушли бы недели. Сначала изучал литературу, потом решал "игрушечные" версии задач для тренировки, а затем на основе придуманных им самим игрушечных задач решал основную.
Из сотен попыток математикам удалось "обмануть" бота лишь 10 раз...
Вердикт экспертов: "Это то, что делал бы очень, очень хороший аспирант — даже больше"
"Вспомните, как в 2020 году все поражались, что модель GPT-3 могла (не всегда и с ошибками) выполнять сложение трехзначных чисел. А теперь представьте, где мы будем через несколько лет …" — Джек Кларк.
#ёжик_пишет
#машинное_обучение
https: // frontiermath-symposium . epoch . ai / сайт конкурса
https: // arxiv. org / abs / 2411.04872 статья про бэнчмарк frontiermath
На скриншоте пример задачи с сайта конкурса
В течение двух дней математики задавали боту сложные математические задачи. Оказалось, что бот способен ответить на некоторые из самых сложных решаемых задач в мире .
«У меня есть коллеги, которые буквально сказали, что эти модели приближаются к математическому гению», — рассказал Кен Оно, математик из Университета Вирджинии, руководитель турнира.
Рассматриваемый чат-бот работает на основе o4-mini , так называемой модели большого языка рассуждений (LLM). Он был обучен OpenAI делать очень сложные выводы. Аналог Google, Gemini 2.5 Flash , обладает схожими способностями. Как и LLM, которые работали в более ранних версиях ChatGPT, o4-mini учится предсказывать следующее слово в последовательности. Однако по сравнению с этими более ранними LLM, o4-mini и его эквиваленты являются более легкими, более гибкими моделями, которые обучаются на специализированных наборах данных с более сильным подкреплением от людей. Такой подход приводит к чат-боту, способному гораздо глубже погружаться в сложные проблемы математики, чем традиционные LLM .
Чтобы отслеживать прогресс o4-mini, OpenAI ранее поручил Epoch AI, некоммерческой организации, которая проводит сравнительный анализ LLM, придумать 300 математических вопросов, решения которых еще не были опубликованы. Даже традиционные LLM могут правильно ответить на многие сложные математические вопросы. Тем не менее, когда Epoch AI задал нескольким таким моделям эти вопросы, которые были непохожи на те, на которых они обучались, наиболее успешные смогли решить менее 2 процентов , что показало, что этим LLM не хватает способности рассуждать. Но o4-mini оказался совсем другим.
Epoch AI наняла Эллиота Глейзера, недавно получившего докторскую степень по математике, для разработки нового бенчмарка, получившего название FrontierMath , в сентябре 2024 года. Проект собрал новые вопросы по разным уровням сложности, причем первые три уровня охватывали задачи уровня бакалавриата, магистратуры и исследовательского уровня.
К апрелю 2025 года Глейзер обнаружил, что o4-mini может решить около 20 процентов вопросов. Затем он перешел к четвертому уровню: набору вопросов, которые были бы сложными даже для академического математика. Только небольшая группа людей в мире была бы способна разработать такие вопросы, не говоря уже о том, чтобы ответить на них. Математики, которые участвовали, должны были подписать соглашение о неразглашении, требующее от них общаться исключительно через приложение для обмена сообщениями Signal. Другие формы контакта, такие как традиционная электронная почта, потенциально могли быть просканированы LLM и непреднамеренно обучить его, тем самым загрязнив набор данных.
Epoch AI провела очную встречу в субботу, 17 мая, и воскресенье, 18 мая. Там участники должны были завершить последнюю партию вопросов-задач. 30 участников были разделены на группы по шесть человек. В течение двух дней ученые соревновались друг с другом, чтобы придумать задачи, которые они могли решить, но которые сбили бы с толку бота.
За 10 минут бот справлялся с задачами уровня PhD, на которую у человека ушли бы недели. Сначала изучал литературу, потом решал "игрушечные" версии задач для тренировки, а затем на основе придуманных им самим игрушечных задач решал основную.
Из сотен попыток математикам удалось "обмануть" бота лишь 10 раз...
Вердикт экспертов: "Это то, что делал бы очень, очень хороший аспирант — даже больше"
"Вспомните, как в 2020 году все поражались, что модель GPT-3 могла (не всегда и с ошибками) выполнять сложение трехзначных чисел. А теперь представьте, где мы будем через несколько лет …" — Джек Кларк.
#ёжик_пишет
#машинное_обучение
В поле зрения внимательных подписчиков Ёжика попало видео, прикреплённое к посту о ромбоикосододекаэдре. Впоследствии видео было заменено, поскольку выяснилось, что на нём изображено немного иное архимедово тело — так называемый «великий ромбоикосододекаэдр», или, проще говоря, ромбоусечённый икосододекаэдр. Видео возвращается — пролистайте карусель чуть дальше — а сегодня, следуя данному обещанию, публикую подробную справку об этом замечательном многограннике.
Ромбоусечённый икосододекаэдр — архимедово тело (полуправильный многогранник), одно из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел, построенных из двух или более типов правильных многоугольников. У него 180 рёбер, 120 вершин и 62 грани, 30 из которых являются квадратами, другие 20 — шестиугольниками, а остальные 12 — правильными десятиугольниками.
Иоганн Кеплер дал этому многограннику немного другое название — усечённый икосододекаэдр (в оригинале: icosidodecaedron trucum — книга II труда Harmonices Mundi Иоганна Кеплера, страницы 64–65), однако простым усечением с икосододекаэдра четырёхугольных пирамид возможно получить другой многогранник, похожий на ромбоусечённый икосододекаэдр, в котором вместо квадратов — золотые прямоугольники, то есть прямоугольники, одна сторона которых в φ раз больше другой. Поэтому используется слово «ромбоусечённый», подчёркивающее, что после усечения получаются ромбы — в данном случае, квадраты.
Примечательно, что нет многогранника, все грани которого — правильные многоугольники, обладающего большим радиусом описанной сферы, большей площадью поверхности, большим объёмом, большим количеством рёбер и вершин, чем есть у ромбоусечённого икосододекаэдра. Мало того, ромбоусечённый икосододекаэдр занимает наибольшую часть объёма описанного шара — целых 89.8%, совсем немного превосходя по этому показателю ромбоикосододекаэдр, занимающий 89.23% объёма описанного около него шара. Но у этого многогранника не самое большое количество граней: о чемпионе в этом разряде речь пойдёт в другой раз.
Все рёбра этого многогранника равны, поскольку он составлен из правильных многоугольников, а некоторые из них имеют общие стороны, лежащие на прямых, по которым пересекаются грани, где лежат эти многоугольники.
Телесный угол при каждой из вершин ромбоусечённого икосододекаэдра равен 3π/2 стерадиан. Мера этого угла гораздо красивее, чем у ранее рассмотренного ромбоикосододекаэдра, где внезапно «вылезает» арккосинус с корнями.
Ромбоусечённый икосододекаэдр изогонален, полуправилен и обладает икосаэдральной симметрией (Ih). Это означает, что все его вершины геометрически идентичны, что все его грани — правильные, но различные, многоугольники, и что существует 60 различных поворотов и отражений, сохраняющих его форму.
Немного интерактива для читателей: на сайте WolframAlpha размещена развёртка ромбоусечённого икосододекаэдра, которую я приложил в виде файла к данному посту. Распечатайте и попробуйте собрать этот многогранник из бумаги. Решитесь — поделитесь фотографиями, интересно, что у вас получится!
#ёжик_пишет
#элементарная_математика
Ромбоусечённый икосододекаэдр — архимедово тело (полуправильный многогранник), одно из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел, построенных из двух или более типов правильных многоугольников. У него 180 рёбер, 120 вершин и 62 грани, 30 из которых являются квадратами, другие 20 — шестиугольниками, а остальные 12 — правильными десятиугольниками.
Иоганн Кеплер дал этому многограннику немного другое название — усечённый икосододекаэдр (в оригинале: icosidodecaedron trucum — книга II труда Harmonices Mundi Иоганна Кеплера, страницы 64–65), однако простым усечением с икосододекаэдра четырёхугольных пирамид возможно получить другой многогранник, похожий на ромбоусечённый икосододекаэдр, в котором вместо квадратов — золотые прямоугольники, то есть прямоугольники, одна сторона которых в φ раз больше другой. Поэтому используется слово «ромбоусечённый», подчёркивающее, что после усечения получаются ромбы — в данном случае, квадраты.
Примечательно, что нет многогранника, все грани которого — правильные многоугольники, обладающего большим радиусом описанной сферы, большей площадью поверхности, большим объёмом, большим количеством рёбер и вершин, чем есть у ромбоусечённого икосододекаэдра. Мало того, ромбоусечённый икосододекаэдр занимает наибольшую часть объёма описанного шара — целых 89.8%, совсем немного превосходя по этому показателю ромбоикосододекаэдр, занимающий 89.23% объёма описанного около него шара. Но у этого многогранника не самое большое количество граней: о чемпионе в этом разряде речь пойдёт в другой раз.
Все рёбра этого многогранника равны, поскольку он составлен из правильных многоугольников, а некоторые из них имеют общие стороны, лежащие на прямых, по которым пересекаются грани, где лежат эти многоугольники.
Телесный угол при каждой из вершин ромбоусечённого икосододекаэдра равен 3π/2 стерадиан. Мера этого угла гораздо красивее, чем у ранее рассмотренного ромбоикосододекаэдра, где внезапно «вылезает» арккосинус с корнями.
Ромбоусечённый икосододекаэдр изогонален, полуправилен и обладает икосаэдральной симметрией (Ih). Это означает, что все его вершины геометрически идентичны, что все его грани — правильные, но различные, многоугольники, и что существует 60 различных поворотов и отражений, сохраняющих его форму.
Немного интерактива для читателей: на сайте WolframAlpha размещена развёртка ромбоусечённого икосододекаэдра, которую я приложил в виде файла к данному посту. Распечатайте и попробуйте собрать этот многогранник из бумаги. Решитесь — поделитесь фотографиями, интересно, что у вас получится!
#ёжик_пишет
#элементарная_математика
📖 Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. «Элементарная топология»
Книга «Элементарную топологию» Виро, Иванова, Харламова и Нецветаева — это тщательно продуманное погружение в основы общей и алгебраической топологии через призму современной математики.
Книга начинается с построения топологических пространств через системы открытых множеств, базисы и суббазисы. Подробно разобраны свойства пространств такие как аксиомы отделимости (T₀–T₄), связность, локальная связность, компактность, сигма-компактность, сходимость фильтров и сетей. Всё подкреплено нетривиальными примерами от пространства Кантера до ленты Мёбиуса и более экзотических конструкций. Особенно сильно в книге выстроен переход к фундаментальной группе, через понятия гомотопии отображений, гомотопической эквивалентности, петли, группы гомотопий, а затем к накрывающим отображениям. Здесь уже появляются элементы категориального подхода функторы, универсальные накрытия, действия группы на пространстве, связь между автоморфизмами накрытия и π₁.
Фактически, авторы ведут читателя от простых топологических конструкций до первых инвариантов алгебраической природы фундаментальной группы и её вычислений. Особо стоит отметить главу про принцип классификации накрытий через подгруппы фундаментальной группы — это уже серьёзная математика, поданная в доступной форме. Что особенно ценно, книга не упрощает, здесь нет «игрушечной» топологии, но при этом и не перегруз. Это именно тот уровень строгости, который формирует математическое мышление.
Рекомендую книгу всем, кто серьёзно хочет разобраться в основах топологии будь то бакалавр математик, физик, информатик или будущий геометр. Это та база, без которой не построить ничего ни теории гомологий, ни коциклических объектов, ни современного топологического анализа данных.
#топология #элементарнаятопология #математика #фундаментальнаягруппа #гомотопия #алгебраическаятопология #общая_топология #математическоеобразование #учебник_по_топологии #Виро #топологиядлястудентов #topology #fundamentalgroups #coveringspaces #homotopy #mathrecommendation
Книга «Элементарную топологию» Виро, Иванова, Харламова и Нецветаева — это тщательно продуманное погружение в основы общей и алгебраической топологии через призму современной математики.
Книга начинается с построения топологических пространств через системы открытых множеств, базисы и суббазисы. Подробно разобраны свойства пространств такие как аксиомы отделимости (T₀–T₄), связность, локальная связность, компактность, сигма-компактность, сходимость фильтров и сетей. Всё подкреплено нетривиальными примерами от пространства Кантера до ленты Мёбиуса и более экзотических конструкций. Особенно сильно в книге выстроен переход к фундаментальной группе, через понятия гомотопии отображений, гомотопической эквивалентности, петли, группы гомотопий, а затем к накрывающим отображениям. Здесь уже появляются элементы категориального подхода функторы, универсальные накрытия, действия группы на пространстве, связь между автоморфизмами накрытия и π₁.
Фактически, авторы ведут читателя от простых топологических конструкций до первых инвариантов алгебраической природы фундаментальной группы и её вычислений. Особо стоит отметить главу про принцип классификации накрытий через подгруппы фундаментальной группы — это уже серьёзная математика, поданная в доступной форме. Что особенно ценно, книга не упрощает, здесь нет «игрушечной» топологии, но при этом и не перегруз. Это именно тот уровень строгости, который формирует математическое мышление.
Рекомендую книгу всем, кто серьёзно хочет разобраться в основах топологии будь то бакалавр математик, физик, информатик или будущий геометр. Это та база, без которой не построить ничего ни теории гомологий, ни коциклических объектов, ни современного топологического анализа данных.
#топология #элементарнаятопология #математика #фундаментальнаягруппа #гомотопия #алгебраическаятопология #общая_топология #математическоеобразование #учебник_по_топологии #Виро #топологиядлястудентов #topology #fundamentalgroups #coveringspaces #homotopy #mathrecommendation
Вся эта красота алгебраических поверхностей вдохновила меня на создание собственной! Представляю вашему вниманию плоскость пятой степени: F(x) = x^5 + y^5 – z^4 - 4xy^2 + 2zx^2y^2 - 2xyz + 3xy – 2. Она не обладает симметрией, да и особых точек у неё всего 5, но самое главное, что такую красоту порождают казалось бы понятные со школы полиномы. Впрочем, это уже совсем другая история!
#ёжик_пишет
#ёжик_пишет
Обычный ужин в итальянской семье среднего достатка. Глава семейства и жена – уважаемые в обществе школьные учителя, глубоко верующие, и старающиеся привить своим ученикам уважение к старшим, ответственность и гордость за свою страну. Из кухни доносится приятный аромат базилика, лука порея, помидоров и фасоли. Сегодня на ужин минестроне, полента и паста. Всё скромно, но со вкусом. Мать зовёт сыновей на ужин. Мать рассказывает о том, как Джузеппе подрался с одноклассником из другого класса. Над мальчиком смеялись из-за его нищеты.
В семье учителей пять детей. Вполне нормально для того времени. Старший сын – Эудженио, показывает большие успехи в точных науках, младший же не здорово интересуется радикальными политическими течениями. Именно эти увлечения математикой сыграют роковую роль в нашей сегодняшней истории.
«ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОВЕЛИ… с Юрием Цитрусом»
Пальмиро Тольятти – человек сложной судьбы, итальянский коммунист времён фашистской Италии, ученик Антонио Грамши. В честь него назван самый крупный город России, не являющийся областным центром. О его биографии много сказано и написано, чего нельзя сказать о его старшем брате. И нет, старший брат политического деятеля не был белой вороной, уродом в семье, ненавистником брата или жил в тени более выдающегося родственника. Пальмиро брата уважал и в чём-то ему старался подражать, но сведений о жизни Эудженио сохранилось разительно меньше, в чём есть некая несправедливость. Ведь старший брат не менее выдающаяся личность, правда, в области математики. И я считаю, стоит рассказать о главном достижении талантливого учёного.
«Поверхность Тольятти — алгебраическая поверхность пятой степени с 31 особой точкой (максимально возможное число среди поверхностей пятой степени)». Давайте, разберемся, что означает каждое слово в этом предложении из википедии.
31 – 11-ое простое число, сумма чисел с 1 до 31 равна 496 – самому большому совершенному числу, известному древним грекам, является числом Мерсена.
С – предлог, связывающий слова в предложения.
Число – одно из ключевых понятий в математике, используемое для количественной характеристики и сравнения…
В семье учителей пять детей. Вполне нормально для того времени. Старший сын – Эудженио, показывает большие успехи в точных науках, младший же не здорово интересуется радикальными политическими течениями. Именно эти увлечения математикой сыграют роковую роль в нашей сегодняшней истории.
«ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОВЕЛИ… с Юрием Цитрусом»
Пальмиро Тольятти – человек сложной судьбы, итальянский коммунист времён фашистской Италии, ученик Антонио Грамши. В честь него назван самый крупный город России, не являющийся областным центром. О его биографии много сказано и написано, чего нельзя сказать о его старшем брате. И нет, старший брат политического деятеля не был белой вороной, уродом в семье, ненавистником брата или жил в тени более выдающегося родственника. Пальмиро брата уважал и в чём-то ему старался подражать, но сведений о жизни Эудженио сохранилось разительно меньше, в чём есть некая несправедливость. Ведь старший брат не менее выдающаяся личность, правда, в области математики. И я считаю, стоит рассказать о главном достижении талантливого учёного.
«Поверхность Тольятти — алгебраическая поверхность пятой степени с 31 особой точкой (максимально возможное число среди поверхностей пятой степени)». Давайте, разберемся, что означает каждое слово в этом предложении из википедии.
31 – 11-ое простое число, сумма чисел с 1 до 31 равна 496 – самому большому совершенному числу, известному древним грекам, является числом Мерсена.
С – предлог, связывающий слова в предложения.
Число – одно из ключевых понятий в математике, используемое для количественной характеристики и сравнения…
Шутки в сторону. Алгебраическая поверхность — это двумерное алгебраическое многообразие, задаваемое полиномиальным уравнением в проективном или аффинном пространстве. Задаётся уравнением F(x ϵ ℝn) = 0. F – это полиномиальная функция от точки x в n – мерном пространстве. Для простоты и удобства будем работать в 3-мерном пространстве вещественных чисел. Если вы помните, то любой полином от одной комплексной переменной можно разложить на простые множители. Но в пространстве бОльших размерностей существуют полиномы степени m которые невозможно представить в виде произведения двух полиномов меньших степеней. Такие полиномы называются неприводимыми. Данный факт сильно затрудняет поиск нулей функции, но в определении плоскости Тольятти прозвучало ключевое слово: «особая точка». Особая точка это точка, в которой нарушаются обычные условия гладкости или регулярности объекта, задаваемого полиномиальным уравнением. То есть в данной точке выполняется условие dF/dx = 0, dF/dy = 0, dF/dz = 0. Мы выяснили, что такое алгебраическая поверхность и что такое особая точка. Но к сути дела: а как выглядит уравнение Тольятти? В трёхмерном пространстве оно имеет вид: F(x,y,z) = x^5 + y^5 + z^5 – 5(x^3*y^2 + y^3*z^2 + z^3*x^2) или такой F(x,y,z) = x^5 + y^5 + z^5 – 5(x^2*y^2*z + x*y^2*z^2 + x^2*y*z^2) или такой F(x,y,z) = x^5 + y^5 + z^5 – 5(x^3yz + y^3xz + z^3xy), в общем, любое эквивалентное этим уравнениям (в проективных координатах запись аналогична). На первый взгляд, задача кажется не бей лежачего: У нас есть поверхность заданная полиномом, надо найти точку, где производная обращается в нуль. Только находить нули полиномиальных функций дело не благодарное. Даже для полинома от одной переменной третьей степени эта задача долгие годы считалась неподъёмной, а в начале 19 века Абель доказал, что для полиномов степени 5 и выше невозможно найти общей формулы для поиска корней (уравнение неразрешимо в радикалах, если говорить более строго). Но всё-таки если мы хотим найти плоскость, обладающую свойствами плоскости Тольятти, попробуем рассуждать так, чтобы «расплодить» как можно больше особых точек. Чтобы была одна особая точка достаточно и полинома второй степени (конус: x^2/a^2 + y^2/b^2 – z^2/c^2 = 0). А теперь эту одну точку надо получить снова. Что если для нашего полинома существуют такие линейные преобразования A, что F(A*x) = F(x). Тогда если в точка x0 особая, то и Ax0 тоже особая, таким образом, чем больше мы обнаружим таких линейных преобразований, тем больше особых точек будет для данного полинома. Полиномы пятой степени обладают циклической симметрией C5 (то есть не меняется при поворотах на 2mπ/5 для целых m), и для степени 5 максимальная симметрия это симметрия группы икосаэдра Ih осталось только разобраться, какое максимальное количество точек при преобразовании сохранит своё значение. Порядок этой группы 120, а значит некоторое кратное ему число и будет количеством особенностей. Так! Мы же вначале говорили, что у плоскости Тольятти 31 особая точка. Вся причина в том, что точка (0,0,0) при линейных преобразованиях переходит сама в себя и является особой. И тут важно сделать замечание: симметрия для алгебраических плоскостей является инструментом проверки и скорее показывает сколько может быть особых точек, но не гарантирует «максимальность» их количества. Для доказательства максимума следует исследовать топологические и алгебраические инварианты, такие как Эйлерова характеристика, род поверхности, характеристика Холла и прочие и то, как будут вести себя поверхности при добавлении новых точек. Эудженио Тольятти только показал, что 31 минимум для поверхностей 5 степени достижим, но вот доказать максимальность этого количества особенностей смог только Арно Бовиль после смерти Тольятти, так что в рамках обзорной статьи, я считаю, рассказал достаточно. В качестве иллюстрации прилагаю набор из 31 точки, обладающих той же симметрией, что и особенности плоскости Тольятти. Это не точное воспроизведение их расположения, а один из вариантов их возможной расстановки.
Дорогие коллеги!
Продолжаем знакомить вас с видеокурсами, записанными студией Ёжик в матане в последнем семестре. Сегодня представляем вам спецкурс И.В. Савицкого "Модели вычислений". Мы уже записывали ранее лекции Игоря Владимировича по основам кибернетики и дополнительным главам дискретной математики, а теперь удалось записать ещё один курс, прочитанный студентам его кафедры, "Математической кибернетики"
Это курс по теоретической информатике (Theoretical Computer Science), который исследует сами основы и пределы возможностей вычислений. Он не о том, как писать код, а о том, что такое "алгоритм" в математическом смысле и какие задачи в принципе можно, а какие невозможно решить с помощью алгоритмов.
Ключевые темы и идеи курса:
Формализация понятия "алгоритм": В начале XX века математики пытались дать строгое определение интуитивному понятию алгоритма. В курсе рассматриваются несколько таких попыток, которые оказались эквивалентными:
Лямбда-исчисление (Алонзо Чёрч): Модель вычислений, основанная на применении функций. Лежит в основе функциональных языков программирования (Lisp, Haskell).
Машины Тьюринга (Алан Тьюринг): Простая абстрактная "машина", которая может читать, писать и перемещаться по бесконечной ленте. Стала канонической моделью компьютера.
Частично-рекурсивные функции (Курт Гёдель, Стивен Клини): Модель, основанная на построении функций из простейших базовых блоков.
Нормальные алгоритмы Маркова: Модель, основанная на правилах подстановки строк.
Тезис Чёрча-Тьюринга: Центральная гипотеза теории вычислений, которая гласит, что любой интуитивно понимаемый "алгоритм" может быть реализован на машине Тьюринга (и, соответственно, в любой другой из эквивалентных моделей). Проще говоря: класс задач, решаемых на компьютере, — это в точности класс задач, решаемых машиной Тьюринга.
Вычислимость и невычислимость: Курс доказывает, что существуют задачи, для которых невозможно написать алгоритм, который бы решал их для всех входных данных.
Проблема останова (The Halting Problem): Классический пример. Невозможно создать программу, которая для любой другой программы и её входных данных определит, завершит ли та свою работу или будет выполняться вечно.
Связь с логикой: Курс затрагивает глубокие связи между теорией вычислений и математической логикой, в частности Теорему Гёделя о неполноте, которая утверждает, что в любой достаточно сложной формальной системе есть истинные утверждения, которые невозможно доказать средствами этой системы.
Основы теории сложности: После того как мы поняли, какие задачи решаемы, возникает следующий вопрос: "насколько сложно их решать?". Этот блок вводит в теорию сложности:
Классы P (задачи, решаемые за полиномиальное время) и NP (задачи, решение которых можно быстро проверить).
Знаменитая "проблема тысячелетия" P vs NP.
Ссылка на Playlist: https://vkvideo.ru/playlist/-186208863_120
Лекция 1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243891
Лекция 2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243892
Лекция 3: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243905
Лекция 4: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243906
Лекция 5: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243922
Лекция 6: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243923
Лекция 7: https://youtu.be/MBeCPifwH_E?si=5DuKyYX7ZFFpPzVv
Лекция 8: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243955
Лекция 9: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243962
Лекция 10: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243963
Лекция 11: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243985
Лекция 12: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243986
Лекция 13: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244023
Лекция 14: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244024
Лекция 15: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244029
Лекция 16: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244030
#колючие_лекции
Продолжаем знакомить вас с видеокурсами, записанными студией Ёжик в матане в последнем семестре. Сегодня представляем вам спецкурс И.В. Савицкого "Модели вычислений". Мы уже записывали ранее лекции Игоря Владимировича по основам кибернетики и дополнительным главам дискретной математики, а теперь удалось записать ещё один курс, прочитанный студентам его кафедры, "Математической кибернетики"
Это курс по теоретической информатике (Theoretical Computer Science), который исследует сами основы и пределы возможностей вычислений. Он не о том, как писать код, а о том, что такое "алгоритм" в математическом смысле и какие задачи в принципе можно, а какие невозможно решить с помощью алгоритмов.
Ключевые темы и идеи курса:
Формализация понятия "алгоритм": В начале XX века математики пытались дать строгое определение интуитивному понятию алгоритма. В курсе рассматриваются несколько таких попыток, которые оказались эквивалентными:
Лямбда-исчисление (Алонзо Чёрч): Модель вычислений, основанная на применении функций. Лежит в основе функциональных языков программирования (Lisp, Haskell).
Машины Тьюринга (Алан Тьюринг): Простая абстрактная "машина", которая может читать, писать и перемещаться по бесконечной ленте. Стала канонической моделью компьютера.
Частично-рекурсивные функции (Курт Гёдель, Стивен Клини): Модель, основанная на построении функций из простейших базовых блоков.
Нормальные алгоритмы Маркова: Модель, основанная на правилах подстановки строк.
Тезис Чёрча-Тьюринга: Центральная гипотеза теории вычислений, которая гласит, что любой интуитивно понимаемый "алгоритм" может быть реализован на машине Тьюринга (и, соответственно, в любой другой из эквивалентных моделей). Проще говоря: класс задач, решаемых на компьютере, — это в точности класс задач, решаемых машиной Тьюринга.
Вычислимость и невычислимость: Курс доказывает, что существуют задачи, для которых невозможно написать алгоритм, который бы решал их для всех входных данных.
Проблема останова (The Halting Problem): Классический пример. Невозможно создать программу, которая для любой другой программы и её входных данных определит, завершит ли та свою работу или будет выполняться вечно.
Связь с логикой: Курс затрагивает глубокие связи между теорией вычислений и математической логикой, в частности Теорему Гёделя о неполноте, которая утверждает, что в любой достаточно сложной формальной системе есть истинные утверждения, которые невозможно доказать средствами этой системы.
Основы теории сложности: После того как мы поняли, какие задачи решаемы, возникает следующий вопрос: "насколько сложно их решать?". Этот блок вводит в теорию сложности:
Классы P (задачи, решаемые за полиномиальное время) и NP (задачи, решение которых можно быстро проверить).
Знаменитая "проблема тысячелетия" P vs NP.
Ссылка на Playlist: https://vkvideo.ru/playlist/-186208863_120
Лекция 1: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243891
Лекция 2: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243892
Лекция 3: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243905
Лекция 4: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243906
Лекция 5: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243922
Лекция 6: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243923
Лекция 7: https://youtu.be/MBeCPifwH_E?si=5DuKyYX7ZFFpPzVv
Лекция 8: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243955
Лекция 9: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243962
Лекция 10: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243963
Лекция 11: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243985
Лекция 12: https://vkvideo.ru/video-186208863_456243986
Лекция 13: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244023
Лекция 14: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244024
Лекция 15: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244029
Лекция 16: https://vkvideo.ru/video-186208863_456244030
#колючие_лекции
VK Видео
Савицкий И.В. | Модели вычислений | весна 2025 | ВКонтакте
Дорогие коллеги, с Праздником!!
И, как обычно, мы начинаем Воскресенье с весёлого мема. К сожалению, мы опять не знаем автора этой картинки, но она не просто смешная, но и поднимает важные наблюдения! 😊
#ёжик_развлекается
И, как обычно, мы начинаем Воскресенье с весёлого мема. К сожалению, мы опять не знаем автора этой картинки, но она не просто смешная, но и поднимает важные наблюдения! 😊
#ёжик_развлекается