Новый год - новая задача! :)

Еще один забавный факт про описанный четырехугольник. Тут можно найти короткое хитрое решение в строчку. А можно утонуть в счете и прийти в никуда...

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD.
(!) IA⋅IC + IB⋅ID = sqrt(AB⋅BC⋅CD⋅DA)

Новогодняя разминка!

Одна из моих любимых задач по геометрии

Точка К – середина отрезка АІ, где I это центр вписанной окружности
треугольника АВС. Прямые ВІ, СI вторично пересекают окружность (АBC) в точках Во, Со соответственно. На прямых АВо, АСо отмечены точки Р и Q соответственно так, что прямые BK и BP симметричны относительно BI, а прямые CK и CQ симметричны относительно CI
(!) Точки P, Q, І коллинеарны

То самое короткое решение этой задачи.
За a, b, c, d обозначим длины касательных из A, B, C, D к вписанной в ABCD окружности, R ее радиус.
Пусть AB, BC, CD, DA касаются вписанной в ABCD окружности в точках X, Y, Z, T. Пусть X', Z' симметричны X, Z относительно I. Тогда, из теоремы Птолемея для X'YZ'T имеем равенство: YT*XZ = R²*XY*ZT/ac + R²*YZ*XT/bd. Осталось заметить, что AB = YT*IA*IB/2R² (упражнение на площади), и записывая три аналогичных равенства и подставляя их в sqrt(AB*BC*CD*DA), побеждаем.

Утренняя разминка

На внешние биссектрисы углов треугольника опустили перпендикуляры из его вершин
(!) Основания всех перпендикуляров лежат на одной окружности
(!) Её центр лежит на прямой, проходящей через инцентр и центр масс треугольника

Потрясающая задача!

Вписанная в треугольник ABC окружность касается AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁. Три таракана ползут по AA₁, BB₁, CC₁ с постоянными скоростями так, что в какой-то момент времени они находятся в A, B, C, а в другой момент времени они находятся в A₁, B₁, C₁. Пусть в какой-то момент они оказались на одной прямой p₁, а в другой момент на одной прямой p₂.
(!) Прямые p₁ и p₂ перпендикулярны

Через две вершины вписанного четырёхугольника провели произвольную окружность ω. Из двух других вершин провели к ней касательные.
(!) Для любой окружности ω прямая через точки касания проходит через фиксированную точку

Хочу дать подсказку по этой задаче. Никто пока не написал решения, и она очень даже сложная на мой взгляд.

Пусть ABC, DEF два треугольника. Тогда перпендикуляры, опущенные из A, B, C на FE, DF, DE пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры из D, E, F на BC, AC, AB пересекаются в одной точке. Этот факт известен как теорема Штейнера, доказывается через теорему Карно. В этом случае ABC, DEF называются ортологичными. Точка пересечения перпендикуляров из вершин A, B, C на стороны DEF называется центром ортологии треугольника ABC на DEF.

Подсказка. Докажите, что если At, Bt, Ct - тараканы в момент времени t, то для любого t треугольники ABC, AtBtCt ортологичны. После этого проследите за центром ортологии из ABC на AtBtCt.

Неожиданным образом здесь вылезает гипербола Фейербаха и ее асимптоты.

Хорошая задача на хорошую идею. Я дурею от этой идеи...

Вписанная в четырехугольник ABCD окружность w касается его сторон BC и AD в точках E и F. Прямая ED вторично
пересекает w в точке X. Оказалось, что (FXD) касается AB и CD.
(!) Точки A, F, X, C лежат на одной окружности

Инверсия

Небольшой гайд по инверсии для тех, кто с ней недостаточно знаком

Полезные факты:
1. Можно делать инверсию всей картинки целеком и доказывать новый факт, радиус не имеет значения. Примеры такого решения можно найти по ссылкам ниже.
2. Можно брать адекватный радиус и отмечать точки и их инверсные образы на одной картинке и получать про неё новую полезную информацию. Пример решения задачи таким образом.
3. При работе с длинами отрезков зачастую удобно делать инверсию всей картинки, а радиус брать за единичный.
4. При инверсии в вершине треугольника бывает удобно делать ещё и симметрию относительно биссектриссы угла, так как такое преобразование сохраняет ориентацию треугольников. То есть инверсия+симметрия в вершине В и R² = BA⋅BC переводит треугольник в себя (в смысле положения вершин относительно друг друга)
5. Зачастую полезно смотреть за углами между окружностями/прямыми, чтобы удобнее определить образ объекта при инверсии. Особенно это полезно в стереометрии.
6. При инверсии в ортоцентре Н треугольника АВС его вершины переходят в такие точки, что H – инцентр A'B'C'
7. Ссылки на хорошие видео про инверсию и листики (в том числе на инверсию в стереометрии) приклепил ниже.

Полезные материалы:
Видео про инверсию и инверсимметрию от matholymp
Стрим Ф.Л. Бахарева на тему инверсии

Листики:

Раз уж речь зашла про инверсию, добавлю от себя задачку. Эта задача – обобщение задачи 8 с первого тура матбоев высшей лиги Колма прошлого года. Это обобщение я придумал на туре, во время решения. В исходной задаче точка L была основанием биссектрисы из угла A

Точка L лежит на биссектрисе угла A остроугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром AL пересекает AB, AC и (ABC) второй раз в точках E, F и D. Точки X, Y на меньших дугах AB, AC окружности (ABC) таковы, что AE = AF = AX = AY.
(!) DL, EX и FY пересекаются в одной точке

Добрая задача

BH = CR
(!) 2MN = AC