Постоянный угол. Решение.
Если ВН — высота треугольника АВС и произвольный отрезок МК с концами на его сторонах АВ и ВС виден из точки Н под прямым углом, то существуют еще две точки на плоскости, из которых все такие отрезки видны под постоянными углами. Одной из них, очевидно, является вершина В самого треугольника.
А вот где находится третья точка?
Удивительно, но эта задача оказалась связана с окружностями, вписанными в треугольники, биссектрисами и общими внутренними касательными к этим окружностям. Третью точку О нужно взять так, чтобы для треугольника АОС вершина В была центром вписанной в него (или вневписанной) окружности.
В случае равностороннего треугольника АВС точка О будет четвертой вершиной ромба АВСО, и тогда из нее любой такой отрезок МК будет виден под углом 30 градусов. Так мы получим задачу с двумя ромбами — даже она оказалась совсем не очевидной. В общем же случае сумма или разность углов МВК и МОК будет равна 90 градусов.
Решение можно прочесть на рисунке.
Если ВН — высота треугольника АВС и произвольный отрезок МК с концами на его сторонах АВ и ВС виден из точки Н под прямым углом, то существуют еще две точки на плоскости, из которых все такие отрезки видны под постоянными углами. Одной из них, очевидно, является вершина В самого треугольника.
А вот где находится третья точка?
Удивительно, но эта задача оказалась связана с окружностями, вписанными в треугольники, биссектрисами и общими внутренними касательными к этим окружностям. Третью точку О нужно взять так, чтобы для треугольника АОС вершина В была центром вписанной в него (или вневписанной) окружности.
В случае равностороннего треугольника АВС точка О будет четвертой вершиной ромба АВСО, и тогда из нее любой такой отрезок МК будет виден под углом 30 градусов. Так мы получим задачу с двумя ромбами — даже она оказалась совсем не очевидной. В общем же случае сумма или разность углов МВК и МОК будет равна 90 градусов.
Решение можно прочесть на рисунке.
Наибольший периметр
Продолжаем серию задач на наибольшие и наименьшие значения.
Если четыре отрезка с данными длинами выходят из одной точки, их свободные концы могут образовать как выпуклый, так и невыпуклый четырехугольники.
Для отрезков с длинами 4, 5, 5 и 5 невыпуклый четырехугольник может иметь периметр сколь угодно близкий к 38 — его стороны тогда почти лежат на одной прямой.
А чему равен наибольший периметр выпуклого четырехугольника?
Ответы пишите в комментариях.
Продолжаем серию задач на наибольшие и наименьшие значения.
Если четыре отрезка с данными длинами выходят из одной точки, их свободные концы могут образовать как выпуклый, так и невыпуклый четырехугольники.
Для отрезков с длинами 4, 5, 5 и 5 невыпуклый четырехугольник может иметь периметр сколь угодно близкий к 38 — его стороны тогда почти лежат на одной прямой.
А чему равен наибольший периметр выпуклого четырехугольника?
Ответы пишите в комментариях.
Наибольший периметр. Продолжение.
Задачу про наибольший периметр выпуклого четырехугольника, предложенную в предыдущем посте, решили многие читатели нашего канала. Ответ в ней — целое число, а нужный четырехугольник имеет ось симметрии. Свое решение этой задачи я выложу чуть позже, а пока предлагаю подумать над аналогичной задачей для треугольника. В отличие от предыдущей, она более сложна технически и в общем случае сводится к кубическому уравнению. Поэтому ответ в ней достаточно получить приближенно, с точностью до 0,01.
Этой задаче легко найти физическую формулировку: если три стержня с с определенными длинами скрепить на одном конце шарниром, а через отверстия на их свободных концах продеть резиновое кольцо, то длина растягиваемой стрежнями резинки в некотором положении будет наибольшей. Чему равна такая длина и когда достигается? Как обычно, ответы пишите в комментариях.
Задачу про наибольший периметр выпуклого четырехугольника, предложенную в предыдущем посте, решили многие читатели нашего канала. Ответ в ней — целое число, а нужный четырехугольник имеет ось симметрии. Свое решение этой задачи я выложу чуть позже, а пока предлагаю подумать над аналогичной задачей для треугольника. В отличие от предыдущей, она более сложна технически и в общем случае сводится к кубическому уравнению. Поэтому ответ в ней достаточно получить приближенно, с точностью до 0,01.
Этой задаче легко найти физическую формулировку: если три стержня с с определенными длинами скрепить на одном конце шарниром, а через отверстия на их свободных концах продеть резиновое кольцо, то длина растягиваемой стрежнями резинки в некотором положении будет наибольшей. Чему равна такая длина и когда достигается? Как обычно, ответы пишите в комментариях.
Наибольший периметр. Решение.
Задачи о наибольшем периметре выпуклого многоугольника, образованного свободными концами нескольких отрезков, выходящих из точки О, имеют один подход. Он основан на вариационном принципе.
Оказалось, что наибольший периметр такого многоугольника будет, если точка О является центром вписанной в него окружности. Для четырех отрезков с длинами 5, 5, 5 и 4 он дает периметр 27. А для трех отрезков с длинами 1, 2 и 3 сводится к кубическому уравнению, которое само по себе получить не просто. Как это можно сделать, читайте на рисунке.
Вариционный метод в данном случае можно смело применять, так как при движении отрезков периметр треугольника меняется непрерывно, а сама числовая функция имеет ограничение: легко показать, что периметр треугольника всегда меньше удвоенной суммы данных отрезков.
Задачи о наибольшем периметре выпуклого многоугольника, образованного свободными концами нескольких отрезков, выходящих из точки О, имеют один подход. Он основан на вариационном принципе.
Оказалось, что наибольший периметр такого многоугольника будет, если точка О является центром вписанной в него окружности. Для четырех отрезков с длинами 5, 5, 5 и 4 он дает периметр 27. А для трех отрезков с длинами 1, 2 и 3 сводится к кубическому уравнению, которое само по себе получить не просто. Как это можно сделать, читайте на рисунке.
Вариционный метод в данном случае можно смело применять, так как при движении отрезков периметр треугольника меняется непрерывно, а сама числовая функция имеет ограничение: легко показать, что периметр треугольника всегда меньше удвоенной суммы данных отрезков.
ЛЕТО
Вот и наступило лето красное: жаркое, душное, грозовое... Разнотравье, бабочки, комары и кукушки, ягоды да грибы, запах нагретых сосен, скошенной травы и речной воды. Все экзамены сданы, оценки получены, впереди каникулы и свобода. Лето для русского человека - это долгожданное время года, которое пролетает так быстро...
На нашем канале тоже начинается летняя сиеста - отдыхайте и набирайтесь сил. И пусть это стихотворение будет вам в подарок :)
Вот и наступило лето красное: жаркое, душное, грозовое... Разнотравье, бабочки, комары и кукушки, ягоды да грибы, запах нагретых сосен, скошенной травы и речной воды. Все экзамены сданы, оценки получены, впереди каникулы и свобода. Лето для русского человека - это долгожданное время года, которое пролетает так быстро...
На нашем канале тоже начинается летняя сиеста - отдыхайте и набирайтесь сил. И пусть это стихотворение будет вам в подарок :)
Храмовая лестница
Правитель одного из островов Индонезии в XlX веке построил себе в горах для медитаций водные сады со статуями, лестницами, павильонами и бассейнами. Бассейны нужны были для купания и разведения карпов — их там и сейчас великое множество.
На вершине холма скрыто святилище со статуями Брахмы, Вишну и Шивы. Нам поведали, что в индуизме это проявления одного Божества: силы созидания, сохранения и разрушения. Этим силам соответствуют стихии огня, воды и ветра. Меня сфотографировали на одной из лестниц, идущих к такому святилищу.
Определите по данному фото высоту ступени храмовой лестницы с точностью до 1 см.
С какой высоты над горизонтальнной площадкой перед лестницей сделано это фото?
Для решения задачи вам понадобится знать мой рост — в обуви он составляет 175 см.
Правитель одного из островов Индонезии в XlX веке построил себе в горах для медитаций водные сады со статуями, лестницами, павильонами и бассейнами. Бассейны нужны были для купания и разведения карпов — их там и сейчас великое множество.
На вершине холма скрыто святилище со статуями Брахмы, Вишну и Шивы. Нам поведали, что в индуизме это проявления одного Божества: силы созидания, сохранения и разрушения. Этим силам соответствуют стихии огня, воды и ветра. Меня сфотографировали на одной из лестниц, идущих к такому святилищу.
Определите по данному фото высоту ступени храмовой лестницы с точностью до 1 см.
С какой высоты над горизонтальнной площадкой перед лестницей сделано это фото?
Для решения задачи вам понадобится знать мой рост — в обуви он составляет 175 см.
Храмовая лестница. Решение
Судя по числу комментариев, вчерашняя задача вызвала интерес. Среди данных ответов даже были близкие к правильному. Высоту ступени можно оценить на глаз — и ошибка будет невелика. Разумно считать, что ступеньки не выше 30 см, иначе ходить по этой лестнице будет тяжело.
Моя фигура на фото занимает 10 ступенек. Однако из этого не следует, что высота одной равна 17,5 см — видно, что верхние ступеньки там становятся все меньше. Связано это со свойствами перспективы.
Сделаем важное наблюдение: горизонтальные площадки 1—4 ступенек на фото видны хорошо, пятая уже плохо, а шестая и следующие не видны. Из этого следует, что камера была примерно на высоте шестой ступени.
Перспектива сохраняет двойное отношение четырех точек. На фото такие удобные точки — это 1, 6, 8 и 11 ступени. На самой лестнице их двойное отношение равно 7/4. Это позволяет найти высоту ступени — она будет примерно равна 24 см. Камеру же держали на высоте 144 см над площадкой.
Решение задачи на рисунке.
Судя по числу комментариев, вчерашняя задача вызвала интерес. Среди данных ответов даже были близкие к правильному. Высоту ступени можно оценить на глаз — и ошибка будет невелика. Разумно считать, что ступеньки не выше 30 см, иначе ходить по этой лестнице будет тяжело.
Моя фигура на фото занимает 10 ступенек. Однако из этого не следует, что высота одной равна 17,5 см — видно, что верхние ступеньки там становятся все меньше. Связано это со свойствами перспективы.
Сделаем важное наблюдение: горизонтальные площадки 1—4 ступенек на фото видны хорошо, пятая уже плохо, а шестая и следующие не видны. Из этого следует, что камера была примерно на высоте шестой ступени.
Перспектива сохраняет двойное отношение четырех точек. На фото такие удобные точки — это 1, 6, 8 и 11 ступени. На самой лестнице их двойное отношение равно 7/4. Это позволяет найти высоту ступени — она будет примерно равна 24 см. Камеру же держали на высоте 144 см над площадкой.
Решение задачи на рисунке.
Звезды в кристалле. Решение
Данное утверждение про выпуклый пятиугольник очень трудно доказать ( да и заметить) без соображений проективной геометрии. Просто потому, что у произвольного выпуклого пятиугольника слишком много степеней свободы для доказательства через вычисления. А данный факт прямо связан с теоремой Брианшона и с эллипсом, который можно вписать в такой пятиугольник. Удивительно, что точки касания его со сторонами пятиугольника строятся одной линейкой. Эти точки и являются вершинами зеленой звезды в кристалле.
Должен заметить, что идея правильного решения была лишь в одном комментарии к этой задаче. И особенно приятно, что написал его человек, которого я в школе учил геометрии :)
Данное утверждение про выпуклый пятиугольник очень трудно доказать ( да и заметить) без соображений проективной геометрии. Просто потому, что у произвольного выпуклого пятиугольника слишком много степеней свободы для доказательства через вычисления. А данный факт прямо связан с теоремой Брианшона и с эллипсом, который можно вписать в такой пятиугольник. Удивительно, что точки касания его со сторонами пятиугольника строятся одной линейкой. Эти точки и являются вершинами зеленой звезды в кристалле.
Должен заметить, что идея правильного решения была лишь в одном комментарии к этой задаче. И особенно приятно, что написал его человек, которого я в школе учил геометрии :)
Равные площади
Эта задача про четырехугольник замечательна как общностью своей формулировки, так и подходами к ее решению. Ее можно решить классическим способом, а можно через линейную функцию. Попробуйте это сделать.
Останется ли утверждение задачи верным, если четырехугольник будет невыпуклым?
Краткие решения пишите в комментариях.
Эта задача про четырехугольник замечательна как общностью своей формулировки, так и подходами к ее решению. Ее можно решить классическим способом, а можно через линейную функцию. Попробуйте это сделать.
Останется ли утверждение задачи верным, если четырехугольник будет невыпуклым?
Краткие решения пишите в комментариях.
Эллипс в четырехугольнике
Продолжаем серию задач на проективные преобразования.
В выпуклый четырехугольник можно вписать много эллипсов. Их центры всегда лежат на одной прямой — эту замечательную теорему доказал еще Исаак Ньютон. Оказывается, лишь одна точка касания эллипса со стороной четырехугольника определяет его положение. Предлагается циркулем и линейкой построить по одной такой точке К центр эллипса и три другие его точки касания со сторонами.
Почему они однозначно определяют эллипс?
Продолжаем серию задач на проективные преобразования.
В выпуклый четырехугольник можно вписать много эллипсов. Их центры всегда лежат на одной прямой — эту замечательную теорему доказал еще Исаак Ньютон. Оказывается, лишь одна точка касания эллипса со стороной четырехугольника определяет его положение. Предлагается циркулем и линейкой построить по одной такой точке К центр эллипса и три другие его точки касания со сторонами.
Почему они однозначно определяют эллипс?
Равные площади. Решение.
Данную задачу не так легко решить классическими школьными методами — попробуйте это сделать!
Здесь более уместен другой линейно-алгебраический подход: сумма площадей двух треугольников с вершинами на одной прямой, противоположные стороны которых — данные отрезки, меняется линейно на этой прямой. Так как в двух точках значения такой линейной функции равны, то она — константа.
Интересно, что точно так же можно доказать, что для всех точек прямой, проходящей через основания двух биссектрис треугольника, расстояние до одной его стороны равно сумме расстояний до двух других.
Данную задачу не так легко решить классическими школьными методами — попробуйте это сделать!
Здесь более уместен другой линейно-алгебраический подход: сумма площадей двух треугольников с вершинами на одной прямой, противоположные стороны которых — данные отрезки, меняется линейно на этой прямой. Так как в двух точках значения такой линейной функции равны, то она — константа.
Интересно, что точно так же можно доказать, что для всех точек прямой, проходящей через основания двух биссектрис треугольника, расстояние до одной его стороны равно сумме расстояний до двух других.
Лето прошло
Вот и лето прошло — как не бывало…
Поздравляю всех подписчиков нашего канала с началом учебной осени. Летом многие отдыхали: кто гнал велосипед по проселкам, кто в гамаке качался и книжки читал, кто грибы собирал да ягоды, а кто окунался в пену морскую.
Это стихотворение — вам подарок с берега океана.
А как получилось такое фото, попробуйте догадаться :)
Вот и лето прошло — как не бывало…
Поздравляю всех подписчиков нашего канала с началом учебной осени. Летом многие отдыхали: кто гнал велосипед по проселкам, кто в гамаке качался и книжки читал, кто грибы собирал да ягоды, а кто окунался в пену морскую.
Это стихотворение — вам подарок с берега океана.
А как получилось такое фото, попробуйте догадаться :)
Подарок к учебному году – тригонометрический круг
Замечательный подарок к началу учебного года!
Один из наших читателей создал сайт https://sin-cos.pro/ru , на котором собрано все, что нужно для изучения тригонометрии. Таблицы значений, основные формулы, а главное - интерактивный тригонометрический круг, который можно двигать и наблюдать, как меняются значения функций при изменении угла. Думаю, будет полезно и школьникам, и учителям.
Сайт совершенно бесплатный, не нужна даже регистрация. Он придуман человеком, который помнит, как порой сложно даётся тригонометрия и как им когда-то ее объясняли в школе с помощью такого круга, сделанного из дерева и металла.
Если у вас есть свой проект, которым вы хотите поделиться в нашем канале, пишите админу ))
Замечательный подарок к началу учебного года!
Один из наших читателей создал сайт https://sin-cos.pro/ru , на котором собрано все, что нужно для изучения тригонометрии. Таблицы значений, основные формулы, а главное - интерактивный тригонометрический круг, который можно двигать и наблюдать, как меняются значения функций при изменении угла. Думаю, будет полезно и школьникам, и учителям.
Сайт совершенно бесплатный, не нужна даже регистрация. Он придуман человеком, который помнит, как порой сложно даётся тригонометрия и как им когда-то ее объясняли в школе с помощью такого круга, сделанного из дерева и металла.
Если у вас есть свой проект, которым вы хотите поделиться в нашем канале, пишите админу ))
Путь из точки А в точку В
Пару месяцев назад редакция журнала Тинькофф—образование взяла у меня интервью. В нем я ответил на много вопросов: почему я стал учителем, зачем написал учебник, какие задачи интересны детям, что делаю в свободное от работы время, какие математические модели можно потрогать руками, нужна ли история науки в школе, работает ли сейчас социальный лифт в образовании.
Это интервью вышло пару дней назад. Вот ссылка на него:
https://j.tinkoff.ru/e-tg/maths-schoolbook/
Кстати, в комментариях к этому интервью развернулась целая дискуссия о пользе геометрии в школьном образовании.
Пару месяцев назад редакция журнала Тинькофф—образование взяла у меня интервью. В нем я ответил на много вопросов: почему я стал учителем, зачем написал учебник, какие задачи интересны детям, что делаю в свободное от работы время, какие математические модели можно потрогать руками, нужна ли история науки в школе, работает ли сейчас социальный лифт в образовании.
Это интервью вышло пару дней назад. Вот ссылка на него:
https://j.tinkoff.ru/e-tg/maths-schoolbook/
Кстати, в комментариях к этому интервью развернулась целая дискуссия о пользе геометрии в школьном образовании.
Т—Ж
Как я пишу учебники по геометрии
История учителя, который любит составлять задачи
Клетчатая бумага
Клетчатая бумага в планиметрии — это отличная основа для быстрых упражнений почти на все темы школьного курса. Для таких задач практически не нужно писать условие — ученикам всё понятно сразу на рисунке. В нашем учебнике есть упражнения и задачки на клетчатой бумаге на углы и отрезки, равные треугольники, тригонометрию, площади и окружности, подобие, теорему Пифагора, степени точек и неравенства.
Три задачи в этом посте про одну и ту же окружность и сразу на три разные темы: вписанные углы, подобные треугольники и площади.
В комментарии, как обычно, пока пишите только ответы.
Клетчатая бумага в планиметрии — это отличная основа для быстрых упражнений почти на все темы школьного курса. Для таких задач практически не нужно писать условие — ученикам всё понятно сразу на рисунке. В нашем учебнике есть упражнения и задачки на клетчатой бумаге на углы и отрезки, равные треугольники, тригонометрию, площади и окружности, подобие, теорему Пифагора, степени точек и неравенства.
Три задачи в этом посте про одну и ту же окружность и сразу на три разные темы: вписанные углы, подобные треугольники и площади.
В комментарии, как обычно, пока пишите только ответы.
ПОЛЕЗНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Для наших новых подписчиков делаю обзор материалов, которые я выкладывал в сентябре прошлого года:
- Презентация по теме «Первые учёные»
- Работа на повторение 7 класса
- Работа на повторение 8 класса
- Материалы к параграфу «Точка, прямая, плоскость»
- Подборка задач на повторение вписанных углов для 9 класса
- Листок по знакам и кванторам
- Работа по единицам измерения для 7 класса
- Варианты контрольных на параллелограммы и прямоугольники для 8 класса
- Контрольная для 7 класса
Нужно ли в будущем делать такие обзоры? Если да, поставьте 👍
Для наших новых подписчиков делаю обзор материалов, которые я выкладывал в сентябре прошлого года:
- Презентация по теме «Первые учёные»
- Работа на повторение 7 класса
- Работа на повторение 8 класса
- Материалы к параграфу «Точка, прямая, плоскость»
- Подборка задач на повторение вписанных углов для 9 класса
- Листок по знакам и кванторам
- Работа по единицам измерения для 7 класса
- Варианты контрольных на параллелограммы и прямоугольники для 8 класса
- Контрольная для 7 класса
Нужно ли в будущем делать такие обзоры? Если да, поставьте 👍
Клетчатая бумага. Решение.
Выкладываю решения трех задач на клетчатой бумаге. В комментариях к посту с их условиями есть верные ответы ко всем задачам, но ни у кого из написавших эти ответы не было трех правильных.
Удивительно, что треугольник на рисунке Б действительно равносторонний! Другое доказательство этого смотрите в комментарии от Дениса Егорова к этому посту:)
Еще одно интересное наблюдение: прямые ВК и СМ на рисунке В пересекаются в точке А данной окружности.
Подумайте, почему так будет!
Выкладываю решения трех задач на клетчатой бумаге. В комментариях к посту с их условиями есть верные ответы ко всем задачам, но ни у кого из написавших эти ответы не было трех правильных.
Удивительно, что треугольник на рисунке Б действительно равносторонний! Другое доказательство этого смотрите в комментарии от Дениса Егорова к этому посту:)
Еще одно интересное наблюдение: прямые ВК и СМ на рисунке В пересекаются в точке А данной окружности.
Подумайте, почему так будет!
Шляпа Эйнштейна
Чуть больше года назад в теории паркетов было сделано удивительное открытие: английский любитель математики Дэвид Смит придумал «шляпу Эйнштейна» — единственный камень или плитку, копиями которой без пропусков и наложений можно заполнить всю плоскость. Главное ее свойство в том, что полученный паркет никогда не повторяется, то есть его невозможно никаким сдвигом совместить самим с собой. Раньше самым простым паркетом, не имеющим периода, была мозаика Пенроуза: он составил ее в 1974 году с помощью двух ромбов.
Плитка Смита имеет 13 углов и действительно похожа на фетровую шляпу. А имя Эйнштейна — просто игра слов, ведь в переводе с немецкого фамилия гениального физика значит «один камень». Интересно, что сам Альберт Эйнштейн шляп носить не любил, предпочитая им носовые платки. Может быть, поэтому Роберт Фэтхауэр заменил часть «шляп» на «рубашки» и создал художественный беспорядок бесконечного гардероба — мозаику наподобие Эшера.
Продолжение следует. Ждите задачу о таких плитках!
Чуть больше года назад в теории паркетов было сделано удивительное открытие: английский любитель математики Дэвид Смит придумал «шляпу Эйнштейна» — единственный камень или плитку, копиями которой без пропусков и наложений можно заполнить всю плоскость. Главное ее свойство в том, что полученный паркет никогда не повторяется, то есть его невозможно никаким сдвигом совместить самим с собой. Раньше самым простым паркетом, не имеющим периода, была мозаика Пенроуза: он составил ее в 1974 году с помощью двух ромбов.
Плитка Смита имеет 13 углов и действительно похожа на фетровую шляпу. А имя Эйнштейна — просто игра слов, ведь в переводе с немецкого фамилия гениального физика значит «один камень». Интересно, что сам Альберт Эйнштейн шляп носить не любил, предпочитая им носовые платки. Может быть, поэтому Роберт Фэтхауэр заменил часть «шляп» на «рубашки» и создал художественный беспорядок бесконечного гардероба — мозаику наподобие Эшера.
Продолжение следует. Ждите задачу о таких плитках!
Кольцо из черепах
После изобретения шляпы Эйнштейна, были найдены другие плитки, которые при любом способе их укладки на плоскость дают мозаику без периода — одна из них, черепаха, показана на фото справа. Для наглядности мы сделали ее из фанеры. Как и шляпа Эйнштейна, черепаха имеет 13 углов, равных 90, 120, 240 и 270 градусов. У черепахи 12 равных сторон, а последняя длиннее их ровно в 2 раза.
Оказалось, что из 12 черепах можно сделать замкнутый круг или «кольцо» — оно показано на фото слева. Периметр нашей Черепахи 35 см. А задача в том, чтобы с точностью до 1 мм найти ширину такого «кольца из черепах», то есть расстояние между любой парой его параллельных сторон.
После изобретения шляпы Эйнштейна, были найдены другие плитки, которые при любом способе их укладки на плоскость дают мозаику без периода — одна из них, черепаха, показана на фото справа. Для наглядности мы сделали ее из фанеры. Как и шляпа Эйнштейна, черепаха имеет 13 углов, равных 90, 120, 240 и 270 градусов. У черепахи 12 равных сторон, а последняя длиннее их ровно в 2 раза.
Оказалось, что из 12 черепах можно сделать замкнутый круг или «кольцо» — оно показано на фото слева. Периметр нашей Черепахи 35 см. А задача в том, чтобы с точностью до 1 мм найти ширину такого «кольца из черепах», то есть расстояние между любой парой его параллельных сторон.
Геометрия - дочь архитектуры
Завтра с такой лекцией я выступлю для учителей Томска и расскажу о том, что может дать геометрия школьникам, а также о своем опыте преподавания и учебниках.
Это мероприятие организовано СИБУРом, и пройдет оно 21 сентября в 10:00 по адресу Томск, Береговая 6.
После обеда там же запланирован семинар для учителей.
Пока неизвестно, будет ли онлайн-трансляция или запись. Если да, обязательно выложу ссылку.
Завтра с такой лекцией я выступлю для учителей Томска и расскажу о том, что может дать геометрия школьникам, а также о своем опыте преподавания и учебниках.
Это мероприятие организовано СИБУРом, и пройдет оно 21 сентября в 10:00 по адресу Томск, Береговая 6.
После обеда там же запланирован семинар для учителей.
Пока неизвестно, будет ли онлайн-трансляция или запись. Если да, обязательно выложу ссылку.