А вообще я (не очень активно) разбираю результаты о конфигурационных пространствах частиц с метками.

А именно: пусть A⊆X — пара топологических пространств, Y — топологическое пространство с отмеченной точкой *. По ним строится новое пространство C(X,A;Y); его точки — "конечные наборы неразличимых частиц на (X,A) с метками из (Y,*)".

Например, если Y = R с отмеченной точкой 0, то можно себе представлять это так. По пространству X бегает конечное число точек. Внешне они неразличимы, но у каждой точки есть электрический заряд. Никакие две частицы не совпадают. Если заряд точки нулевой, то можно считать что её не существует. Если частица заехала в A, то можно считать что она перестала существовать. (И наоборот: можно представить что частица с нулевым зарядом родилась и плавно набрала заряд, или что частица с произвольным зарядом вдруг выбежала из A и "начала существовать"; это я описываю какие бывают пути на C(X,A;Y))

Что такое "близкие наборы" — вроде бы понятно: надо чтоб точки недалеко разбежались и чтобы заряды мало изменились; точка с маленьким по модулю зарядом близка к несуществующей. Получается, мы можем ввести топологию на конфигурационном пространстве такой системы? Ответ: нет, данных пока недостаточно))0)

Само множество состояний описать легко: в любой момент времени мы видим k≥0 попарно несовпадающих частиц, находящихся в X\A; у каждой из них есть заряд из R\{0}. То есть это непересекающееся объединение, по всем k≥0, множеств
[F_k(X\A) x (R\{0})^k ] / S_k
(факторизуем по действию симметрической группы, так как частицы неразличимы).

Но когда две частицы приближаются друг к другу, можно требовать разного:
(вариант 1): частицам совсем запрещено сталкиваться;
(вариант 2): любым двум частицам можно сталкиваться; при столкновении они сливаются в одну частицу, заряды складываются;
(вариант 3): если заряды частиц разных знаков — им нельзя сталкиваться; если одного знака — им можно сталкиваться как в случае (2).

В зависимости от этого выбора получается разное топологическое пространство С(X,A;R)! (Наверно, в следующем посте я их опишу, но пока можете сами придумать, как их построить)

Формально:
в первом случае вместо R можно взять любое топологическое пространство с отмеченной точкой;
во втором — любой коммутативный топологический моноид;
в третьем — любой коммутативный топологический частичный моноид (то есть на этом пространстве есть коммутативное ассоциативное непрерывное сложение с нейтральным элементом, но оно не везде определено. в нашем примере два числа разрешено складывать, если они одного знака). Первый случай -- это случай тривиального частичного моноида (два числа разрешено складывать, только если одно из них равно нулю; конечно, это коммутативная ассоциативная операция.)

https://arxiv.org/abs/2504.00224
D. Minahan and A. Putman.
Presentations of representations ("Копредставления представлений")

Пример: для натурального n рассмотрим векторное пространство Q_n над Q, которое мы задаём образующими и соотношениями:
(1) Рассмотрим бесконечномерное векторное пространство M над Q, базис которого состоит из формальных символов [v] для каждого примитивного вектора v решётки Zⁿ;
(вектор примитивный <=> его можно дополнить до базиса Zⁿ <=> НОД его координат равен единице)
(2) если пару примитивных векторов v,w можно дополнить до базиса Zⁿ (отсюда следует, что v+w примитивный), то наложим соотношение [v]+[w]=[v+w].

(понятно, что вместо Q можно было взять любое другое кольцо, но там менее понятно что получится)

Теорема A: Q_n=span([e1],...,[en])=Qⁿ при n>1.
(Но: Q_1 = span([e1],[-e1])=Q².)
———————-
О чём это на самом деле: мы изучаем тавтологическое действие группы G=SL_n(Z) на Qⁿ, то есть Qⁿ — это SL_n(Z)-модуль.
Конструкция выше представляет его в виде фактормодуля Q_n=M/R, где M большой, зато SL_n(Z) переставляет его базис (то есть M — "понятный" (проективный?) Q[SL_n(Z)]-модуль).
———————--
В той же статье доказан ряд аналогов этой теоремы. Например, пусть H=(Q^2g,ω) — стандартное симплектическое векторное пространство; это тавтологическое представление группы G=Sp_2g(Z). Тогда G действует на пространстве S = Ker(ω:H∧H->Q) ("симплектическом ядре").
Теорема E: при g>1 векторное пространство S можно представить в виде факторпространства вот так:
(1) Q-порождающие [(v1,v2)] соответствуют парам примитивных векторов v1,v2 в Z^2g таких, что ω(v1,v2)=0;
соотношения накладываем такие:
(2) [(v1,v2)]+[(v2,v1)]=0;
(3) Если пару примитивных векторов w1,w2 можно дополнить до базиса решетки {w∈Z^2g: ω(v,w)=0}, то [(v,w1+w2)]=[(v,w1)]+[(v,w2)].

На факторизуемом пространстве опять действует G, то есть мы представили S в качестве фактормодуля.

И ещё несколько таких "заданий образующими и соотношениями": для действия SL_n(Z) на sl_n(Q); для действия Sp_2g(Z) на H, на Sym²(Λ²(H)/Q), на ядре некоторого отображения (Λ²(Λ²(H)/Q)->Sym²(H)). Неясно, стоит ли за ними какая-то общая теорема. (Статья на 108 страниц)

Вот это
https://www.astralcodexten.com/p/the-colors-of-her-coat

каналу пять лет

спасибо за поддержку) я не исправлюсь

почему требуется, чтобы топологический моноид был коммутативным?

потому что: если две неразличимые частицы сталкиваются (например, на плоскости), то непонятно, какая "первая", а какая "вторая", то есть непонятно в каком порядке перемножать метки. Мы спасены, если ответ не зависит от порядка.

Но: если X — подмножество прямой, то при столкновении есть "левая" и "правая" частица. Значит, для таких X пространство C(X,A;M) определено и для некоммутативных моноидов.

Вот только как его построить?
Я пока не разбирался; видимо, нужно вместо X^k взять какую-то другую компактификацию пространства F_k(X), наверняка простейший случай компактификации Фултона-Макферсона, "запоминающей направления при столкновениях", или что-то вроде. Например, F_2(R)={(x,y):x≠y} надо замкнуть не до плоскости R^2, а до её раздутия вдоль диагонали (это несвязное объединение {x≤y} и {x≥y}; в нем содержится два типа "совпавших частиц": такая, что икс "слева", и такая что икс "справа". нестандартные гусары, молчать!)
А в общем случае берём несвязное объединение k! копий пространства {(x1,...,xk)∈X^k: x1≤x2≤...≤xk}, которое понятно как отображается на X^k.

кстати, на самом деле нет компактификации Фултона-Макферсона, не учитывающей гладкую структуру (но на прямой всё хорошо, так что живём)

Сейчас "аналитической геометрией" называют геометрию комплексных многообразий и комплексно-дифференцируемых отображений между ними (такие отображения автоматически комплексно-аналитические, отсюда и название). Вполне логично.

Раньше то же словосочетание означало метод декартовых координат, сведение геометрии к алгебре. Терминология, как видно, абсурдная. (Хотя и сохранилась в названии соответствующей учебной дисциплины во многих вузах; надеюсь она окончательно умрёт. Да, в курсах ангема рассматривают не только алгебраические кривые и поверхности, но таковые надо рассматривать в курсе анализа, а этот курс должен быть введением именно в проективную/алгебраическую геометрию.)
——————————-
Сейчас "алгебраическим анализом" называют применение теории пучков (в комплексно-аналитическом контексте) к системам линейных урчпов (Микио Сато, недавний абелевский лауреат Масаки Кашивара, Пьер Сапира, D-модули, какие-то такие слова... я надеюсь когда-нибудь с этим разобраться, да и книжку Виноградова прочитать, и сопоставить, но в сутках 24 часа, а не больше.)

Оказывается, учебник Коши "Курс анализа" (Cours d'analyse) 1821 года по сути имеет подзаголовок "Алгебраический анализ" (Analyse algebrique). (Пишут: планировалось, что это первая часть двухтомника, а во втором томе будут основания, но их перестали преподавать в Ecole Polytechnique, когда вместо Ампера вторым лектором по анализу стал Навье.)

Можно почитать его по-английски с комментариями:
http://users.uoa.gr/~spapast/TomeasDidaktikhs/Caychy/CauchyCoursdAnalyseAnAnnotatedTranslationSourcesandStudiesintheHistoryofMathematicsandPhysicalSciences.pdf

Интересные обозначения и пассажи:
Коши пишет ((a))^1/2 или √√a, имея в виду ±√a; аналогично, например, arc tang((a)) — это многозначный арктангенс, и ((a))^m/n — это n-значное возведение в степень.

"Как обычно, произведение величин +a и +b мы обозначаем через +a x +b или просто a.b или ab".

Помимо синуса, косинуса, тангенса, секанса (1/sin), косеканса (1/cos), ещё используется версинус (sinus verse) siv(x):=1-cos(x) и веркосинус.

Определение непрерывности:
"функция f(x) непрерывно зависит от x в данном промежутке если, в данном промежутке, бесконечно малое изменение переменной всегда влечёт бесконечно малое изменение самой функции" (возможно, взято у Больцано).
Не совсем как у нас. Но доказательства каких-то теорем (например: если f(x+1)-f(x) стремится к k при x->+inf, то f(x)/x стремится туда же) написаны так же, как мы написали бы сейчас: возникает сколь угодно малое число эпсилон, большое число h такое, что |f(x+1)-f(x) - k|<eps при x>h...

(зачем-то) изучаются непрерывные решения функциональных уравнений, например Коши целиком решает фур
ф(y+x)+ф(y-x)=2ф(y)ф(х) (ответ: cos(ax) или (A^x+A^-x)/2).

Замечания называются не Remark (или как это по-французски), а Scholium.
—————-
TLDR: во времена Декарта идея писать параболу как y=x^2 считалась "аналитической" геометрией, а во времена Коши использовать эпсилон-дельта формализм для пределов считался "алгебраическим" анализом. Хотя эпсилон-дельта формализма в его книжке, вроде, нет (или он проговаривается словами)

в этих терминах строятся и классифицирующие пространства.

а именно (для топологической группы G):
EG:=C([0,1],{0};G),
BG:=C([0,1],{0,1};G).

EG = частицы с метками из G бегают по отрезку, перемножаются при столкновениях или наоборот разваливаются с сохранением порядка, умирают попадая в ноль. Всегда можно считать что в точке 1 стоит частица (если её нет — ставим туда частицу с меткой e). Тогда G действует на метке этой частицы.

BG = то же, но если забегаешь в единицу то тоже пропадаешь.

А ещё EG стягиваемо: я просто все частицы заставляю идти в ноль и умирать. Поэтому получается главное G-расслоение EG->BG со стягиваемым слоем, чего мы и хотели. (Кстати, не помню, была ли стягиваемость в исходной конструкции Милнора? тривиальность гомотопических групп он, конечно, проверил, и этого достаточно, но приятно когда гомотопическая эквивалентность точке — явная.)

Для (частичного) моноида можно определить пространство BM по той же формуле,
BM:=C([0,1],{0,1};M).

Конечный набор одинаковых различных точек на отрезке — это, конечно, точка на симплексе, так что эта конструкция совпадает с "симплициальной" конструкцией классифицирующего пространства (пишут что по Милгрэму-Стинроду)

вот кстати факт, строгое доказательство которого я пока не нашел* в литературе. (Нашёл только в случае тривиального частичного моноида: тогда это что-то вроде конструкции Джеймса). Пусть Y — связный топологический частичный моноид.

Чем отличаются частицы на свободе от частиц в тюрьме?

Свобода: C(R,∅;Y), гуляем по прямой, краёв у неё нет. (С тем же успехом можно рассматривать C((0,1),∅;Y), конечно.)

Тюрьма: C([0,1],{0,1};Y)=:BY. ("B" от слова "Бутырка"). За попытку побега — расстрел.

Теоретико-множественно эти топологические пространства совпадают. А с точки зрения теории гомотопий?

Утверждается: если Y связно, то Ω‎C([0,1],{0,1};Y)≈C(R,∅;Y).

(в тюрьме так хочется на волю что хоть в петлю лезь)

*Доказательство написано в диссертации Добринской (которую в интернете я не нашёл), и должно проходить по той же схеме, что и "тривиальный" случай (написанный у Сигала)

Немного разобрался, перескажу безумный аргумент Сигала (написанный для тривиальных частичных моноидов; на абелевы частичные моноиды один из переходов прям дословно не обобщается, но верится что это можно починить). Пусть X — абелев частичный моноид. Обозначим C_1(X) := C(R,∅;X); мы хотим доказать, что Ω‎BX≈C_1(X).

Шаг 1: (сведение к классифицирующим пространствам)
На пространстве C_1(X) есть структура абелева частичного моноида: поточечное умножение меток у частиц (если это возможно).
Каждая конфигурация c ∈ C_1(X) имеет носитель supp c ⊆ R (это положения всех частиц с нетривиальными метками).

С другой стороны, введём топологический моноид С'_1(X) по следующей формуле:
как пространство,
C'_1(X) := {(c,t) ∈ C_1(X) x R: t ≥ 0, supp c ⊆ (0,t)};
умножение выглядит как конкатенация конфигураций, то есть
(c,t) * (c',t') = (c ⊔ shift_t(c'), t+t')
(где shift_t — это сдвиг вправо на t).

Это связный топологический моноид, поэтому есть распетливание: имеем ΩBC'_1(X) ≈ C'_1(X).

Факт: топологические пространства C_1(X) и C'_1(X) гомотопически эквивалентны.

Поэтому нам осталось доказать, что BX≈B(C'_1(X)).
————————————
Шаг 2: (сведение к морфизму классифицирующих пространств)
рассмотрим в C'_1(X) подмножество C''_1(X) таких пар (c,t), что c состоит из ≤1 частицы. Это подмножество в C'_1(X), поэтому C''_1(X) становится частичным моноидом. (Если X — тривиальный частичный моноид, то умножение там тоже тривиальное, а в общем случае надо что-то исправлять: формально, умножение на C''_1(X) тоже будет дурацким. Возможно, если заменить (0,t) на [0,t], то получится что-то более разумное.)

Естественная проекция C''_1(X) -> X — гомотопическая эквивалентность, которая "грубо говоря, уважает" структуру частичного умножения, поэтому B(C''_1(X))≈BX. (Это тот самый шаг, который надо модифицировать в случае нетривиального частичного моноида)

Осталось доказать, что вложение C'' -> C' индуцирует гомотопическую эквивалентность B(C'') -> B(C').
—————————————————
Шаг 3: (сведение к морфизму топологических категорий)
сопоставим частичному моноиду X вспомогательную категорию CC(X). Множество объектов: Ob CC(X) := X; это топологическое пространство. Множество морфизмов между объектами x и x':
Hom(x,x') := {(x1,x2)∈ X x X: произведение x1*x*x2 определено и равно x'}; это тоже топологическое пространство. Композиции морфизмов — ясно какие, это непрерывные отображения. То есть CC(X) — топологическая категория.

Лемма: её геометрическая реализация |CC(X)| (что бы это ни значило) гомотопически эквивалентна BX. Поэтому осталось доказать, что|CC(C'')|->|CC(C')| — гомотопическая эквивалентность.
—————————————-
Шаг 4: (сведение к морфизму топологических чумов)
я передумал, давайте лучше рассмотрим два топологических пространства с порядком, и индуцированные структуры топологической категории.
Q — это множество всех троек (c,u,v), u,v∈R, u≤v, c∈C_1(X) таких, что supp c ⊆ [u,v].
(Структура порядка: (c,u,v) не превосходит (c',u',v') если [u,v]⊆[u',v'], а c получается из c' убиванием всех частиц, не попавших в [u,v].)
P — это его подмножество таких (c,u,v), что в конфигурации не более одной частицы.

Лемма: естественное отображение Q->CC(C') и его ограничение P->CC(C'') — гомотопические эквивалентности.
——————————
Шаг 5: осталось доказать, что вложение |P|->|Q| — гомотопическая эквивалентность. "Неформально это верно потому, что P ко-инициально в Q: для любой конфигурации q∈Q множество таких p∈P, что p≤q, непусто и направленно; но используются ещё некоторые дополнительные условия". Строгое рассуждение я не разобрал (не понял, откуда берётся некоторый аналог "разбиения единицы"), но как будто оно близко к доказательству теоремы о нерве; при этом зачем-то использует пространство "конфигураций, близких к одноточечным" вместо одноточечных

"An R-local Milnor-Moore theorem" (Anick, 1989). Здесь rho — натуральное число (не знаю, работает ли для rho=2,3; нас интересует случай rho>>0)

Пусть теперь в H_*(ΩX;Z) есть кручение только по модулю конечного числа простых, и вдобавок верно: существует N такое, что для любого кольца k алгебра H_*(ΩX;k) порождена элементами степени <N.

По теореме, при p>>0 верно: алгебра H_*(ΩX;Z_(p)) порождена образом гомоморфизма Гуревича.

Дальше из теоремы Хилтона—Серра—Бауэса (см. Anick "Single loop space decompositions", 1992) можно вывести, что после локализации в таком p пространство ΩX разваливается в произведение сфер и петель на сферах. То есть при p>>0 верно: p-примарная часть гомотопических групп таких пространств определяется их гомологиями петель.

Вот только нельзя гарантировать ни условие "кручение есть только по модулю конечного числа простых", ни условие "гомологии петель мультипликативно порождаются ограниченным числом градуированных компонент". Даже если X конечное односвязное www.group-telegram.com/sweet_homotopy.com/2016

теперь становится ясно, почему Адамс занимал кафедру астрономии и геометрии

задачка) (условие про отсутствие p-кручения, кажется, лишнее, а конечная порожденность по делу)

P.S. символом Z_p обозначено кольцо Z/pZ, а символом Z_(p) — подкольцо в Q дробей, знаменатель которых не делится на p

"...One of the things that I find is a great lesson: We know what these ideas grew into, and I’ll be talking about that more, but they grew into all this stuff you’ve heard about today. All these structures are still with us, in fancier and fancier forms. We’ve heard about different Ext groups. We’ve heard about topological modular forms and topological automorphic forms, and all these things came out of people riffing on this circle of ideas. What was it that these guys thought was the important thing that they did? They thought the important thing they did was establishing the nontriviality of the γ-family. To us, that doesn’t seem nearly like the most interesting part of it. I’m harping on this because it is a real lesson about doing mathematics, and about the evolution of mathematics. This is three brilliant mathematicians narrowly focused on a good question, and they answered it in this amazing way. When you are trying to come up with problems for yourself, for your own research, just remember that: break off concrete and real questions. Take this as a guide. Look at all that amazing stuff that came out of this circle of ideas."

Вернёмся чуть-чуть к конфигурационным пространствам без меток. Нашёл, к счастью, обозначение, которое не будет конфликтовать с нашими С(X,A;Y):

Conf(X,n) := {(x1,...,xn)∈X^n: xi≠xj, если i≠j} — пространство всех вложений множества {1,...,n} в X;
UConf(X,n) := Conf_n(X) / S_n — пространство всех n-элементных подмножеств в X.

(в терминах конфигураций с метками: C(X,∅;S^0), где S^0 с тривиальной структурой частичного моноида, распадается в несвязное объединение UConf(X,0), UConf(X,1), ...).

Conf(R,n) состоит из n! одинаковых стягиваемых частей, которые переставляются S_n, поэтому UConf(R,n) стягиваемо (линейно двигаем произвольные n точек на прямой в точки 1,2,3,..n).

Conf(R^k,n) связано с операдой e_k, потому что набор точек на плоскости — это почти что набор непересекающихся маленьких дисков в единичном диске, а диски можно друг в друга подставлять...

Особенная шумиха вокруг (U)Сonf(R^2,n), потому что
(1) особенная шумиха есть вокруг операды e_2 (гипотеза Делиня, деформационное квантование...),
(2) UConf(R^2,n) = K(B_n,1), классифицирующее пространство для группы кос на n нитях. (А упорядоченные конфигурации соответствуют крашеным косам)

Короче, в эти пространства можно долго и приятно погружаться, и с операдной точки зрения, и с когомологической... это вряд ли последний пост про них.
———————
А теперь довольно свежая тема: пространства непересекающихся квадратиков (configuration spaces of thick particles). Пусть по плоскости у нас бегают не точки (как было с UConf(R^2,n)), а квадратики 1x1 (стороны параллельны осям координат), которым запрещено пересекаться. Можно показать, что гомотопический тип от этого не поменяется (всегда можно сделать гомотетию и посмотреть "издалека"). Но если плоскость заменить на прямоугольник — места уже становится мало, и конфигурации точек отличаются от конфигураций квадратов.

Введём пространства (для натуральных или бесконечных p,q):
UC(n, p x q) := конфигурации n единичных квадратов в прямоугольнике p x q; в частности,
UC(n, ∞ x ∞) = UConf(R^2, n);
ещё обозначим
UC(n, w) := UC(n, w x ∞) (конфигурации n единичных квадратов в бесконечной полосе ширины w).

Теорема (Alpert, Kahle, MacPherson, 2019):
UC(n,w)=K(B_n,1) при w>= n.
То есть если ширина полосы хотя бы равна числу квадратиков, то они могут переставляться так же успешно, как на плоскости.

(Вообще в статье https://arxiv.org/abs/1908.04241 они поняли, что есть как бы три режима поведения квадратиков в полосе: если смотреть на j-ые гомологии пространства UC(n,w), w≥2, то при j≤w-2 они как будто мы живём на плоскости ("газ"), при j ≥ n-[n/w]+1 они нулевые ("твёрдое вещество"), иначе что-то промежуточное ("жидкость").)

Получаем стабилизацию
UC(n,2) -> UC(n,3) -> ... -> UC(n,n) = UC(n,n+1) = ... = K(B_n,1).
Интересно посмотреть на фундаментальные группы,
B_n(p x q) := п_1 UC(n, p x q),
B_n(w) := п_1 UC(n, w),
то есть на соответствующую цепочку
B_n(2) -> B_n(3) -> ... -> B_n(n) = B_n.

Свежая теорема (Alvarado-Garduno, Gonzalez, Kahle, https://arxiv.org/abs/2504.12201): При n≥2, группа B_n(2) — это прямоугольная группа Артина (та самая, которая отображается на группу кос B_n в стандартном артиновском копредставлении!)

Значит, промежуточные группы B_n(3),..,B_n(n-1) наверняка как-то красиво вписываются в это копредставление, но пока неизвестно, как. Доказательство использует дискретную теорию Морса, по схеме из https://arxiv.org/abs/math/0410539

(некоторые другие пространства UC(n, p x q) они тоже поизучали, получились и асферичные, и вроде бы не только; некоторые другие группы B_n(p x q) они тоже поизучали, получились тоже RAAG'ы)