Telegram Group & Telegram Channel
Вероятность как "частота" и как "плотность (вещества?)"

Обыватели воспринимают вероятность как "частоту". Ну вроде как подбросили монетку 100 раз, если примерно 50 раз выпал орёл и 50 раз решка, то вероятность каждого исхода была 1/2.

Уже в таком простом случае большое количество логических натяжек и проблем.

Статистики бы сказали, что провели "биномиальный тест". Т.е. исходя из наблюдаемого распределения результатов вывели, задним числом, какая могла бы быть вероятность отдельно взятого исхода в одном подбрасывании. Чем длиннее последовательность бросков, тем точнее можно дать соответствующую оценку (тем меньше так называемое p-value — т.е. вероятность сделать ошибочный статистический вывод).

В более сложных статистических методах оценивается не вероятность отдельного исхода, а соответствие некоторых характеристик (например, среднего значения) частной выборки "генеральной совокупности" (т.е. всему исследуемому множеству объектов/явлений — например, всем людям).

Всё это довольно сложная машинерия, опирающаяся со стороны собственно теорвера на "законы больших чисел" и "центральные предельные теоремы", а со стороны статистики на бесчисленное количество распределений и статистических проверок.

Насколько я понимаю, статистики-прикладники (социологи и психологи, например) не разбираются в первом, а математики не особо интересуются вторым :)

Для математиков вероятность это не "частота", а скорее "плотность вещества". Честная монетка это что-то вроде "гантели": невесомая твёрдая перемычка, связывающая два шарика одинаковой массы (для удобства суммарную массу примем за 1).

Если вероятности выпадения орла и решки не равны, "гантелю" начинает перекашивать; чтобы её уравновесить надо сдвинуть точку опоры в сторону большей массы. Что соответствует вычислению "математического ожидания".

Термины типа "момент", "второй момент", "второй центральный момент" (= дисперсия/variance), похоже, напрямую заимствованы математиками из механики — там "момент инерции" (вокруг начала координат или центра масс соответственно) в точности оно вот и есть.

Теорема Штейнера о моменте инерции относительно сдвинутой оси превращается в (более простую за счёт нормализации "массы" к единице) формулу математического ожидания квадрата сдвинутой на фиксированное значение случайной величины.

После Гальтона (о котором, кстати, писали ранее: 1, 2, 3) и Пирсона, по-видимому популяризировавших в теорвере термин "момент", Колмогоров наконец провёл окончательную формализацию, закрепив понимание вероятности как меры на множестве.

Представим что у нас есть две случайных величины X и Y, как на первой картинке выше, и их совместное распределение (высота столба над "столом" показывает вероятность совместного "выпадения" X,Y в соответствующую точку пространства). Каждая при этом может быть распределена произвольно, не равномерно.

Как узнать вероятность события, например, "Y больше или равно X"? Через двойной интеграл меры ("плотности вероятности") по множеству (квадрату X,Y) в заданном регионе (Y ≥ X) :)

А как это сделать? Да очень просто. Представим, что столбики указывают на плотность материала стола (чем выше столбик, тем плотнее соответствующее место стола). Проведём диагональную линию из нижнего левого в верхний правый угол квадрата, которая разделит его на два треугольника: там где X меньше Y, и там где Y меньше X (прямая y = x, "граница множества"). Дальше вырезаем ножовкой из стола нужный нам треугольник (где Y больше X, т.е. верхний). Кидаем его на весы. Готово, показания весов и есть искомая вероятность!



group-telegram.com/metaprogramming/379
Create:
Last Update:

Вероятность как "частота" и как "плотность (вещества?)"

Обыватели воспринимают вероятность как "частоту". Ну вроде как подбросили монетку 100 раз, если примерно 50 раз выпал орёл и 50 раз решка, то вероятность каждого исхода была 1/2.

Уже в таком простом случае большое количество логических натяжек и проблем.

Статистики бы сказали, что провели "биномиальный тест". Т.е. исходя из наблюдаемого распределения результатов вывели, задним числом, какая могла бы быть вероятность отдельно взятого исхода в одном подбрасывании. Чем длиннее последовательность бросков, тем точнее можно дать соответствующую оценку (тем меньше так называемое p-value — т.е. вероятность сделать ошибочный статистический вывод).

В более сложных статистических методах оценивается не вероятность отдельного исхода, а соответствие некоторых характеристик (например, среднего значения) частной выборки "генеральной совокупности" (т.е. всему исследуемому множеству объектов/явлений — например, всем людям).

Всё это довольно сложная машинерия, опирающаяся со стороны собственно теорвера на "законы больших чисел" и "центральные предельные теоремы", а со стороны статистики на бесчисленное количество распределений и статистических проверок.

Насколько я понимаю, статистики-прикладники (социологи и психологи, например) не разбираются в первом, а математики не особо интересуются вторым :)

Для математиков вероятность это не "частота", а скорее "плотность вещества". Честная монетка это что-то вроде "гантели": невесомая твёрдая перемычка, связывающая два шарика одинаковой массы (для удобства суммарную массу примем за 1).

Если вероятности выпадения орла и решки не равны, "гантелю" начинает перекашивать; чтобы её уравновесить надо сдвинуть точку опоры в сторону большей массы. Что соответствует вычислению "математического ожидания".

Термины типа "момент", "второй момент", "второй центральный момент" (= дисперсия/variance), похоже, напрямую заимствованы математиками из механики — там "момент инерции" (вокруг начала координат или центра масс соответственно) в точности оно вот и есть.

Теорема Штейнера о моменте инерции относительно сдвинутой оси превращается в (более простую за счёт нормализации "массы" к единице) формулу математического ожидания квадрата сдвинутой на фиксированное значение случайной величины.

После Гальтона (о котором, кстати, писали ранее: 1, 2, 3) и Пирсона, по-видимому популяризировавших в теорвере термин "момент", Колмогоров наконец провёл окончательную формализацию, закрепив понимание вероятности как меры на множестве.

Представим что у нас есть две случайных величины X и Y, как на первой картинке выше, и их совместное распределение (высота столба над "столом" показывает вероятность совместного "выпадения" X,Y в соответствующую точку пространства). Каждая при этом может быть распределена произвольно, не равномерно.

Как узнать вероятность события, например, "Y больше или равно X"? Через двойной интеграл меры ("плотности вероятности") по множеству (квадрату X,Y) в заданном регионе (Y ≥ X) :)

А как это сделать? Да очень просто. Представим, что столбики указывают на плотность материала стола (чем выше столбик, тем плотнее соответствующее место стола). Проведём диагональную линию из нижнего левого в верхний правый угол квадрата, которая разделит его на два треугольника: там где X меньше Y, и там где Y меньше X (прямая y = x, "граница множества"). Дальше вырезаем ножовкой из стола нужный нам треугольник (где Y больше X, т.е. верхний). Кидаем его на весы. Готово, показания весов и есть искомая вероятность!

BY Metaprogramming


Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260

Share with your friend now:
group-telegram.com/metaprogramming/379

View MORE
Open in Telegram


Telegram | DID YOU KNOW?

Date: |

On February 27th, Durov posted that Channels were becoming a source of unverified information and that the company lacks the ability to check on their veracity. He urged users to be mistrustful of the things shared on Channels, and initially threatened to block the feature in the countries involved for the length of the war, saying that he didn’t want Telegram to be used to aggravate conflict or incite ethnic hatred. He did, however, walk back this plan when it became clear that they had also become a vital communications tool for Ukrainian officials and citizens to help coordinate their resistance and evacuations. Overall, extreme levels of fear in the market seems to have morphed into something more resembling concern. For example, the Cboe Volatility Index fell from its 2022 peak of 36, which it hit Monday, to around 30 on Friday, a sign of easing tensions. Meanwhile, while the price of WTI crude oil slipped from Sunday’s multiyear high $130 of barrel to $109 a pop. Markets have been expecting heavy restrictions on Russian oil, some of which the U.S. has already imposed, and that would reduce the global supply and bring about even more burdensome inflation. Multiple pro-Kremlin media figures circulated the post's false claims, including prominent Russian journalist Vladimir Soloviev and the state-controlled Russian outlet RT, according to the DFR Lab's report. Artem Kliuchnikov and his family fled Ukraine just days before the Russian invasion. Continuing its crackdown against entities allegedly involved in a front-running scam using messaging app Telegram, Sebi on Thursday carried out search and seizure operations at the premises of eight entities in multiple locations across the country.
from us


Telegram Metaprogramming
FROM American