Теперь обозначим n-кратный смэш A с собой через A^n, и обозначим
G_n := [A^n, H] при n≥1.
Получаем набор групп {G_n, n≥1} и отображений множеств
G_n × G_m -> G_{n+m}.

Известны две разных ситуации, когда из них можно соорудить что-то лиевское:

1) A=S¹.Тогда все группы G_n абелевы, скобки Самельсона билинейны и удовлетворяют тождеству Якоби; получаем градуированную квазиалгебру Ли (отличается от алгебры Ли отсутствием тождества (f,f)=0). То же рассуждение должно работать, если A — надстройка или ко-H-пространство.

2) A=S⁰. Тогда A^n=A, все группы G_n изоморфны G=[A,H], и наши отображения
G×G->G
совпадают с коммутатором в группе G.
Можно теперь взять какую-нибудь центральную фильтрацию* {F_nG} на G (например, нижний центральный ряд) и рассмотреть факторгруппы
L_n := F_nG / F_{n+1}G
и индуцированные групповым коммутатором отображения
L_n × L_m -> L_{n+m}.
Проверяется, что это действительно градуированная алгебра Ли; впрочем, без кошулевых знаков в тождестве Якоби.
Возможно, то же рассуждение работает всегда, когда AлA≈A.
----------------
...Было бы чудесно в общем случае указать естественный подфактор Г_n в G_n (зависящий от A,H и n) так, чтобы из отображения множеств
G_n×G_m -> G_{n+m}
получилось билинейное отображение абелевых групп
Г_n×Г_m -> Г_{n+m},
а ситуации выше были его частными случаями. То есть,
в ситуации 1) хочется
Г_n = G_n / 0,
в ситуации 2) хочется
Г_n = F_nG_n / F_{n+1}G_n = L_n.
----------------
*Если K,R<G — подгруппы, то (K,R)<G — это подгруппа, порожденная коммутаторами вида (k,r).
Фильтрация, то есть вложенная цепочка подгрупп
... < F_2G < F_1G = G,
называется центральной, если (F_nG,F_mG) < F_{n+m}G.
Нижний центральный ряд определяется рекурсивно как
\gamma_nG := (G, \gamma_{n-1}G). Это самая быстро убывающая центральная фильтрация.

Почему хочется объединить случаи 1 и 2?
Потому что помимо обычной теории гомотопий есть мотивная теория гомотопий (aka A¹-теория гомотопий Мореля-Воеводского). Аналогичная категория, где вместо всяких клеточных комплексов — грубо говоря, их гибриды с алгебраическими многообразиями над произвольным полем k.

Ограничимся случаем k=C, и возьмём A:= k\{0}. Из мотивной теории гомотопий (вроде как) есть функтор "взятия вещественных точек" и функтор "взятия комплексных точек", оба бьют в обычную теорию гомотопий. Получаем отображения hom-множеств; в частности, гомоморфизмы групп
[A^n,H] -> [A(R)^n, H(R)]
[A^n,H] -> [A(C)^n, H(C)],
согласованные со скобкой Самельсона. При A=k\{0} получаем
A(R)~S⁰, A(C)~S¹

а самое удивительное здесь — что я об этом начал думать рано утром в четверг, в связи с топологическим подходом к присоединенным алгебрам Ли граф-произведений групп, в связи с плохо понятой параллелью между "результатами вещественной и комплексной торической топологии"
— а в пятницу на архиве вышел препринт как раз про мотивные когомологии торических пространств
https://arxiv.org/abs/2406.13540
#чётамнаархиве

(Правда, там большую часть формул можно угадать с закрытыми глазами; а в задаче выше ответ не угадывается)

А как бы вы доказали теорему о причесывании ежа?

мне приходит в голову такое рассуждение: если v=v(x) — всюду ненулевое касательное поле на единичной сфере в R^d, то надо при каждом вещественном t рассмотреть отображение
S^{d-1} -> S^{d-1},
x -> G(v(x)+t*x),
где G(v) := v/|v|. Это отображение Гаусса для [нашего поля, к которому прибавлена нормаль к сфере длины t].

Они все гомотопны между собой; но при t>>0 получается отображение, близкое к тождественному, а при t<<0 — отображение, близкое к антиподальному. Они не могут быть гомотопны при нечётном d, потому что имеют разную степень. (Степень отображения можно определить гладко, через гомологии или через гомотопические группы)

Но где-то видел, что для d=3 можно обойтись без степени отображения для двумерных сфер, использовать только фундаментальную группу

Про каждое доказательство интересно подумать, "куда оно обобщается" и "что оно использует/передоказывает". Про фундаментальную группу я спрашиваю, потому что в таких рассуждениях по-любому неявно зашит гомоморфизм надстройки в гомологиях / гомотопических группах. Но не суть.

А рассуждая буквально как в посте, получаем: если d нечётно, M — гладкая замкнутая гиперповерхность в R^d, и на M есть всюду ненулевое касательное поле, то отображение Гаусса для поля нормалей к M
G_n: M -> S^{d-1}
гомотопно своей композиции с антиподальным; следовательно, имеет степень ноль.

Но степень G_n равна* \chi(M)/2: это вроде бы видно из теории Морса, аккуратно я пока не доказал. Идея: если i-ая координата в R^d оказалась морсовской функцией на M, то надо просто посчитать степень G_n локально в регулярных значениях e_i и -e_i. Там просуммируются критические точки с коэффициентами плюс-минус один. Осталось убедиться, что с такими знаками, что получается ЭХ комплекса Морса — а значит, и ЭХ многообразия.

Вывод: если гиперповерхность можно причесать, то chi(M) = 0. А как это доказать в большей коразмерности?

*"умное" доказательство использует естественность класса Эйлера, тождество <e(TM),[M]> = chi(M) и то, что обратный образ TS^{d-1} под действием G_n равен TM.

https://arxiv.org/abs/2406.19326
пишут, что окончательно описали гомотопическую неинвариантность струнного коумножения в терминах кручения Уайтхеда! Работа на 63 страницы, (зачем-то) использует язык бесконечность-категорий.
#чётамнаархиве

(формула в этом духе была предсказана в
https://arxiv.org/abs/2106.11307 .

струнная топология изучает богатую структуру на гомологиях свободных пространств петель гладких замк.ориент. многообразий. часть этой структуры — струнное коумножение. другие операции струнной топологии — струнное умножение и дифференциал, задаваемый "вращением петель", — гомотопически инвариантны. Даже, если правильно помню, определены и для комплексов Пуанкаре)

теорема Райдемейстера: если один и тот же узел двумя способами изображён на плоскости, то одну диаграмму можно перевести в другую за несколько движений Райдемейстера (+ шевелением диаграммы, т.е. планарными изотопиями)

Проще всего придумать и "формализовать" комбинаторно-топологическое доказательство: приблизить узел ломаной, а его объемлющую изотопию разбить на элементарные операции типа "заменили отрезок на два отрезка".

Но хочется порассуждать "гладко", в терминах общего положения. Это красивее, но нужно владеть соответствующей техникой; её формализовали сильно позже, чем "триангулированный" подход. В тексте
https://arxiv.org/abs/2406.18203
рассказывается, как устроено гладкое доказательство и какая там нужна теорема трансверсальности (спойлер: без струй не обойтись). Инструменты, которые стоит освоить

#чётамнаархиве

Почему теорию меры сложно переговорить на категорном языке, и как это всё-таки сделать: объясняет Дмитрий Павлов на nlab'е
https://ncatlab.org/nlab/show/categories+of+measure+theory
#чёпочитать

https://ncatlab.org/nlab/show/categorical+approaches+to+probability+theory
цели обозначены в аналогичной статье про категорную вероятность:

• To generalize existing results in probability theory to more general settings, for example with less stringent conditions on countability, separability, etc.;
• To find new results, which with the traditional methods would have been too complex to prove;
• To make probability and related fields more accessible to practitioners, thanks to the fact that the formalism incorporates measure theory without requiring any deep knowledge of it.

Третий пункт смешной)

сегодня выяснилось, что солидизация вещественных чисел это тривиальное кольцо, считай, формальное утверждение, что анализом заниматься несолидно

рассмотрим
X := CP² без двух точек
Y := CP¹×C¹ без одной точки.

задачка (простая, можно в уме решать): X и Y гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны. контекст потом

Путевые гомологии — это не гомологии пространства.

Когда я впервые услышал о путевых гомологиях орграфов, меня удивило сочетание дурацкости определения и замечательности свойств. Сразу захотелось найти нормальное определение, из которого эти свойства бы легко следовали. Самое очевидное желание — построить по орграфу пространство, гомологии которого — это путевые гомологии орграфа. Прошло уже больше двух лет с тех пор, как я впервые начал заниматься путевыми гомологиями, и вот только сейчас наконец вдвоем с постдокшей по имени Син разобрались, что построить такое пространство невозможно. Во всяком случае, невозможно построить пространство, гомологии которого совпадают с путевыми гомологиями орграфа с коэффициентами во всех кольцах одновременно.

Для нарисованного выше орграфа G не существует топологического пространства X, гомологии которого совпадали бы с путевыми гомологиями G с коэффициентами одновременно и в ℤ, и в ℤ/2.

https://arxiv.org/abs/2407.17001

Расмотрим двумерный симплициальный комплекс на множестве вершин {0,1,...,40}:
нужно провести все ребра, а затем вклеить те треугольники {i,j,k}, для которых
i+j+k = 0, 1 или 3 (mod 41).

Ни за что не угадаете, какие у него первые гомологии

Вот такие.

[9] N. Linial, R. Meshulam, and M. Rosenthal,
Sum complexes – a new family of hypertrees,
Discrete Comput. Geom 44 (2010), 622–636.
https://arxiv.org/abs/0903.1359

(скриншот из https://arxiv.org/abs/1707.09271 )

к сожалению 192-периодические элементы из 2-кручения
(
https://arxiv.org/abs/2011.08956
и
https://arxiv.org/abs/2404.10062
)
не задевают \pi^s_2023, так что вопрос открыт

Сегодня узнал, что билипшицеву эквивалентность (метрических пространств) иногда называют липеоморфизм

для подпространства X метрического пространства (M,d_M) можно сравнивать индуцированную метрику (в точности d_M(x,y)) и внутреннюю метрику (инфимум длин спрямляемых путей, лежащих в X). Поэтому липеоморфизмы подпространств бывают внутренние и внешние.

А вообще люди оказываются придумали специальные гомологии, чтобы исследовать ростки таких подпространств: moderately discontinuous homology. Цепи состоят из "симплексов, линейно приближающихся к нулю": непрерывных отображений из конуса над стандартным симплексом в наше подпространство, при которых все точки "симплекса, умноженного на t" находятся на расстоянии не меньше t/K и не больше t*K от нуля. (для каждого симплекса константа K>1 своя).
Правда, нужно ещё завести некоторую эквивалентность на таких симплексах, зависящую от вещественного параметра b ("показателя разрывности"). Поэтому циклы в этих гомологиях представляются комбинациями симплексов, которые как бы "стыкуются друг с другом с некоторой погрешностью".
инфа отсюда:
https://arxiv.org/abs/2408.00851
а придумали группы MDH^b_*(X,Y) пять лет назад,
https://arxiv.org/abs/1910.12552

#чётамнаархиве

а ещё можно убедиться что число с предыдущей картинки не больше, чем
3^410.

Это не случайно: сколь угодно большого кручения при фиксированном количестве вершин у симплициального комплекса быть не может.

Это и так очевидно, неочевидно что оценка здоровенная (и вроде даже асимптотически точная)

[HKP17] https://arxiv.org/abs/1308.6232

асимптотическая точность:
https://arxiv.org/abs/1707.09271

встретилась такая связь между двумя последовательностями {A_1,A_2,...} и {B_1,B_2,...}, понять бы что это значит (помимо того, что они друг друга определяют)