расслоения тут в общем-то не по делу, главная мысль — про действие.

Получается: либо G действует на F неэффективно ("группу можно уменьшить"), либо эту группу можно "увидеть" (вложить как свободную орбиту в произведение копий F). Если G компактна хаусдорфова — даже увидеть по-настоящему, а не как свою бледную тень

В теории гомотопий (вокруг гомотопических групп сфер) несколько раз было так: есть фундаментальный вопрос типа "для каких n верно утверждение X(n)", и продвижения происходили в таком порядке:
1) (За счёт элементарных методов) Неверно для всех n, кроме n=a*k+b (a,b — конкретные числа, k — параметр);
2) (За счёт операций Стинрода / серьезных вычислений) Неверно для всех n, кроме n=a*p^k+b (a,b,p — конкретные числа, k — параметр);
3) (За счёт вторичных когомологических операций / очень серьезных вычислений) задача полностью решена.
Причём степени простых появляются только на промежуточном шаге; итоговый ответ — несколько семейств наподобие "n=4k+3" и ещё несколько исключений.
——————————————-
Пусть n>1. В гомотопических группах сферы S^n есть такие элементы, как
ι ∈ π_n(S^n) — тождественное отображение;
η ∈ π_n+1(S^n) — (n-2)-кратная надстройка над отображением Хопфа;
η^k ∈ π_n+k(S^n) — композиция η с собой k раз.

Можно брать их скобки Уайтхеда и задаваться вопросом, получится ноль или нет. Это "метастабильный" вопрос.

I. (Проблема инварианта Хопфа, одна из формулировок) Для каких n верно [ι,ι]=0?
1) Почти очевидно, что H([ι,ι])=1±(-1)^n, поэтому [ι,ι]≠0 для чётных n;
(остался неразобранным случай n=2k+1);
1') Уайтхед (1950) доказал, что [ι,ι]≠0 при n=4k+1
(остался неразобранным случай n=4k+3);
2) Адем (1952) доказал через операции Стинрода: [ι,ι]≠0 для n≠2^k-1
(остался неразобранным случай n=2^k-1);
3) Адамс (1960) доказал через вторичные операции Стинрода / спектральную последовательность Адамса: [ι,ι]≠0 для n=2^k-1, k>3.
3') Атья и Адамс (1964) дали более простое доказательство через K-теорию.
Итог: [ι,ι]=0 <=> n=1,3,7.

II. Для каких n верно [ι,η]=0?
1) Хилтон (1954) доказал через EHP последовательность: [ι,η]=0 при n=4k+3 или n=2,6; [ι,η]≠0 при n=4k или n=4k+1.
(остался неразобранным случай n=4k+2, k>1);
2) Маховальд (1964) доказал через вторичные операции Стинрода: [ι,η]≠0 при n=4k+2, кроме случаев n=2^k-2
(остался неразобранным случай n=2^k-2, k>1)
(На самом деле к этому времени уже было известно, что [ι,η]≠0 при n=4k+2, k>1; но я сходу не нашел точную ссылку. Забытый фольклор?)
3) ... (Тода; Томейер; Кристенсен, Мадсен)
Итог: [ι,η]=0 <=> n=4k+3 или n=2,6.
(Похожая история насчёт итерированных Хопфов:
[ι,η^2]=0 <=> n=4k+2 или n=4k+3 или n=5;
[ι,η^3]=0 <=> n≠4k или n=4,12.
Глубже копать неинтересно, потому что η^4 = 0.
Ссылка: Golasinski, Mukai "Gottlieb groups of spheres",§2 + библиография. Кстати, там опечатка: на самом деле η^3 = 12ν, а не 4ν).

III. Для каких n верно [ι,[ι,ι]]=0?
1) Из тождества Якоби сразу же следует, что [ι,[ι,ι]]=0 при нечётных n. Ещё несложно вычислить, что [ι,[ι,ι]]=0 при n=2.
(остался неразобранным случай n=2k, k≠1)
2) Накаока и Тода (1954) доказали через приведенные степени Стинрода, что [ι,[ι,ι]]≠0 при чётных n≠2*3^k
(остался неразобранным случай n=2*3^k, k≠0)
3) Лиулевичюс (1960) доказал через вторичные приведенные степени Стинрода, что [ι,[ι,ι]]≠0 при n=2k, k≠1.
Итог: [ι,[ι,ι]]=0 <=> n=2k+1 или n=2.
(Глубже копать неинтересно, потому что все скобки длины >3 от ι равны нулю)
—————————————————
IV. (Проблема инварианта Кервера) Для каких n существует оснащённое (4n+2)-мерное многообразие, Арф-инвариант квадратичной формы которого нетривиален?
0) Кервер, Милнор (1963), Маховальд, Тангора (1967), Барратт, Джонс, Маховальд (1984): при n=1,3,7,15 такие многообразия существуют
1) Андерсон, Браун, Петерсон (1966) доказали через хирургию и вычисления в SU-бордизмах: при n=2k такого не бывает
(остался неразобранным случай n=2k+1)
2) Браудер (1969) доказал через хирургию и вычисления в спектральной последовательности Адамса: такое бывает только при n≠2^k-1 такого не бывает
(остался неразобранным случай n=2^k-1, k>4)
3) Хилл, Хопкинс, Рэвенел (2016) вроде как доказали, что при k>6 таких многообразий не существует. При n=31 ответ неизвестен.
Итог: Такое m-мерное многообразие существует <=> m=6,14,30,62(,126?)

Загадка. Есть ли у задач II,III,IV (или хотя бы их частей) изящное решение через K-теорию?

(1/2) Меня смущает следующий момент в центральной предельной теореме. (pun intended)

Пусть ваш знакомый бросил честную монетку миллион раз и спрашивает "Как думаешь, сколько раз выпал орёл? Нужно дать приблизительный ответ простыми словами".

Разумеется, "с очень большой вероятностью — приблизительно пятьсот тысяч раз". Это закон больших чисел.

Можно кое-что к этому добавить. Пусть X — число орлов, как случайная величина. Мы знаем, что распределение X близко к N(500000,500²). Это вдобавок говорит, что средний квадрат отклонения равен 500², то есть надо ответить знакомому "стоит ожидать где-то 499-501 тысяч орлов". Это центральная предельная теорема

Но ведь "отклонение от среднего значения" можно оценить не только сверху, но и снизу. Мат.ожидание величины Y=|X-500000| близко к
1000/sqrt(2*pi)≈400,
и поэтому игрек с большой вероятностью близок к 400.
Поэтому ещё более информативный ответ такой: "орёл выпал примерно 499600 раз, или примерно 500400 раз, но заранее не могу сказать что именно".

(2/2) Парадокс возникает, когда мы придаем этим словам точный смысл. Пусть надо выбрать (2L+1)-элементное множество целых чисел A так, чтобы максимизировать вероятность попадания величины X в A.

С одной стороны, очевидно, что надо брать
A={500000-L, ..., 500000+L}. Жадничаем и забираем точки, где распределение имеет максимальную плотность. Это правильный ответ.

С другой стороны, рассуждения про Y мотивируют взять в качестве A два интервала вокруг пиков "ожидаемого отклонения от среднего значения". Просто потому что "в жизни так и будет": нет смысла ожидать, что ответ совсем близок к мат. ожиданию, когда дисперсия "большая". Но это неправильный ответ.

Где противоречие?

в комментах подсказали: в отличие от X, для Y "эффекта концентрации" нет. Когда мы бросаем N² монеток, X имеет среднее значение ~aN² со средним отклонением ~bN, а Y имеет среднее значение ~cN со средним отклонением ~dN.

Поэтому "концентрация вокруг пиков для Y" визуально неотличима от "концентрации вокруг среднего значения для X". Короче, информация про "499600 или 500400" оказалась лишней.
(Строго про концентрацию можно рассуждать за счёт неравенства Чебышева. Мб посмотрю какие оно даёт картинки, но пока лень)

А ещё вопрос про (2L+1)-элементное множество — это вопрос про моду, а не про мат. ожидание. Отклонение около четырехсот — это среднее значение по больнице, а не типичная ситуация; если тыщу раз провести эксперимент с миллионом монеток, то чаще всего отклонение будет сильно меньше 400, иногда будет сильно больше 400, и в среднем будет четыреста

#картинка

такие классы симплициальных комплексов возникают вокруг теории комплексов Голода. Стрелки = вложения (все — слева направо). В пунктирных стрелках не уверен

Некоторые из этих классов имеют "самодостаточный смысл" (то есть возникают в комбинаторной коммутативной алгебре); некоторые, скорее всего, не имеют. Некоторые классы вообще "морально устарели", скорее всего (были доказаны более мощные теоремы, и потребность в них отпала). Картинку делал для себя, в ней могут быть ошибки

С Е.С.Голодом история такая же, как с Коэном, Маколеем и Горенштейном. В коммутативной гомологической алгебре есть понятия "кольцо Коэна—Маколея", "горенштейново кольцо", "кольцо Голода". Симплициальный комплекс K — комплекс Голода (над полем k), если его кольцо граней k[K] является кольцом Голода.

Вот только "комбинаторный смысл" голодовых комплексов пока неясен. Недавно был получен ответ в случае триангуляций многообразий (Iriye, Kishimoto, 2023): среди таких комплексов голодовы только тугие (tight: такие, что все отображения H_*(K_J;k)- > H_*(K;k) инъективны). В общем случае известно, что тугие комплексы голодовы, но не наоборот. Например, любой тугой комплекс смежностный, то есть содержит все рёбра; не любой голодов комплекс смежностный. На рёбра голодовых комплексов есть только следующее ограничение: они должны образовывать хордовый граф (в любом цикле длины >3 есть диагональ).

В торической топологии голодовость обретает две интерпретации:
1) тривиальность всех произведений Масси (в том числе обычных произведений) в когомологиях соответствующего момент-угол комплекса;
2) свободность алгебры гомологий петель этого момент-угол комплекса.

Первая интерпретация позволила дать много достаточных условий голодовости. Простое соображение: если момент-угол комплекс оказался надстройкой, то произведения Масси обнуляются.

Вторая интерпретация позволяет, наоборот, применить накопленные знания к изучению гомологий петель. Когда-нибудь я этим займусь...

вроде так понятнее

https://arxiv.org/abs/2406.09445
предлагается сладко стянуть & плотно пообедать

In particular, persistent homology analysis provides a set of recipes surrounding the multiscale "holes" in the space of existing recipes. We then propose a method to generate novel ingredient combinations using combinatorial optimization on this topological information. We made biscuits using the novel ingredient combinations, which were confirmed to be acceptable enough by a sensory evaluation study.

Уже постил обзор (почти) текущего положения дел по гипотезе С.П.Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур; скриншот оттуда.

естественный вопрос: а бывают ли вообще конечно порожденные группы, не попавшие в (1)-(10)?

вот такое опубликовали в The American Mathematical Montly в 1942 году: из танграма можно собрать ровно 13 разных выпуклых фигур.

идея доказательства: разбиение квадрата на танграм можно доразбить на 16 треугольников с углами 45/90/45, и составлять выпуклые фигуры из них. Такую фигуру можно считать восьмиугольником с углами по 135 (где некоторые стороны имеют длину 0). Перебор на две страницы показывает, что таких восьмиугольников 20; из них 7 нельзя составить из танграма.

Сами разбиения не нарисованы за недостатком места: похоже, это упражнение для читателя)

Как сделать квазиалгебру Ли из скобок Самельсона? Пока не знаю.

Начнем с определения. Пусть H — топологическая группа, [X,Y] — множество отображений пунктированных топ. пространств с точностью до пунктированной гомотопии.

Возьмём пунктированные отображения f:A->H, g:B->H.
Их можно прокоммутировать в H, то есть рассмотреть
A×B -> H,
(a,b) -> f(a)*g(b)*f(a)^-1* g(b)^-1.
При этом отображении все точки из AvB переходят в нейтральный элемент группы:
имеем f(a0)=e=g(b0) из пунктированности, поэтому
(a0,b) -> e, (a,b0) -> e.

Следовательно, корректно определено
(A×B)/(AvB) -> H.
Пространство слева называется "смэш-произведение" и обозначается AлB. Мы построили отображение множеств
[A,H]×[B,H]->[AлB, H].
Это и есть (обобщенная) скобка Самельсона; я буду её обозначать как (f,g).

Заметим, что [A,H] — группа относительно поточечного умножения в H. Скобка Самельсона обычно не уважает групповые операции, но по крайней мере верно
(f,g)^-1=(g,f),
(f,e)=e=(e,g).