футурологическое предсказание (Dusa McDuff, 1975 — то есть 50 лет назад)

сбылось?

>как дела

фальшивое объяснение: элементом Хопфа мы привыкли называть расслоение
U(1) -> S^3 -> S^2=CP^1;
его "вещественные точки" это
SO(1) -> S^1 -> S^1=RP^1,
то есть возведение в квадрат для группы Ли S^1. Если смотреть чуть алгебраичней, это
C^× -> C^2\0 -> CP^1,
R^× -> R^2\0 -> RP^1.
почему это фальшивка — упражнение.
настоящего объяснения не будет потому что я не понимаю, почему возведение в квадрат это композиция с элементом Хопфа
————————————————
Кстати, в мотивной теории гомотопий есть два элемента Хопфа.

Напомним, что сферы там биградуированные (я использую соглашение из обзора Isaksen, Ostvaer): S^{1,0} — это топологическая окружность, S^{1,1} = G_m = A^1\{0} — это проколотая алгебраическая прямая, и из их смэш-произведений набегают всякие разные S^{p,q}. Смысл: вещественная геометрическая реализация — это S^{p-q}, комплексная — это S^p. Например, S^{2,1} ("надстройка над проколотой прямой") гомотопически эквивалентна P^1. Значит, и гомотопические группы тоже биградуированы.

Теперь у нас два элемента Хопфа:
(1) топологический η_top: S^3 -> S^2, который теперь имеет вид S^{3,0} -> S^{2,0} и стабилизируется до элемента в стабильной мотивной гомотопической группе π_{1,0}^s;
(2) алгебраический η: A^2\{0} -> P^1, то есть S^{3,2} -> S^{2,1}, который стабилизируется до элемента в π_{1,1}^s.

В классических стабильных гомотопических группах сфер есть элемент ν:S^7->S^4 (кватернионное расслоение Хопфа) и его стабилизация в π_3^s. И есть соотношения:
24ν=0, 12ν=η∘η∘η.
Их можно объяснить геометрически через конструкцию Понтрягина—Тома и K3-поверхности (наблюдение Атьи), см. https://mathoverflow.net/a/218053 и возможно также https://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry , https://mathoverflow.net/questions/218283/is-there-an-octonionic-analog-of-the-k3-surface-with-implications-for-stable-ho

Как строится его мотивный аналог ν∈π_{3,2}^s я не знаю, но наверно можно угадать. Там тождества такие:
24ν=0, 12ν=η∘η∘η_top.
Было бы здорово проследить за рассуждениями с mathoverflow и понять, почему/правда ли из этих трёх Хопфов двое — алгебраические, а третий — топологический. Это, возможно, первый пример, когда мотивная наука даёт не только новую информацию о классической теории гомотопий (в формальном смысле), но и какое-то "новое понимание"/"новое сакральное знание", как бы "уточняя имеющиеся истины"

Ioan James (23 May 1928 — 21 Feb 2025)

Charles W. Rezk:
Hello all.
It’s just been brought to my attention that Ioan James passed away a few months ago, on Feb 21.

jim stasheff:
Sad To hear I was thinking about him recently he was one of in fact the final supervisor for my Oxford thesis why wasn't it broadcast more generally sooner
<...>
Ioan was my last advisor at Oxford and we Several visits either at 10:00 or AMS meetings or back in Oxford. I don't remember the cocktails but I do remember many delicious meals out in the countryside Ioan knew the best

The Clowder Project: a Stacks Project for category theory

Dear all,

I'd like to announce the Clowder Project, https://www.clowderproject.com/ .

It is built upon the same model as the Stacks Project: Tag-based and massive-collaborative. Its aim is to eventually form a comprehensive reference work and online wiki for category theory.

There is a lot more content written (>5000 pages) than is currently available online, as I'm in the process of converting the source material into Gerby-compatible HTML.

Along with more foundational material on category theory at large, I'm also hoping to cover subjects relevant to homotopy theory, including model categories, homotopy co/limits, models for ∞-category theory such as quasicategories and complete Segal spaces,as well as "synthetic" approaches to ∞-categories like ∞-cosmoi or simplicial HoTT, higher algebra, etc. In this way, I envision the project as a useful complement to Kerodon.

Comments are very welcome!
Emily de Oliveira Santos

любопытное свойство категории абелевых групп: скобки и единички сокращаются

выше — вольный перевод эссе
Oded Goldreich "On our duties as scientists (a personal version)" от 14 марта 2004, доступного где-то на страничке https://www.wisdom.weizmann.ac.il/~/oded/essays.html Хороший текст, но не супердоступный (потому что оригинал выложен в формате .ps), захотел это исправить. Курсив авторский, жирный шрифт мой

TLDR: https://www.bible.com/ru/bible/201/LUK.12.48.RSP

"На самом деле наш продукт — человеческое понимание"
https://telegra.ph/O-dokazatelstvah-i-razvitii-matematiki-Sections-56-05-17

On proof and progress in mathematics — второй "экологический" текст, который должен входить в образовательную программу любого математического факультета. (Например, на парах по английскому можно проходить — лексика местами красочная, в моём переводе уж точно теряется). А лучше читайте в оригинале: https://arxiv.org/abs/math/9404236

ещё немного алгебраической теории гомотопий. Какая структура есть на гомотопических группах односвязного топологического пространства X,
L= ⨁_n L_n,
L_n := π‎_{n+1}(X) = π‎_n(ΩX)?

1. Совсем простая часть: структура квази-алгебры Ли относительно скобки Уайтхеда [-,-]: L_n x L_m -> L_{n+m}.
То есть, [-,-] билинейна, градуированно-кососимметрична в том смысле, что
[a,b] + (-1)^{deg(a)deg(b)}[b,a]=0,
и удовлетворяет тождеству Якоби (тоже со знаками).
В отличии от обычной алгебры Ли, здесь отсутствует тождество [a,a]=0.

2. Чуть поинтереснее: если считать известными гомотопические группы сфер, а также всевозможные скобки Уайтхеда и инварианты Джеймса-Хопфа и Хилтона-Хопфа от этих элементов, то на L возникает структура (односвязной) П-алгебры. А именно, определено композиционное умножение с элементами гомотопических групп сфер,
L_n x π‎_{N+1}(S^{n+1}) -> L_N, a x f -> a∘f
(по отображению S^{n+1} -> X и отображению S^{N+1} -> S^{n+1} строится отображение S^{N+1} -> X).
Эта штука линейна по правому аргументу и уважает скобку Уайтхеда:
a∘(f+g)=a∘f + a∘g, [a∘f,a∘g] = a∘[f,g].
Кроме того, выражения вида (a+b)∘f и [a,b∘f] раскрываются сложнее, с помощью инвариантов Хопфа от f. См. детали в файле ниже.
———————
Так как гомотопические группы сфер — штука необъятная, хочется оставить от структуры П-алгебры какую-нибудь совсем маленькую часть. Например, брать композицию только с элементом Хопфа η:S^3->S^2 и с его надстройками η:S^{N+1} -> S^N. Обозначим такую композицию как h(a):=a∘η. Какие тут есть свойства?

0) h(-): L_n -> L_{n+1} — корректно определённая функция.

1) если |a|>1, то имеем
h(a+a')=h(a)+h(a'),
[b,h(a)]=h([b,a]),
2h(a)=0.
(то есть: если сесть на L_>1, то получается довольно приятная линейная операция, бьющая из L_>1 в 2-кручение и удовлетворяющая тождеству h([-,-])=[-,h(-)].)

1') Если |a|=1, то имеем
h(a+a')=h(a)+h(a')+[a,a'],
[b,h(a)]=h([b,a])+[[b,a],a],
2h(a)=0+[a,a].
(какая-то "метастабильная деформация" описанного выше.)

Это были "алгебраические" свойства. А теперь более дурацкие "гомотопические":
2) если |a|>1, то имеем:
h(h(h(a))) делится на 2,
h(h(h(h(a))))=0.
Более того: если |a|>2, то h(h(h(a))) делится на 4.
(при этом даже понятно, композициями с какими элементами являются эти "частные"; можно посчитать от этих элементов инварианты Хопфа, и получить ещё больше тождеств; я их не вычислял, но наверняка они неочевидные)

2') если |a|=1, то имеем:
h(h(h(h(a)))) делится на 2,
h(h(h(h(h(a)))))=0.

3) при некоторых условиях на |a| и k=1,2,3 зануляются элементы [a,h^k(a)].