сладко стянул

Теперь обозначим n-кратный смэш A с собой через A^n, и обозначим
G_n := [A^n, H] при n≥1.
Получаем набор групп {G_n, n≥1} и отображений множеств
G_n × G_m -> G_{n+m}.

Известны две разных ситуации, когда из них можно соорудить что-то лиевское:

1) A=S¹.Тогда все группы G_n абелевы, скобки Самельсона билинейны и удовлетворяют тождеству Якоби; получаем градуированную квазиалгебру Ли (отличается от алгебры Ли отсутствием тождества (f,f)=0). То же рассуждение должно работать, если A — надстройка или ко-H-пространство.

2) A=S⁰. Тогда A^n=A, все группы G_n изоморфны G=[A,H], и наши отображения
G×G->G
совпадают с коммутатором в группе G.
Можно теперь взять какую-нибудь центральную фильтрацию* {F_nG} на G (например, нижний центральный ряд) и рассмотреть факторгруппы
L_n := F_nG / F_{n+1}G
и индуцированные групповым коммутатором отображения
L_n × L_m -> L_{n+m}.
Проверяется, что это действительно градуированная алгебра Ли; впрочем, без кошулевых знаков в тождестве Якоби.
Возможно, то же рассуждение работает всегда, когда AлA≈A.
----------------
...Было бы чудесно в общем случае указать естественный подфактор Г_n в G_n (зависящий от A,H и n) так, чтобы из отображения множеств
G_n×G_m -> G_{n+m}
получилось билинейное отображение абелевых групп
Г_n×Г_m -> Г_{n+m},
а ситуации выше были его частными случаями. То есть,
в ситуации 1) хочется
Г_n = G_n / 0,
в ситуации 2) хочется
Г_n = F_nG_n / F_{n+1}G_n = L_n.
----------------
*Если K,R<G — подгруппы, то (K,R)<G — это подгруппа, порожденная коммутаторами вида (k,r).
Фильтрация, то есть вложенная цепочка подгрупп
... < F_2G < F_1G = G,
называется центральной, если (F_nG,F_mG) < F_{n+m}G.
Нижний центральный ряд определяется рекурсивно как
\gamma_nG := (G, \gamma_{n-1}G). Это самая быстро убывающая центральная фильтрация.

www.group-telegram.com/us/sweet_homotopy.com/1999

1.4K viewsedited  Jun 22, 2024 at 15:33

Теперь обозначим n-кратный смэш A с собой через A^n, и обозначим
G_n := [A^n, H] при n≥1.
Получаем набор групп {G_n, n≥1} и отображений множеств
G_n × G_m -> G_{n+m}.

Известны две разных ситуации, когда из них можно соорудить что-то лиевское:

1) A=S¹.Тогда все группы G_n абелевы, скобки Самельсона билинейны и удовлетворяют тождеству Якоби; получаем градуированную квазиалгебру Ли (отличается от алгебры Ли отсутствием тождества (f,f)=0). То же рассуждение должно работать, если A — надстройка или ко-H-пространство.

2) A=S⁰. Тогда A^n=A, все группы G_n изоморфны G=[A,H], и наши отображения
G×G->G
совпадают с коммутатором в группе G.
Можно теперь взять какую-нибудь центральную фильтрацию* {F_nG} на G (например, нижний центральный ряд) и рассмотреть факторгруппы
L_n := F_nG / F_{n+1}G
и индуцированные групповым коммутатором отображения
L_n × L_m -> L_{n+m}.
Проверяется, что это действительно градуированная алгебра Ли; впрочем, без кошулевых знаков в тождестве Якоби.
Возможно, то же рассуждение работает всегда, когда AлA≈A.
----------------
...Было бы чудесно в общем случае указать естественный подфактор Г_n в G_n (зависящий от A,H и n) так, чтобы из отображения множеств
G_n×G_m -> G_{n+m}
получилось билинейное отображение абелевых групп
Г_n×Г_m -> Г_{n+m},
а ситуации выше были его частными случаями. То есть,
в ситуации 1) хочется
Г_n = G_n / 0,
в ситуации 2) хочется
Г_n = F_nG_n / F_{n+1}G_n = L_n.
----------------
*Если K,R<G — подгруппы, то (K,R)<G — это подгруппа, порожденная коммутаторами вида (k,r).
Фильтрация, то есть вложенная цепочка подгрупп
... < F_2G < F_1G = G,
называется центральной, если (F_nG,F_mG) < F_{n+m}G.
Нижний центральный ряд определяется рекурсивно как
\gamma_nG := (G, \gamma_{n-1}G). Это самая быстро убывающая центральная фильтрация.

BY сладко стянул