В планиметрии есть много методов решить задачу: всякие теоремы, трюки, стандартные картинки, какие-то продвинутые техники. А что можно сказать насчет стереометрии? Там запас этого всего добра урезается в десятки раз. Может, всякие аналоги лемм о воробьях, о велосипедистах и т.д. есть, но они очень малоизвестны и далеко не очень полезны. В стереоме чаще требуются рассуждения про доп. построения, анализ картинки, рассматривание каких-то пересечений плоскостей/проекций, сведений к плоской задаче. Есть конечно аналог радикальных осей, например, но это тоже не очень частый метод.
Тем не менее, все-таки один продвинутый трюк есть.
Забавно, что обычные проективные коники и теоремы на них вполне обобщаются в пространство. В пространстве верны аналоги леммы Соллертинского, теоремы Брианшона и понятие поляры относительно квадрики (причем даже определено не только понятие поляры точки, но и поляры прямой).
Определение. Квадрика – поверхность в пространстве, задающаяся уравнением F(x, y, z) = 0, где deg(F) = 2.
Определение. Полярой точки X относительно квадрики K называется плоскость, проходящая через основания всех касательных из X к K.
То, что основания касательных из X к K лежат в одной плоскости неочевидно, но это правда. Ещё заметим, что поляра X относительно K высекает на K конику.
Однако сейчас нас будет интересовать случай, когда квадрика – сфера, а высекаемая коника – окружность.
Сперва поговорим о стереографической проекции.
Определение. Пусть Г – сфера, O – её центр, а p – некоторая плоскость. Прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная p, вторично пересекает Г в точке N (N находится дальше от p, чем вторая точка пересечения). Пусть Х – произвольная точка сферы, а NX пересекает p в точке Y. Стереографической проекцией Г на p будем называть отображение Г -> p при котором X -> Y.
Это отображение – биекция между Г (без точки N) и p. Также заметим, что на самом деле, это просто инверсия с центром N при которой Г переходит в p (инверсия, суженная на Г). Она переводит окружность, не проходящую через N, в окружность, а окружность, проходящую через N, в прямую. Уже сам этот факт является довольно полезным и помогает решать некоторые сложные задачи. Например, это сильно помогает в P5 устной олимпиады по геометрии 2015 года 10-11 класс. (рис. 1)
Но мы пойдем дальше.
Определение. Полярной окружностью точки X относительно сферы Г называется окружность, проходящая через основания касательных из X к Г. Будем обозначать эту окружность p(X).
Получаем биекцию между точками R³ и окружностями на сфере.
Теорема. 1. Прямая AB касается сферы Г <=> p(A), p(B) касаются. 2. Плоскость (ABC) касается Г <=> p(A), p(B), p(C) имеют общую точку. (рис. 2 и 3)
Мысль. Отображение X -> p(X) позволяет сопоставлять стереометрической задаче конфигурацию окружностей на сфере. Совершая затем стереографическую проекцию, мы получаем плоскую задачу, решив которую, мы решим и исходную трехмерную задачу. Также можно совершать эти действия в обратном порядке, проектируя плоскую задачу на сферу и затем возникающие окружности отображая в точки.
И вот это уже мощный интрумент для решения задач.
Пример. Около сферы Г описана четырёхзвенная ломанная ABCD. (рис. 4) (!) Четыре точки касания её сторон со сферой лежат в одной плоскости Доказательство. Мы знаем, что p(A), p(B), p(C), p(D) попарно касаются. Скинем это все стер. проекцией на плоскость. Получим известную простую задачу: четыре окружности на плоскости попарно касаются, тогда точки касания лежат на одной окружности. Проектируя обратно, получаем, что точки касания не просто лежали в одной плоскости - они еще и на одной окружности.
У этой задачи есть другие решения (например, пространственный менелай).
Есть еще более сложные примеры. И вот, собственно, задача Вам.
Скрытая 10.9 Шарыгинки 2024
Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, которая касается сферы Г. Точка A' такова, что тетраэдр BCDA' описан около Г. Аналогично определим B', C', D'. (рис. не требуется) (!) A', B', C', D' лежат в одной плоскости
В планиметрии есть много методов решить задачу: всякие теоремы, трюки, стандартные картинки, какие-то продвинутые техники. А что можно сказать насчет стереометрии? Там запас этого всего добра урезается в десятки раз. Может, всякие аналоги лемм о воробьях, о велосипедистах и т.д. есть, но они очень малоизвестны и далеко не очень полезны. В стереоме чаще требуются рассуждения про доп. построения, анализ картинки, рассматривание каких-то пересечений плоскостей/проекций, сведений к плоской задаче. Есть конечно аналог радикальных осей, например, но это тоже не очень частый метод.
Тем не менее, все-таки один продвинутый трюк есть.
Забавно, что обычные проективные коники и теоремы на них вполне обобщаются в пространство. В пространстве верны аналоги леммы Соллертинского, теоремы Брианшона и понятие поляры относительно квадрики (причем даже определено не только понятие поляры точки, но и поляры прямой).
Определение. Квадрика – поверхность в пространстве, задающаяся уравнением F(x, y, z) = 0, где deg(F) = 2.
Определение. Полярой точки X относительно квадрики K называется плоскость, проходящая через основания всех касательных из X к K.
То, что основания касательных из X к K лежат в одной плоскости неочевидно, но это правда. Ещё заметим, что поляра X относительно K высекает на K конику.
Однако сейчас нас будет интересовать случай, когда квадрика – сфера, а высекаемая коника – окружность.
Сперва поговорим о стереографической проекции.
Определение. Пусть Г – сфера, O – её центр, а p – некоторая плоскость. Прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная p, вторично пересекает Г в точке N (N находится дальше от p, чем вторая точка пересечения). Пусть Х – произвольная точка сферы, а NX пересекает p в точке Y. Стереографической проекцией Г на p будем называть отображение Г -> p при котором X -> Y.
Это отображение – биекция между Г (без точки N) и p. Также заметим, что на самом деле, это просто инверсия с центром N при которой Г переходит в p (инверсия, суженная на Г). Она переводит окружность, не проходящую через N, в окружность, а окружность, проходящую через N, в прямую. Уже сам этот факт является довольно полезным и помогает решать некоторые сложные задачи. Например, это сильно помогает в P5 устной олимпиады по геометрии 2015 года 10-11 класс. (рис. 1)
Но мы пойдем дальше.
Определение. Полярной окружностью точки X относительно сферы Г называется окружность, проходящая через основания касательных из X к Г. Будем обозначать эту окружность p(X).
Получаем биекцию между точками R³ и окружностями на сфере.
Теорема. 1. Прямая AB касается сферы Г <=> p(A), p(B) касаются. 2. Плоскость (ABC) касается Г <=> p(A), p(B), p(C) имеют общую точку. (рис. 2 и 3)
Мысль. Отображение X -> p(X) позволяет сопоставлять стереометрической задаче конфигурацию окружностей на сфере. Совершая затем стереографическую проекцию, мы получаем плоскую задачу, решив которую, мы решим и исходную трехмерную задачу. Также можно совершать эти действия в обратном порядке, проектируя плоскую задачу на сферу и затем возникающие окружности отображая в точки.
И вот это уже мощный интрумент для решения задач.
Пример. Около сферы Г описана четырёхзвенная ломанная ABCD. (рис. 4) (!) Четыре точки касания её сторон со сферой лежат в одной плоскости Доказательство. Мы знаем, что p(A), p(B), p(C), p(D) попарно касаются. Скинем это все стер. проекцией на плоскость. Получим известную простую задачу: четыре окружности на плоскости попарно касаются, тогда точки касания лежат на одной окружности. Проектируя обратно, получаем, что точки касания не просто лежали в одной плоскости - они еще и на одной окружности.
У этой задачи есть другие решения (например, пространственный менелай).
Есть еще более сложные примеры. И вот, собственно, задача Вам.
Скрытая 10.9 Шарыгинки 2024
Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, которая касается сферы Г. Точка A' такова, что тетраэдр BCDA' описан около Г. Аналогично определим B', C', D'. (рис. не требуется) (!) A', B', C', D' лежат в одной плоскости
(Ухожу в отпуск на x лет)
BY Ботаем геому
Warning: Undefined variable $i in /var/www/group-telegram/post.php on line 260
Apparently upbeat developments in Russia's discussions with Ukraine helped at least temporarily send investors back into risk assets. Russian President Vladimir Putin said during a meeting with his Belarusian counterpart Alexander Lukashenko that there were "certain positive developments" occurring in the talks with Ukraine, according to a transcript of their meeting. Putin added that discussions were happening "almost on a daily basis." The Russian invasion of Ukraine has been a driving force in markets for the past few weeks. The next bit isn’t clear, but Durov reportedly claimed that his resignation, dated March 21st, was an April Fools’ prank. TechCrunch implies that it was a matter of principle, but it’s hard to be clear on the wheres, whos and whys. Similarly, on April 17th, the Moscow Times quoted Durov as saying that he quit the company after being pressured to reveal account details about Ukrainians protesting the then-president Viktor Yanukovych. Continuing its crackdown against entities allegedly involved in a front-running scam using messaging app Telegram, Sebi on Thursday carried out search and seizure operations at the premises of eight entities in multiple locations across the country. "For Telegram, accountability has always been a problem, which is why it was so popular even before the full-scale war with far-right extremists and terrorists from all over the world," she told AFP from her safe house outside the Ukrainian capital.
from us
