игра слов из свежего обзора по рациональной теории гомотопий (с лёгким прицелом на физику)

Доказывать, что периодические решения "данного вида" существуют, можно из топологических соображений (неудивительно, так как именно топология придаёт строгий смысл понятию "данный вид").

Идея такая: из принципа наименьшего действия по Мопертюи следует, что эволюция системы (в которой все силы потенциальны) соответствует движению точки в конфигурационном пространстве по геодезическим (относительно метрики Якоби, которая зависит от вида потенциала и значения полной энергии). Значит, мы ищем замкнутые геодезические. Интуитивно очевидно: среди замкнутых кривых, которые можно продеформировать в данную гладкую кривую, обычно есть кратчайшая. Если кривая не стягивается в точку, то кратчайшая, наверно, будет замкнутой геодезической. В дифференциальной геометрии / вариационном исчислении этим рассуждениям придаётся строгий смысл при некоторых ограничениях типа компактности.

Если же любая кривая стягивается, то нужны более тонкие топологические факты; здесь как раз помогает рациональная теория гомотопий.

Пуанкаре (1896) применил эти идеи к задаче трех тел. (Для простоты,
1) на плоскости,
2) не для гравитации, а для центральных сил притяжения, убывающих строго быстрее, чем 1/r^2.
В обзоре Монтгомери это называется strong-force potential).

Какое здесь конфигурационное пространство? Изначально это R^6: три точки на плоскости, суммарно шесть координат. Но
1) можно считать, что центр масс покоится;
2) силы притяжения не меняются при повороте и понятно как меняются при гомототетии;
3) мы не рассматриваем случай, когда все три тела сталкиваются в одной точке.

Уберем лишние степени свободы: можно смотреть на три тела как на ориентированный треугольник периметра 1 (возможно, вырожденный) с точностью до поворота. Пространство параметров — двумерная сфера. Случаи Лагранжа и Эйлера отмечены на картинке; ещё три точки на экваторе соответствуют столкновениям тел, и их мы запрещаем (выкидываем из конфигурационного пространства).

Итак, пространство параметров — сфера без трех точек. Его первые гомологии — свободная абелева группа на двух образующих. Получаем много нестягиваемых замкнутых кривых; следовательно, много периодических* решений! (Пространство не компактно, но можно проверить, что проблем не возникает; именно из-за того, что силы притяжения слабее, чем гравитация.) Для закона обратных квадратов те же рассуждения не проходят — не удаётся предотвратить столкновение из общих соображений.

Пуанкаре, конечно, писал не про гомологии, а "назовём тела a,b,c. Зафиксируем целые числа K2, K3. Мы ищем траектории, в которых отрезок ab за период поворачивается на угол ω1, отрезок bc — на угол ω1+2π*K2, отрезок ac — на угол ω1+2π*K3".

*за период система приходит не в исходное положение, а поворачивается на какой-то угол ω1, заранее неизвестный. Но тоже неплохо!

Конечно, первые гомологии — слабый инвариант: негомотопные петли разумнее различать с помощью фундаментальной группы. У сферы с тремя проколами это свободная группа на двух образующих, так что перечисление петель связано со словами из трехбуквенного алфавита (названных в обзоре выше "eclipse sequences", а в статьях ниже — "reduced syzygy sequences").

Рассуждения в духе Пуанкаре дают:
(Монтгомери, 1998) Для strong-force потенциалов каждая нестягиваемая петля свободно гомотопна периодическому решению задачи трёх тел.

Гипотезу, что то же верно и для гравитации, выдвинул Wu-Yi Hsiang в 1995 и доказали Moeckel, Montgomery спустя 20 лет. (В обзоре выше это не отражено: он написан в 2001 году!)

статья с доказательством:
https://arxiv.org/abs/1412.2263
обзор:
https://arxiv.org/abs/1507.07982

анимацию см. на сайте Монтгомери:
https://people.ucsc.edu/~rmont/NbdyB.html

вот листок к сегодняшней лекции

пусть тут тоже будет: зачем-то сделал задачки к рассказу про фрактальную размерность (и по близким темам). для первокурсников, наверно

https://arxiv.org/abs/2401.09891
явные триангуляции CP^n (наконец-то)
#чётамнаархиве

bundles hate this simple trick
пусть дано расслоение E->X со структурной группой G и слоем F ,(скажем, нам известен его склеивающий коцикл); как "увидеть" ассоциированное с ним главное G-расслоение P->X?
(Понятно, что P можно склеить по тому же коциклу, но хочется увидеть объект как бы "цельным")

1. Если у действия G на F есть свободная орбита, то надо просто рассмотреть эту орбиту и соответствующее ей "подрасслоение" в E. Его слой — непрерывный биективный образ G, то мы получим либо искомое главное G-расслоение, либо его "огрубленный вариант" (то же пространство, но с более грубой топологией). Если G компактна хаусдорфова, то огрублять топологию уже некуда, и всё гарантированно работает.

2. Если свободной орбиты нет, то можно взять "прямую сумму" расслоения E с собой ("прямая сумма" E и E' — это предел диаграммы E -> X <- E'). Получится расслоение над X с тем же коциклом и той же структурной группой, но слой теперь F×F, а стабилизатор точки (f1,f2) — это пересечение стабилизаторов. Есть шанс, что пересечение каких-то двух стабилизаторов тривиально; тогда найдется свободная орбита.

3. В общем случае надо взять пулбэк бесконечно много раз (по разу для каждой орбиты); в таком произведении слоев найдется точка, стабилизатор которой — это пересечение всех стабилизаторов исходного действия. А оно тривиально, если исходное действие было эффективно!

(если исходное действие не эффективно, то можно уменьшить его структурную группу, отфакторизовав по ядру неэффективности
{g из G: g.f=f для всех f из F})

4. Если проделать эту процедуру для векторных расслоений (F=R^n, G=GL(n) или, для удобства, O(n)), то получится в точности расслоение реперов как подмножество в прямой сумме n копий исходного расслоения. "Точка со свободной орбитой" — это набор из n векторов (e1,..,en); пересечение их стабилизаторов при действии GL(n) на R^n тривиально.