футурологическое предсказание (Dusa McDuff, 1975 — то есть 50 лет назад)

сбылось?

>как дела

фальшивое объяснение: элементом Хопфа мы привыкли называть расслоение
U(1) -> S^3 -> S^2=CP^1;
его "вещественные точки" это
SO(1) -> S^1 -> S^1=RP^1,
то есть возведение в квадрат для группы Ли S^1. Если смотреть чуть алгебраичней, это
C^× -> C^2\0 -> CP^1,
R^× -> R^2\0 -> RP^1.
почему это фальшивка — упражнение.
настоящего объяснения не будет потому что я не понимаю, почему возведение в квадрат это композиция с элементом Хопфа
————————————————
Кстати, в мотивной теории гомотопий есть два элемента Хопфа.

Напомним, что сферы там биградуированные (я использую соглашение из обзора Isaksen, Ostvaer): S^{1,0} — это топологическая окружность, S^{1,1} = G_m = A^1\{0} — это проколотая алгебраическая прямая, и из их смэш-произведений набегают всякие разные S^{p,q}. Смысл: вещественная геометрическая реализация — это S^{p-q}, комплексная — это S^p. Например, S^{2,1} ("надстройка над проколотой прямой") гомотопически эквивалентна P^1. Значит, и гомотопические группы тоже биградуированы.

Теперь у нас два элемента Хопфа:
(1) топологический η_top: S^3 -> S^2, который теперь имеет вид S^{3,0} -> S^{2,0} и стабилизируется до элемента в стабильной мотивной гомотопической группе π_{1,0}^s;
(2) алгебраический η: A^2\{0} -> P^1, то есть S^{3,2} -> S^{2,1}, который стабилизируется до элемента в π_{1,1}^s.

В классических стабильных гомотопических группах сфер есть элемент ν:S^7->S^4 (кватернионное расслоение Хопфа) и его стабилизация в π_3^s. И есть соотношения:
24ν=0, 12ν=η∘η∘η.
Их можно объяснить геометрически через конструкцию Понтрягина—Тома и K3-поверхности (наблюдение Атьи), см. https://mathoverflow.net/a/218053 и возможно также https://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry , https://mathoverflow.net/questions/218283/is-there-an-octonionic-analog-of-the-k3-surface-with-implications-for-stable-ho

Как строится его мотивный аналог ν∈π_{3,2}^s я не знаю, но наверно можно угадать. Там тождества такие:
24ν=0, 12ν=η∘η∘η_top.
Было бы здорово проследить за рассуждениями с mathoverflow и понять, почему/правда ли из этих трёх Хопфов двое — алгебраические, а третий — топологический. Это, возможно, первый пример, когда мотивная наука даёт не только новую информацию о классической теории гомотопий (в формальном смысле), но и какое-то "новое понимание"/"новое сакральное знание", как бы "уточняя имеющиеся истины"

Ioan James (23 May 1928 — 21 Feb 2025)

Charles W. Rezk:
Hello all.
It’s just been brought to my attention that Ioan James passed away a few months ago, on Feb 21.

jim stasheff:
Sad To hear I was thinking about him recently he was one of in fact the final supervisor for my Oxford thesis why wasn't it broadcast more generally sooner
<...>
Ioan was my last advisor at Oxford and we Several visits either at 10:00 or AMS meetings or back in Oxford. I don't remember the cocktails but I do remember many delicious meals out in the countryside Ioan knew the best

The Clowder Project: a Stacks Project for category theory

Dear all,

I'd like to announce the Clowder Project, https://www.clowderproject.com/ .

It is built upon the same model as the Stacks Project: Tag-based and massive-collaborative. Its aim is to eventually form a comprehensive reference work and online wiki for category theory.

There is a lot more content written (>5000 pages) than is currently available online, as I'm in the process of converting the source material into Gerby-compatible HTML.

Along with more foundational material on category theory at large, I'm also hoping to cover subjects relevant to homotopy theory, including model categories, homotopy co/limits, models for ∞-category theory such as quasicategories and complete Segal spaces,as well as "synthetic" approaches to ∞-categories like ∞-cosmoi or simplicial HoTT, higher algebra, etc. In this way, I envision the project as a useful complement to Kerodon.

Comments are very welcome!
Emily de Oliveira Santos

любопытное свойство категории абелевых групп: скобки и единички сокращаются

выше — вольный перевод эссе
Oded Goldreich "On our duties as scientists (a personal version)" от 14 марта 2004, доступного где-то на страничке https://www.wisdom.weizmann.ac.il/~/oded/essays.html Хороший текст, но не супердоступный (потому что оригинал выложен в формате .ps), захотел это исправить. Курсив авторский, жирный шрифт мой

TLDR: https://www.bible.com/ru/bible/201/LUK.12.48.RSP

"На самом деле наш продукт — человеческое понимание"
https://telegra.ph/O-dokazatelstvah-i-razvitii-matematiki-Sections-56-05-17

On proof and progress in mathematics — второй "экологический" текст, который должен входить в образовательную программу любого математического факультета. (Например, на парах по английскому можно проходить — лексика местами красочная, в моём переводе уж точно теряется). А лучше читайте в оригинале: https://arxiv.org/abs/math/9404236