сладко стянул

bundles hate this simple trick
пусть дано расслоение E->X со структурной группой G и слоем F ,(скажем, нам известен его склеивающий коцикл); как "увидеть" ассоциированное с ним главное G-расслоение P->X?
(Понятно, что P можно склеить по тому же коциклу, но хочется увидеть объект как бы "цельным")

1. Если у действия G на F есть свободная орбита, то надо просто рассмотреть эту орбиту и соответствующее ей "подрасслоение" в E. Его слой — непрерывный биективный образ G, то мы получим либо искомое главное G-расслоение, либо его "огрубленный вариант" (то же пространство, но с более грубой топологией). Если G компактна хаусдорфова, то огрублять топологию уже некуда, и всё гарантированно работает.

2. Если свободной орбиты нет, то можно взять "прямую сумму" расслоения E с собой ("прямая сумма" E и E' — это предел диаграммы E -> X <- E'). Получится расслоение над X с тем же коциклом и той же структурной группой, но слой теперь F×F, а стабилизатор точки (f1,f2) — это пересечение стабилизаторов. Есть шанс, что пересечение каких-то двух стабилизаторов тривиально; тогда найдется свободная орбита.

3. В общем случае надо взять пулбэк бесконечно много раз (по разу для каждой орбиты); в таком произведении слоев найдется точка, стабилизатор которой — это пересечение всех стабилизаторов исходного действия. А оно тривиально, если исходное действие было эффективно!

(если исходное действие не эффективно, то можно уменьшить его структурную группу, отфакторизовав по ядру неэффективности
{g из G: g.f=f для всех f из F})

4. Если проделать эту процедуру для векторных расслоений (F=R^n, G=GL(n) или, для удобства, O(n)), то получится в точности расслоение реперов как подмножество в прямой сумме n копий исходного расслоения. "Точка со свободной орбитой" — это набор из n векторов (e1,..,en); пересечение их стабилизаторов при действии GL(n) на R^n тривиально.

www.group-telegram.com/no/sweet_homotopy.com/1978

1.6K viewsMay 19, 2024 at 18:36

bundles hate this simple trick
пусть дано расслоение E->X со структурной группой G и слоем F ,(скажем, нам известен его склеивающий коцикл); как "увидеть" ассоциированное с ним главное G-расслоение P->X?
(Понятно, что P можно склеить по тому же коциклу, но хочется увидеть объект как бы "цельным")

1. Если у действия G на F есть свободная орбита, то надо просто рассмотреть эту орбиту и соответствующее ей "подрасслоение" в E. Его слой — непрерывный биективный образ G, то мы получим либо искомое главное G-расслоение, либо его "огрубленный вариант" (то же пространство, но с более грубой топологией). Если G компактна хаусдорфова, то огрублять топологию уже некуда, и всё гарантированно работает.

2. Если свободной орбиты нет, то можно взять "прямую сумму" расслоения E с собой ("прямая сумма" E и E' — это предел диаграммы E -> X <- E'). Получится расслоение над X с тем же коциклом и той же структурной группой, но слой теперь F×F, а стабилизатор точки (f1,f2) — это пересечение стабилизаторов. Есть шанс, что пересечение каких-то двух стабилизаторов тривиально; тогда найдется свободная орбита.

3. В общем случае надо взять пулбэк бесконечно много раз (по разу для каждой орбиты); в таком произведении слоев найдется точка, стабилизатор которой — это пересечение всех стабилизаторов исходного действия. А оно тривиально, если исходное действие было эффективно!

(если исходное действие не эффективно, то можно уменьшить его структурную группу, отфакторизовав по ядру неэффективности
{g из G: g.f=f для всех f из F})

4. Если проделать эту процедуру для векторных расслоений (F=R^n, G=GL(n) или, для удобства, O(n)), то получится в точности расслоение реперов как подмножество в прямой сумме n копий исходного расслоения. "Точка со свободной орбитой" — это набор из n векторов (e1,..,en); пересечение их стабилизаторов при действии GL(n) на R^n тривиально.

BY сладко стянул