ещё немного алгебраической теории гомотопий. Какая структура есть на гомотопических группах односвязного топологического пространства X,
L= ⨁_n L_n,
L_n := π‎_{n+1}(X) = π‎_n(ΩX)?

1. Совсем простая часть: структура квази-алгебры Ли относительно скобки Уайтхеда [-,-]: L_n x L_m -> L_{n+m}.
То есть, [-,-] билинейна, градуированно-кососимметрична в том смысле, что
[a,b] + (-1)^{deg(a)deg(b)}[b,a]=0,
и удовлетворяет тождеству Якоби (тоже со знаками).
В отличии от обычной алгебры Ли, здесь отсутствует тождество [a,a]=0.

2. Чуть поинтереснее: если считать известными гомотопические группы сфер, а также всевозможные скобки Уайтхеда и инварианты Джеймса-Хопфа и Хилтона-Хопфа от этих элементов, то на L возникает структура (односвязной) П-алгебры. А именно, определено композиционное умножение с элементами гомотопических групп сфер,
L_n x π‎_{N+1}(S^{n+1}) -> L_N, a x f -> a∘f
(по отображению S^{n+1} -> X и отображению S^{N+1} -> S^{n+1} строится отображение S^{N+1} -> X).
Эта штука линейна по правому аргументу и уважает скобку Уайтхеда:
a∘(f+g)=a∘f + a∘g, [a∘f,a∘g] = a∘[f,g].
Кроме того, выражения вида (a+b)∘f и [a,b∘f] раскрываются сложнее, с помощью инвариантов Хопфа от f. См. детали в файле ниже.
———————
Так как гомотопические группы сфер — штука необъятная, хочется оставить от структуры П-алгебры какую-нибудь совсем маленькую часть. Например, брать композицию только с элементом Хопфа η:S^3->S^2 и с его надстройками η:S^{N+1} -> S^N. Обозначим такую композицию как h(a):=a∘η. Какие тут есть свойства?

0) h(-): L_n -> L_{n+1} — корректно определённая функция.

1) если |a|>1, то имеем
h(a+a')=h(a)+h(a'),
[b,h(a)]=h([b,a]),
2h(a)=0.
(то есть: если сесть на L_>1, то получается довольно приятная линейная операция, бьющая из L_>1 в 2-кручение и удовлетворяющая тождеству h([-,-])=[-,h(-)].)

1') Если |a|=1, то имеем
h(a+a')=h(a)+h(a')+[a,a'],
[b,h(a)]=h([b,a])+[[b,a],a],
2h(a)=0+[a,a].
(какая-то "метастабильная деформация" описанного выше.)

Это были "алгебраические" свойства. А теперь более дурацкие "гомотопические":
2) если |a|>1, то имеем:
h(h(h(a))) делится на 2,
h(h(h(h(a))))=0.
Более того: если |a|>2, то h(h(h(a))) делится на 4.
(при этом даже понятно, композициями с какими элементами являются эти "частные"; можно посчитать от этих элементов инварианты Хопфа, и получить ещё больше тождеств; я их не вычислял, но наверняка они неочевидные)

2') если |a|=1, то имеем:
h(h(h(h(a)))) делится на 2,
h(h(h(h(h(a)))))=0.

3) при некоторых условиях на |a| и k=1,2,3 зануляются элементы [a,h^k(a)].

"Речевое общение обладает, хотя и по-своему, свойствами, характеризующими всякую кооперативную деятельность"
https://telegra.ph/Logika-i-rechevoe-obshchenie-05-23

H. P. Grice, Logic and Conversation — то немногое, что я вынес из лекций по русскому языку и культуре речи. Это совсем не про математику, но тоже близкий мне морализаторский текст.

Ещё, хочется ведь уметь ярко и ясно выражаться; по этому тексту можно составить чеклист "часто совершаемых ошибок", и список критериев. Хотя не затрагивается вопрос "яркости", то есть искусство рассказывать интересные истории (а без этого никуда).

А математика тут всё-таки по делу — как ещё одна крайне кооперативная деятельность, в которой важно рассказывать интересные истории и качественно излагать свои мысли (reader-friendly). Что перекликается с предыдущими двумя текстами. У меня нет чёткого понимания, какие именно свойства естественного языка особенно ярко проявляются при написании математических текстов, в докладах — но чувствуется, что это происходит красивым образом.

помните её? это она сейчас
https://www.mathnet.ru/rus/rm5865

#мехмат_студентам #летняя_школа

Механико-математический факультет МГУ и Московский центр фундаментальной и прикладной математики проводят летнюю студенческую школу по топологии. Тема Школы - К-теория, характеристические классы, кобордизмы. Согласие провести циклы лекций и отдельные лекции по этим и смежным темам выразили И. А. Тайманов, Д. О. Орлов, А. И. Шафаревич, Г. И. Шарыгин, А. Ю. Савин, Ф. Ю. Попеленский. Большая часть лекций будет доступна студентам 3-4 курса.

Школа будет проходить на мехмате МГУ со 2 по 5 июля 2025 года.

Для участия в Школе нужно заполнить форму.

Телеграм-канал Школы.

Сайт Школы.

мы должны распространять этот текст

для удобства распространения:
https://telegra.ph/Iyul-1998----teper-v-otkrytom-dostupe-05-27
"...Общая же идея состояла в том, что всякая коммуникация происходит как бы одновременно на нескольких уровнях и нескольких языках. В пределе, у текста есть язык смысла слов и фраз, с одной стороны, и знаков препинания и опечаток, с другой. В раю доминирует первый, в аду -- второй.
Вообще, честная коммуникация отличается от бесчестной тем, что в честной разные языки и уровни передают некие согласующиеся между собой смыслы, в то время как в бесчестной -- противоречащие один другому и несовместные."

"[John Henry Whitehead] challenged his colleagues to improve upon a well known palindrome:

Step on no pets.

Hilton responded two days later with a great palindrome that did not see the light of day until 1973, and even then anonymously:

Sex at noon taxes.

That set off a maniacal competition that ended with Hilton's triumph. Because of wartime secrecy and the death of most of the principals, though, the other entries (and entrants) have been lost."

https://www.visualthesaurus.com/cm/wc/the-palindrome-game-of-the-enigma-codebreakers/

кошмар верстальщика: Short communications of ICM 1994

Прошли лекции памяти Шафаревича (А.Ю.Окуньков — "Теория пересечений на пересечении теорий")

Очень красиво, что в этой глубокой математике речь идёт "всё ещё" о соответствии между двумя способами смотреть на кривые в многообразии: их можно
(1) задавать параметрически (-> пространство модулей стабильных отображений, струны, теория Громова—Виттена)
(2) задавать уравнениями (-> схема Гильберта, калибровки, теория Дональдсона—Томаса)

Типа, основная гипотеза близка к мысли, что "эти двойственные точки зрения дают одинаковые ответы на вопросы исчислительной геометрии". (Хотя формулируется так, что мы сравниваем классы в Aut(X)-эквивариантной K-теории схемы Чжоу многообразия X. И это всё-таки как-то связано с трехмерной зеркальной симметрией и с двойственностью Ленглендса.)

Собрал какие-то ссылки на статьи, не факт что удачная подборка:

Для краткого знакомства наверно подойдут первые страницы статьи, в которой доказан частный случай гипотезы
https://arxiv.org/abs/0809.3976

Обзорные лекции семилетней давности
https://arxiv.org/abs/1802.00779

Статья, в которой наверно больше про физический смысл
https://arxiv.org/abs/1404.2323

Гипотеза изначально сформулирована в
https://arxiv.org/abs/math/0312059
https://arxiv.org/abs/math/0406092

Наверно, одно из последних продвижений по этому вопросу
https://arxiv.org/abs/2308.02948

https://arxiv.org/abs/0810.5691
"...It appears that many important mathematical objects (including counterexamples) are unreasonably nice, beautiful and elegant. They tend to have (many) more (nice) properties and extra bits of structure than one would a priori expect. The question is why this happens and whether this can be understood*.

*There is of course the “anthropomorphic principle” answer, much like the question of the existence of (intelligent) life in this universe. It goes something like this. If these objects weren’t nice and regular we would not be able to understand and describe them; we can see/understand only the elegant and beautiful ones. I do not consider this answer good enough though there is something in it. So the search is also on for ugly brutes of mathematical objects.
Also this anthropomorphic argument raises the subsidiary question of why we can only understand/describe beautiful/regular things. There are aspects of (Kolmogorov) complexity and information theory involved here."