Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств F : D —> sSets. Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора) B_{n,d} ⊆ F(d)_n, которые замкнуты относительно вырождений s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d}, и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм f : d' —> d и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества S' <—< S >—> S'', то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ..., то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми. ... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ... Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки S_n = *. Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество ... —> (n-2) —> (n-1) —> (n), составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets." (Определение свободной диаграммы §2.4. Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces." (Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization" (Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.
Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.
Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств F : D —> sSets. Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора) B_{n,d} ⊆ F(d)_n, которые замкнуты относительно вырождений s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d}, и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм f : d' —> d и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что F(f)(b)=x.
Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).
Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.
Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества S' <—< S >—> S'', то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ..., то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.
Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми. ... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ... Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки S_n = *. Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество ... —> (n-2) —> (n-1) —> (n), составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.
Список литературы:
[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets." (Определение свободной диаграммы §2.4. Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)
[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces." (Прежде всего §2.4)
[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization" (Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").
BY Математическая свалка Сепы
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Sebi said data, emails and other documents are being retrieved from the seized devices and detailed investigation is in progress. In view of this, the regulator has cautioned investors not to rely on such investment tips / advice received through social media platforms. It has also said investors should exercise utmost caution while taking investment decisions while dealing in the securities market. On December 23rd, 2020, Pavel Durov posted to his channel that the company would need to start generating revenue. In early 2021, he added that any advertising on the platform would not use user data for targeting, and that it would be focused on “large one-to-many channels.” He pledged that ads would be “non-intrusive” and that most users would simply not notice any change. NEWS Either way, Durov says that he withdrew his resignation but that he was ousted from his company anyway. Subsequently, control of the company was reportedly handed to oligarchs Alisher Usmanov and Igor Sechin, both allegedly close associates of Russian leader Vladimir Putin.
from nl
