Математическая свалка Сепы

Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.

Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.

Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств
F : D —> sSets.
Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора)
B_{n,d} ⊆ F(d)_n,
которые замкнуты относительно вырождений
s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d},
и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм
f : d' —> d
и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что
F(f)(b)=x.

Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).

Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.

Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества
S' <—< S >—> S'',
то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств
S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ...,
то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.

Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми.
... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ...
Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки
S_n = *.
Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество
... —> (n-2) —> (n-1) —> (n),
составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения
S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.

Список литературы:

[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets."
(Определение свободной диаграммы §2.4.
Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)

[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces."
(Прежде всего §2.4)

[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization"
(Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").

www.group-telegram.com/tw/math_dump_of_sepa.com/246

1.7K viewsSergei, edited  Aug 21, 2024 at 05:39

Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.

Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.

Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств
F : D —> sSets.
Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора)
B_{n,d} ⊆ F(d)_n,
которые замкнуты относительно вырождений
s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d},
и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм
f : d' —> d
и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что
F(f)(b)=x.

Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).

Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.

Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества
S' <—< S >—> S'',
то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств
S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ...,
то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.

Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми.
... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ...
Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки
S_n = *.
Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество
... —> (n-2) —> (n-1) —> (n),
составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения
S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.

Список литературы:

[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets."
(Определение свободной диаграммы §2.4.
Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)

[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces."
(Прежде всего §2.4)

[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization"
(Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").

BY Математическая свалка Сепы