С праздником дорогие коллеги!!
Вы хоть раз задумывались, зачем на скрипке интегралы?
Источник:
Математики шутят
#ёжик_развлекается
Вы хоть раз задумывались, зачем на скрипке интегралы?
Источник:
Математики шутят
#ёжик_развлекается
Воскресенье продолжается, дорогие коллеги!
К сожалению, мы уже сейчас не помним автора данного мема, но он такой классный, что не опубликовать его было бы грешно! 😁
#ёжик_развлекается
К сожалению, мы уже сейчас не помним автора данного мема, но он такой классный, что не опубликовать его было бы грешно! 😁
#ёжик_развлекается
Приветствую, уважаемые коллеги! 📐
Думаю, что большинство из нас ежедневно сталкивается с одной очень интересной темой из геометрии — мозаикой Пенроуза. Ведь она широко используется для узоров на плитке. Поэтому сегодня постараемся разобраться, что же таится в этой геометрической красоте))
🧩 Итак, мозаика Пенроуза – это один из примеров апериодической мозаики, то есть, покрытия плоскости некоторыми непересекающимися фигурами или многоугольниками, не содержащего больших периодических участков или областей.
Носит имя английского математика Роджера Пенрозуа, занимавшегося их исследованием в 70-х годах прошлого столетия.
🧩 Существует несколько различных вариантов мозаики. Но изначально использовались все 4 разные формы плиток, которые впоследствии были сокращены уже до 2. Ими могут быть 2 разных ромба, или 2 разных четырехугольника (дротик и воздушный змей). Причем мозаика собирается исходя из ограничения в способах соединения этих фигур, чтобы избежать появления периодичности и сохранить уникальность узора.
❓Для этого используют следующие способы: правила сопоставления, замена плиток, схемы разрезания, проецирования и покрытия. Благодаря им получаются завораживающие и неповторимые узоры! 😃
В общем мозаика Пенроуза облает следующими свойствами:
— отсутствие трансляционной симметрии;
— самоподобие;
— квазикристалличность;
— измельчение и укрупнение (подобие плиток с коэффициентом, равным обратному золотому сечению).
👨🔬 Но англичанин был не первый, кто занимался этим направлением. Тема апериодичных мозаик была исследована еще несколько лет до него. Например, в 1960-х годах логик Хао Ван представил мозаики из квадратных пластик, известные сейчас как Ван домино (см. рисунок 2). Он считал, что задача о заполнении плоскости таким домино так, чтобы соседние грани были одного цвета, неразрешима. Позднее его ученик Роберт Бергер в своей диссертации доказал, что решение есть, и для него необходимо 104 прототипа домино. Еще через пару лет Дональд Кнут упростил решение, доказав, что минимально потребуется всего 92 домино. А в 1971 году Рафаэль Робинсон смог еще упростить модель своего предшественника и получил апериодический набор, состоящий лишь из 6 прототипов (см. рисунок 3).
⁉️Всего существует 3 типа мозаик, которые объединены общим признаком – формы плиток связаны с правильным пятиугольником и золотым сечением. Все основные формы должны дополняться по правилам сочетаний, чтобы сохранить апериодичность.
ТИПЫ МОЗАИК ПЕНРОУЗА:
Р1 – имеются плитки 6 типов: 3 правильных пятиугольника, остальные – пятиконечные звезды и ромб (см. рисунок 4,5).
Р2 – имеются плитки 2 типов: выпуклый и вогнутый дельтоиды. Объединять их нельзя, так как это противоречит правилам сочетаний. Также в этом типе может быть 7 видов вершин. Д. Конвей называл каждую их них как солнце и луна (симметричные), а оставшиеся – как достоинства игральных карт: туз, король, дама, валет и двойка (см. рисунок 6,7).
Р3 – имеются плитки 2 типов: ромбы с одинаковыми сторонами, но разными углами (острые углы равны соответственно 36 и 72). Также в этом типе может быть 8 видов вершин. Брёйн назвал их по первым буквам названий вершин мозаики типа Р2 (см. рисунок 8,9).
❗️Помимо математики мозаика Пенроуза встречается и в кристаллографии. Например, кристаллическая решетка алюминиево-марганцевых сплавов имеет такие же свойства.
❓Но чем же это может быть полезно? Оказывается, даже много чем. Несимметричное расположение атомов обладает следующими свойствами:
— низкая поверхностная энергия, благодаря которой к поверхности ничего не прилипает;
— низкое трение и износ (применимо для хирургических инструментов и бритвенных станков);
— применение для изготовления 3D-принтеров.
📄 Интересный факт:
*** Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), сильно напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.
#ёжик_пишет
Думаю, что большинство из нас ежедневно сталкивается с одной очень интересной темой из геометрии — мозаикой Пенроуза. Ведь она широко используется для узоров на плитке. Поэтому сегодня постараемся разобраться, что же таится в этой геометрической красоте))
🧩 Итак, мозаика Пенроуза – это один из примеров апериодической мозаики, то есть, покрытия плоскости некоторыми непересекающимися фигурами или многоугольниками, не содержащего больших периодических участков или областей.
Носит имя английского математика Роджера Пенрозуа, занимавшегося их исследованием в 70-х годах прошлого столетия.
🧩 Существует несколько различных вариантов мозаики. Но изначально использовались все 4 разные формы плиток, которые впоследствии были сокращены уже до 2. Ими могут быть 2 разных ромба, или 2 разных четырехугольника (дротик и воздушный змей). Причем мозаика собирается исходя из ограничения в способах соединения этих фигур, чтобы избежать появления периодичности и сохранить уникальность узора.
❓Для этого используют следующие способы: правила сопоставления, замена плиток, схемы разрезания, проецирования и покрытия. Благодаря им получаются завораживающие и неповторимые узоры! 😃
В общем мозаика Пенроуза облает следующими свойствами:
— отсутствие трансляционной симметрии;
— самоподобие;
— квазикристалличность;
— измельчение и укрупнение (подобие плиток с коэффициентом, равным обратному золотому сечению).
👨🔬 Но англичанин был не первый, кто занимался этим направлением. Тема апериодичных мозаик была исследована еще несколько лет до него. Например, в 1960-х годах логик Хао Ван представил мозаики из квадратных пластик, известные сейчас как Ван домино (см. рисунок 2). Он считал, что задача о заполнении плоскости таким домино так, чтобы соседние грани были одного цвета, неразрешима. Позднее его ученик Роберт Бергер в своей диссертации доказал, что решение есть, и для него необходимо 104 прототипа домино. Еще через пару лет Дональд Кнут упростил решение, доказав, что минимально потребуется всего 92 домино. А в 1971 году Рафаэль Робинсон смог еще упростить модель своего предшественника и получил апериодический набор, состоящий лишь из 6 прототипов (см. рисунок 3).
⁉️Всего существует 3 типа мозаик, которые объединены общим признаком – формы плиток связаны с правильным пятиугольником и золотым сечением. Все основные формы должны дополняться по правилам сочетаний, чтобы сохранить апериодичность.
ТИПЫ МОЗАИК ПЕНРОУЗА:
Р1 – имеются плитки 6 типов: 3 правильных пятиугольника, остальные – пятиконечные звезды и ромб (см. рисунок 4,5).
Р2 – имеются плитки 2 типов: выпуклый и вогнутый дельтоиды. Объединять их нельзя, так как это противоречит правилам сочетаний. Также в этом типе может быть 7 видов вершин. Д. Конвей называл каждую их них как солнце и луна (симметричные), а оставшиеся – как достоинства игральных карт: туз, король, дама, валет и двойка (см. рисунок 6,7).
Р3 – имеются плитки 2 типов: ромбы с одинаковыми сторонами, но разными углами (острые углы равны соответственно 36 и 72). Также в этом типе может быть 8 видов вершин. Брёйн назвал их по первым буквам названий вершин мозаики типа Р2 (см. рисунок 8,9).
❗️Помимо математики мозаика Пенроуза встречается и в кристаллографии. Например, кристаллическая решетка алюминиево-марганцевых сплавов имеет такие же свойства.
❓Но чем же это может быть полезно? Оказывается, даже много чем. Несимметричное расположение атомов обладает следующими свойствами:
— низкая поверхностная энергия, благодаря которой к поверхности ничего не прилипает;
— низкое трение и износ (применимо для хирургических инструментов и бритвенных станков);
— применение для изготовления 3D-принтеров.
📄 Интересный факт:
*** Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), сильно напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.
#ёжик_пишет
📘 W. Arveson “An Invitation to C-Algebras”
Когда ты впервые берешь в руки книгу по C*-алгебрам, особенно такую, как у Арвесона, сразу ощущаешь, что это не просто теория, это язык. Язык, на котором можно говорить с квантовой механикой и функциональным анализом. Это не формальное введение, не сухой список определений и лемм, это почти философский путь внутрь одной из самых элегантных структур современной математики C*-алгебр.
Книга охватывает:
▫️Основы теории C-алгебр: определения, спектры, примеры, функциональный анализ.
▫️Представления на гильбертовых пространствах.
▫️GNS-конструкцию, которая связывает функционалы и представления.
▫️Теорию кратности и разложение на прямые интегралы.
▫️GCR-алгебры, постройку и анализ примитивного спектра.
Всё это с прицелом на понимание и применение в контексте операторной теории и квантовой физики. Автор намеренно не уходит в абстрактную алгебру, а остаётся ближе к аналитической интуиции и гильбертовым пространствам.
Арвесон пишет очень открыто и понятно, автор не боится признаваться: “мы пока не знаем, как это обобщить, поэтому рассмотрим частный случай”. Или: “этот шаг кажется техническим, но вот почему он важен”. Он сопровождает читателя, как спокойный наставник. Не торопит, не давит, а предлагает увидеть и почувствовать глубину постепенно.
Кому подойдёт эта книга?
Исследователям, которым нужна опора на строгий, но понятный фундамент C*-алгебр. Всем, кто хочет “потрогать руками” абстракцию, из которой построена современная теория операторов.
Это не просто учебник, это дверь в пространство, где алгебра и анализ сплетаются в строгую, но вдохновляющую структуру. Очень советую, даже если вы не работаете напрямую с операторными алгебрами. Просто чтобы почувствовать, красоту C*-алгебр.
#CStarAlgebras #FunctionalAnalysis #QuantumMath #GraduateText #Arveson #OperatorAlgebras #MathReading
Когда ты впервые берешь в руки книгу по C*-алгебрам, особенно такую, как у Арвесона, сразу ощущаешь, что это не просто теория, это язык. Язык, на котором можно говорить с квантовой механикой и функциональным анализом. Это не формальное введение, не сухой список определений и лемм, это почти философский путь внутрь одной из самых элегантных структур современной математики C*-алгебр.
Книга охватывает:
▫️Основы теории C-алгебр: определения, спектры, примеры, функциональный анализ.
▫️Представления на гильбертовых пространствах.
▫️GNS-конструкцию, которая связывает функционалы и представления.
▫️Теорию кратности и разложение на прямые интегралы.
▫️GCR-алгебры, постройку и анализ примитивного спектра.
Всё это с прицелом на понимание и применение в контексте операторной теории и квантовой физики. Автор намеренно не уходит в абстрактную алгебру, а остаётся ближе к аналитической интуиции и гильбертовым пространствам.
Арвесон пишет очень открыто и понятно, автор не боится признаваться: “мы пока не знаем, как это обобщить, поэтому рассмотрим частный случай”. Или: “этот шаг кажется техническим, но вот почему он важен”. Он сопровождает читателя, как спокойный наставник. Не торопит, не давит, а предлагает увидеть и почувствовать глубину постепенно.
Кому подойдёт эта книга?
Исследователям, которым нужна опора на строгий, но понятный фундамент C*-алгебр. Всем, кто хочет “потрогать руками” абстракцию, из которой построена современная теория операторов.
Это не просто учебник, это дверь в пространство, где алгебра и анализ сплетаются в строгую, но вдохновляющую структуру. Очень советую, даже если вы не работаете напрямую с операторными алгебрами. Просто чтобы почувствовать, красоту C*-алгебр.
#CStarAlgebras #FunctionalAnalysis #QuantumMath #GraduateText #Arveson #OperatorAlgebras #MathReading
Предуведомление. Картинка на обложке создана нейросетью (Problembo). Из этого НЕ следует никаких выводов. В частности:
1) текст НЕ создан нейросетью, а написан лично автором. Просто автор умеет писать тексты, но не умеет (а если бы и умел, то не хочет тратить время) рисовать картинки.
2) текст НЕ является глупостью, ерундой, чушью (может и являться, автор не претендует на непогрешимость, но этот вывод не следует из анализа картинки).
3) картинка призвана привлечь внимание, но это психология человека. Если Вам нужны материалы без привлекающих внимание картинок, идите в библиотеку.
(На картинке Риман и Лебег фехтуют на интегралах. Вы догадались).
Эта заметка - эхо поста, который недавно был: про интеграл Лебега. Я знаю, что есть достаточно много ув. друзей, в том числе подписанных на Ёжик, который о Лебеге слышали, и не более, и весьма смутно представляют себе, про что это. Сам пост, на который эхо, тоже как бы намекает нам: там речь шла о возможности крушения самолета из-за несовпадения интеграла Лебега и интеграла Римана.
Тут есть о чём поговорить (хотя в области математики можно о чём угодно поговорить вообще, и получится, при некотором умении держать перо, вполне годный материал).
Интеграл можно объяснить на основе двух задач: найти путь автомобиля по графику скорости (спидометр его, допустим, пишет) и найти массу тела по его (возможно, непостоянной) плотности.
Есть философский вопрос о том, что такое скорость (да, её показывает спидометр на основе того или иного физического процесса, но что это и как определяется) и что такое плотность. Об этом в другой раз. У нас пока скорость и плотность как-то заданы. Пусть даже таблицей: скорость записана как показания спидометра с шагом в миллисекунду, а плотность - ну, пусть формулой.
Хорошо.
По Риману, мы считаем путь так: умножаем каждую скорость на время, и складываем эти пути. Если скорость непрерывно меняется, например движение равноускоренное, то на каждом малом интервале скорость приближаем постоянной. Доказывается, что ошибка будет пропорциональна длине интервалов времени, на который разбит весь путь, и может быть сделана сколь угодно малой. Предел, если он не зависит от того, как его строили, и есть интеграл.
Например, если скорость была 60, 90, 60, 40, 90, 60 в течение часа каждая, то путь равен 60*1+90*1+60*1+...
У Лебега рассуждение другое. Мы записываем скорости и для каждой указываем длительность, когда скорость бала такая:
60 км/ч — 3 часа в сумме,
90 км/ч — 2 часа в сумме,
40 км/ч — 1 час.
Умножаем и складываем: 60*3+90*2+40*1.
Понятно, что результаты совпадут.
Если скорость переменная, то тоже измельчаем и переходим к пределу. И пределы тоже совпадут.
Для массы всё точно так же. У Римана тело делится на кубики, строится сумма и предел. У Лебега плотность делится на интервалы и значение из этого интервала умножается на объём того множества, на котором плотность вот такая.
Но поставим такой вопрос: что такое объём, например, шара.
По Риману, это интеграл от единицы по этому шару. Шар будет приближен системой кубиков (как в Лего), всё точнее и точнее, и предел назовём объёмом шара. Если вместо параллелепипедов приближать элементарными кирпичиками в сферических координатах, а кирпичик такой имеет объем r²drdφdθ, то объём шара получается совсем просто.
У Лебега же тут встаёт проблема. Функция-плотность у нас константа, единица. Она принимает это своё единственное значение на всём шаре, то есть объём шара это интеграл Лебега, а он — это 1 умножить на объём шара. Упс. Тавтология вышла.
Поэтому интеграл Лебега опирается на теорию меры. Именно там вся возня с кубиками. Мера Лебега несколько сложнее простой аппроксимации кубиками, но для первого знакомства можно ограничиться такой наглядной схемой.
Таким образом, интеграл Лебега в чём-то проще, чем интеграл Римана, но опирается на теорию меры.
В простых случаях множество, на котором функция одной переменной принимает значения из интервала, это какая-то система интервалов, и с его мерой проблем нет. В сложных же само понятие меры становится сложным.
1) текст НЕ создан нейросетью, а написан лично автором. Просто автор умеет писать тексты, но не умеет (а если бы и умел, то не хочет тратить время) рисовать картинки.
2) текст НЕ является глупостью, ерундой, чушью (может и являться, автор не претендует на непогрешимость, но этот вывод не следует из анализа картинки).
3) картинка призвана привлечь внимание, но это психология человека. Если Вам нужны материалы без привлекающих внимание картинок, идите в библиотеку.
(На картинке Риман и Лебег фехтуют на интегралах. Вы догадались).
Эта заметка - эхо поста, который недавно был: про интеграл Лебега. Я знаю, что есть достаточно много ув. друзей, в том числе подписанных на Ёжик, который о Лебеге слышали, и не более, и весьма смутно представляют себе, про что это. Сам пост, на который эхо, тоже как бы намекает нам: там речь шла о возможности крушения самолета из-за несовпадения интеграла Лебега и интеграла Римана.
Тут есть о чём поговорить (хотя в области математики можно о чём угодно поговорить вообще, и получится, при некотором умении держать перо, вполне годный материал).
Интеграл можно объяснить на основе двух задач: найти путь автомобиля по графику скорости (спидометр его, допустим, пишет) и найти массу тела по его (возможно, непостоянной) плотности.
Есть философский вопрос о том, что такое скорость (да, её показывает спидометр на основе того или иного физического процесса, но что это и как определяется) и что такое плотность. Об этом в другой раз. У нас пока скорость и плотность как-то заданы. Пусть даже таблицей: скорость записана как показания спидометра с шагом в миллисекунду, а плотность - ну, пусть формулой.
Хорошо.
По Риману, мы считаем путь так: умножаем каждую скорость на время, и складываем эти пути. Если скорость непрерывно меняется, например движение равноускоренное, то на каждом малом интервале скорость приближаем постоянной. Доказывается, что ошибка будет пропорциональна длине интервалов времени, на который разбит весь путь, и может быть сделана сколь угодно малой. Предел, если он не зависит от того, как его строили, и есть интеграл.
Например, если скорость была 60, 90, 60, 40, 90, 60 в течение часа каждая, то путь равен 60*1+90*1+60*1+...
У Лебега рассуждение другое. Мы записываем скорости и для каждой указываем длительность, когда скорость бала такая:
60 км/ч — 3 часа в сумме,
90 км/ч — 2 часа в сумме,
40 км/ч — 1 час.
Умножаем и складываем: 60*3+90*2+40*1.
Понятно, что результаты совпадут.
Если скорость переменная, то тоже измельчаем и переходим к пределу. И пределы тоже совпадут.
Для массы всё точно так же. У Римана тело делится на кубики, строится сумма и предел. У Лебега плотность делится на интервалы и значение из этого интервала умножается на объём того множества, на котором плотность вот такая.
Но поставим такой вопрос: что такое объём, например, шара.
По Риману, это интеграл от единицы по этому шару. Шар будет приближен системой кубиков (как в Лего), всё точнее и точнее, и предел назовём объёмом шара. Если вместо параллелепипедов приближать элементарными кирпичиками в сферических координатах, а кирпичик такой имеет объем r²drdφdθ, то объём шара получается совсем просто.
У Лебега же тут встаёт проблема. Функция-плотность у нас константа, единица. Она принимает это своё единственное значение на всём шаре, то есть объём шара это интеграл Лебега, а он — это 1 умножить на объём шара. Упс. Тавтология вышла.
Поэтому интеграл Лебега опирается на теорию меры. Именно там вся возня с кубиками. Мера Лебега несколько сложнее простой аппроксимации кубиками, но для первого знакомства можно ограничиться такой наглядной схемой.
Таким образом, интеграл Лебега в чём-то проще, чем интеграл Римана, но опирается на теорию меры.
В простых случаях множество, на котором функция одной переменной принимает значения из интервала, это какая-то система интервалов, и с его мерой проблем нет. В сложных же само понятие меры становится сложным.
Именно поэтому интеграл Лебега и используется так широко в математике: он менее чувствителен. Чтобы он существовал, надо только уметь измерять все множества, которые понадобится. А неизмеримые множества, конечно, строятся, но редко возникают на практике. Интеграл Римана же не должен зависеть от многого и это часто бывает обременительно.
Например, возьмём функцию-индикатор рациональных чисел на отрезке [0,1]. Она равна 1 на рациональных числах и 0 на остальных.
По Риману она не интегрируема, так как такую "скорость" на любом интервале можно приблизить как нулём, так и единицей, в зависисмости от "протокола". Скажем, если мы делим отрезок на равные части и берём значение функции на левом краю каждого интервала, то сумма будет всегда равна 1. А если мы выбираем иррациональные числа (в концен концов, их больше!) или наугад, то сумма будет близка к 0 или просто равна ему. Предел может быть любым от 0 до 1 и интеграл не существует.
У Лебега таких проблем нет. Функция принимает два значения, 0 и 1. Мера множества, на котором 1, равна 0, а на другом значение 0 и мера роли не играет. Интеграл равен нулю.
Правда, надо разобраться, что такое мера множества рациональных чисел и почему она нуль.
Теперь к самолётам. Если оба интеграла существуют, они совпадают. Тут без вариантов. Интеграл Лебега существует чаще, можно даже сказать, что "всегда", потому что неизмеримые множества и функции строятся на основе аксиомы выбора и всё это можно отменить вместе с этой аксиомой (или заменить её на более травоядную). Это уже философские вопросы математики. На практике же Лебег интегрирует всё.
Может ли быть наоборот - когда Риман справляется, а Лебег нет?
Может, если речь заходит о несобственных интегралах, то есть на бесконечных промежутках или от уходящих в бесконечность функций.
Там всё довольно запутанно. Но у Римана есть понятие условной сходимости, то есть интеграл от f(x) по всей числовой прямой, например, имеет смысл, а от |f(x)| — нет. Пример построить легко на основе соответствующих рядов. Возьмём функцию, равную на отрезке [n, n+1] числу (-1)ⁿ/n и нулю левее нуля. Интеграл от неё это ряд, и он условно сходится по признаку Лейбница.
У Лебега же интеграл от f и |f| существует или не существует одновременно. Условной сходимости у него нет.
Это довольно понятно, если учесть, что у Римана суммирование идёт последовательно, а у Лебега — в другом порядке. Порядок этот может быть какой угодно, соответственно и результат, как мы знаем из теоремы того же Римана, тоже.
Хотя никто же не мешает читать интегралы по конечному интервалу и потом перейти к пределу...
Ещё один очень важный нюанс. Теория вероятностей построена как теория меры: задано множество исходов (чем бы они ни были — орлами-решками, гранями игральных костей с числами, картинками или иероглифами, картами или чем угодно ещё), заданы множества этих исходов - события (например, "дама красной масти" или "карта не старше десятки" или "туз", или "пиковая дама" или даже "ничего") и вероятности-меры на этих множествах. И функции на множестве исходов: случайные величины. Например, "если выпадет дама пик, ты проиграешь всё". Все средние, вероятности, оценки - это интегралы как раз по мере, то есть по схеме Лебега. Только теперь мера может быть какой угодно, например на "орле" это 0.5 и на "решке" это тоже 0.5, и везде нуль. Тогда если решка это +100, а орёл это -80, то интеграл от такой функции есть 100 умножить на меру множества, где функция принимает это значение (0.5) плюс -80 умножить на меру множества, где функция принимает это значение (0.5) и получается +10.
То есть в области теории вероятностей интегала Римана вообще нет. Там только Лебег.
Теперь два вопроса для дискуссии.
1) Преподавая высшую математику инженерам, скажем - нет ли смысла начинать с Лебега? Что такое длина-площадь-объём они и так знают, тут достаточно простой схемы с кубиками, а вот сам интеграл у Лебега проще.
Я могу привести контраргументы и сам, но не "убойные", то есть чёткой позиции у меня нет. Мне было бы интересно послушать коллег.
Например, возьмём функцию-индикатор рациональных чисел на отрезке [0,1]. Она равна 1 на рациональных числах и 0 на остальных.
По Риману она не интегрируема, так как такую "скорость" на любом интервале можно приблизить как нулём, так и единицей, в зависисмости от "протокола". Скажем, если мы делим отрезок на равные части и берём значение функции на левом краю каждого интервала, то сумма будет всегда равна 1. А если мы выбираем иррациональные числа (в концен концов, их больше!) или наугад, то сумма будет близка к 0 или просто равна ему. Предел может быть любым от 0 до 1 и интеграл не существует.
У Лебега таких проблем нет. Функция принимает два значения, 0 и 1. Мера множества, на котором 1, равна 0, а на другом значение 0 и мера роли не играет. Интеграл равен нулю.
Правда, надо разобраться, что такое мера множества рациональных чисел и почему она нуль.
Теперь к самолётам. Если оба интеграла существуют, они совпадают. Тут без вариантов. Интеграл Лебега существует чаще, можно даже сказать, что "всегда", потому что неизмеримые множества и функции строятся на основе аксиомы выбора и всё это можно отменить вместе с этой аксиомой (или заменить её на более травоядную). Это уже философские вопросы математики. На практике же Лебег интегрирует всё.
Может ли быть наоборот - когда Риман справляется, а Лебег нет?
Может, если речь заходит о несобственных интегралах, то есть на бесконечных промежутках или от уходящих в бесконечность функций.
Там всё довольно запутанно. Но у Римана есть понятие условной сходимости, то есть интеграл от f(x) по всей числовой прямой, например, имеет смысл, а от |f(x)| — нет. Пример построить легко на основе соответствующих рядов. Возьмём функцию, равную на отрезке [n, n+1] числу (-1)ⁿ/n и нулю левее нуля. Интеграл от неё это ряд, и он условно сходится по признаку Лейбница.
У Лебега же интеграл от f и |f| существует или не существует одновременно. Условной сходимости у него нет.
Это довольно понятно, если учесть, что у Римана суммирование идёт последовательно, а у Лебега — в другом порядке. Порядок этот может быть какой угодно, соответственно и результат, как мы знаем из теоремы того же Римана, тоже.
Хотя никто же не мешает читать интегралы по конечному интервалу и потом перейти к пределу...
Ещё один очень важный нюанс. Теория вероятностей построена как теория меры: задано множество исходов (чем бы они ни были — орлами-решками, гранями игральных костей с числами, картинками или иероглифами, картами или чем угодно ещё), заданы множества этих исходов - события (например, "дама красной масти" или "карта не старше десятки" или "туз", или "пиковая дама" или даже "ничего") и вероятности-меры на этих множествах. И функции на множестве исходов: случайные величины. Например, "если выпадет дама пик, ты проиграешь всё". Все средние, вероятности, оценки - это интегралы как раз по мере, то есть по схеме Лебега. Только теперь мера может быть какой угодно, например на "орле" это 0.5 и на "решке" это тоже 0.5, и везде нуль. Тогда если решка это +100, а орёл это -80, то интеграл от такой функции есть 100 умножить на меру множества, где функция принимает это значение (0.5) плюс -80 умножить на меру множества, где функция принимает это значение (0.5) и получается +10.
То есть в области теории вероятностей интегала Римана вообще нет. Там только Лебег.
Теперь два вопроса для дискуссии.
1) Преподавая высшую математику инженерам, скажем - нет ли смысла начинать с Лебега? Что такое длина-площадь-объём они и так знают, тут достаточно простой схемы с кубиками, а вот сам интеграл у Лебега проще.
Я могу привести контраргументы и сам, но не "убойные", то есть чёткой позиции у меня нет. Мне было бы интересно послушать коллег.
2) Преподавая анализ математикам, не удобнее ли начинать как раз с Лебега? Может, где-то так и поступают? Понятно, что математик должен владеть обоими определениями и не только ими, но традиционно начинают с Римана, а Лебег приходит вот прямо сильно позже. А ведь мысль, что все двойные, тройные, криволинейные, поверхностные и прочие интегралы ВСЕ получаются в рамках единой схемы Лебега - для меня в своё время стала Откровением. Хотя, конечно, у каждого есть своя специфика и переход, скажем, от двойного к повторному в рамках "чистого" Лебега не так просто осуществить.
Хотя осуществить можно.
#ёжик_пишет
#анализ
Хотя осуществить можно.
#ёжик_пишет
#анализ
Приветствую! Как и обещал, отойдем от темы "Интересных и необычных" графиков и перейдем к музыкальной красоте!
Я как музыкальный продюсер с радостью расскажу вам, как математика и музыка связаны!
----------------
Звук — это просто колебания воздуха. Но если "разложить" его на формулы, можно создавать любые тембры — от нежных струн до рвущих уши басов!
Современные синтезаторы (вроде Serum, Vital или Massive) генерируют звук, манипулируя математическими функциями. Давайте посмотрим, как это работает!
1. Базовые волны и их формулы
Любой звук в синтезаторе строится из простых волновых форм. Вот три главных:
• Синусоида (Sin) - y = sin(x) — чистый тон без гармоник.
Звучит как Свист
•Пила (Saw ) - y = x - floor(x) — резкий звук с множеством гармоник.
Используется в бассах, lead'ах, преимущественно в электронной музыке
•Square (Квадрат) - y = sign(sin(x)) — "квадратный" тембр, как в чиптюн-музыке (8BIT).
Послушать каждую вейв форму вы можете на следующем слайде данного поста!
Если вам было интересно и вы хотите узнать, как же все таки это помогает нам создавать прекрасные звуки, ставьте лайк и дайте об этом знать в комментариях!
Спасибо всем, хорошего дня!
#ёжик_развлекается #ёжик_рекомендует #лёгкое_чтение #ёжик_пишет #ёжик_и_музыка
Я как музыкальный продюсер с радостью расскажу вам, как математика и музыка связаны!
----------------
Звук — это просто колебания воздуха. Но если "разложить" его на формулы, можно создавать любые тембры — от нежных струн до рвущих уши басов!
Современные синтезаторы (вроде Serum, Vital или Massive) генерируют звук, манипулируя математическими функциями. Давайте посмотрим, как это работает!
1. Базовые волны и их формулы
Любой звук в синтезаторе строится из простых волновых форм. Вот три главных:
• Синусоида (Sin) - y = sin(x) — чистый тон без гармоник.
Звучит как Свист
•Пила (Saw ) - y = x - floor(x) — резкий звук с множеством гармоник.
Используется в бассах, lead'ах, преимущественно в электронной музыке
•Square (Квадрат) - y = sign(sin(x)) — "квадратный" тембр, как в чиптюн-музыке (8BIT).
Послушать каждую вейв форму вы можете на следующем слайде данного поста!
Если вам было интересно и вы хотите узнать, как же все таки это помогает нам создавать прекрасные звуки, ставьте лайк и дайте об этом знать в комментариях!
Спасибо всем, хорошего дня!
#ёжик_развлекается #ёжик_рекомендует #лёгкое_чтение #ёжик_пишет #ёжик_и_музыка