Дорогие коллеги!
Когда я готовил вечерний пост, продолжающий публикации по съёмкам нашего канала, мне на телефон пришла очень грустная новость... Сегодня не стало, возможно, моего лучшего друга на факультете ВМК МГУ, Василия Васильевича Тихомирова... Недавно мы делали на Ёжике пост с его семинарами, и писали о его серьёзной болезни: vk.com/mathhedgehog?w=wall-...
к несчастью, ситуация с его состоянием с тех пор не улучшилась...
Спите спокойно, Василий Васильевич... А мы будем смотреть записи ваших семинаров, слушать Ваш "трескучий" голос, и вспоминать, что на факультете ВМК МГУ работал человек, исключительно похожий на Абрахама Френкеля, одного из создателей аксиоматики ZFC...
#ёжик_в_матане
Когда я готовил вечерний пост, продолжающий публикации по съёмкам нашего канала, мне на телефон пришла очень грустная новость... Сегодня не стало, возможно, моего лучшего друга на факультете ВМК МГУ, Василия Васильевича Тихомирова... Недавно мы делали на Ёжике пост с его семинарами, и писали о его серьёзной болезни: vk.com/mathhedgehog?w=wall-...
к несчастью, ситуация с его состоянием с тех пор не улучшилась...
Спите спокойно, Василий Васильевич... А мы будем смотреть записи ваших семинаров, слушать Ваш "трескучий" голос, и вспоминать, что на факультете ВМК МГУ работал человек, исключительно похожий на Абрахама Френкеля, одного из создателей аксиоматики ZFC...
#ёжик_в_матане
Небольшая зарисовка о Шерлоке Холмсе. Перечитал рассказ Silver Blaze, в русском переводе "Серебряный". Про лошадь, бега, мошенничество на скачках и, конечно, логику. Обратил внимание на такой нюанс.
В кармане убитого нашли то-то и сё-то, в том числе счёт за платье ценой 37 фунтов 15 шиллингов. Комментарий Холмса: "22 гинеи — многовато за одно платье!"
Я знаю, что в Англии той эпохи денежная система была крайне некруглой, но всё равно впечатлился скорости устного счёта мистера Холмса. И ведь это не его выдающиеся способности, это умел делать всякий. Собеседники ничуть не удивились, а полковник Росс, который владелец лошади, не оценил великого сыщика по достоинству поначалу и, следовательно, арифметические способности его его не впечатлили.
Давайте сначала решим задачу. Я сделал это лёжа в ванне в уме, но результат мне не показался верным.
Итак. В фунте должно быть нечётное число шиллингов, иначе цена платья будет нечётной и на 22 не поделится. Пусть в фунте 2х+1 шиллинг, а в гинее у шиллингов.
Тогда платье стоит 74х+52 шиллинга, и это 22 гинеи или 22у шиллингов.
То есть 37х+26 должно делиться на 11. Возьмём х=10 и получим 396, которое равно 11*36.
Итак, в гинее 36 шиллингов, а в фунте 21 шиллинг.
На самом же деле в фунте 20 шиллингов, а в гинее 21 шиллинг.
Но это не подходит! Даже приближенно.
Я сверился по тексту оригинала. Суммы такие.
Пишут, что золотая гинея меняла свою стоимость в шиллингах и не исключено, что в тот момент она была 36 шиллингов, а не 21.
Или автор ошибся просто.
Но в любом случае, удивительно. Видимо, финансовая система Великобритании стимулировала навыки устного счета. Умножить в уме 37 на 21 и поделить на 36, не округляя (я бы сказал, что 21 и всё) — это уровень.
Правда, мать Джима в "Острове сокровищ" "умела считать только гинеи", что вообще странно: гинея была золотой монетой и довольно дорогой. Сравнительно бедная содержательница таверны вряд ли ничего, кроме гиней, не видела. Хотя возможно, что просто в сундуке Бонса были только золотые монеты разных стран, а женщина знакома была только с отечественными.
Не сразу опознаешь луидоры: louis d’ors
Те же знаменитые пиастры называются у Стивенсона pieces of eight, потому что эти песо делились на семь реалов. Делились иногда физически, ножом. Именно это имя орал попугай Сильвера: "Пиастры! Пиастры! Пиастры!".
В другом рассказе про Холмса, "Постоянный пациент", доктор говорит, что его спонсор забирал три четверти заработка, а именно 5 шиллингов три пенса с каждой гинеи. Это сразу даёт стоимость гинеи в 20 шиллингов 12 пенсов. Если шиллинг это 12 пенсов (а так и было), то гинея 21 шиллинг (как и было). Если же мы этого не знаем, то вынуждены полагаться на вычисленные нами 36 шиллингов, что дает равенство 16 шиллингов = 12 пенсов, что не очень-то лепо.
Похоже, что автор ошибся просто.
Возвращаясь к рассказу, с которого начинали: не раскрыт вопрос, сообщили ли вдове убитого о любовнице, которой и было куплено платье, и сообщили ли любовнице о том, что платье последнее.
Впрочем, это уже не математический вопрос.
В другом рассказе, "Медные буки", девушка рассказывает Холмсу, что работает гувернанткой (у состоятельных, очевидно, людей!) и получала 4 фунта в месяц (плюс жильё и питание, конечно, но всё-таки). Ей предложили 100 в год, потом подняли до 120, и она была шокирована щедростью. Холмс говорит, что легко найти человека за 40.
Итак, платье для любовницы стоило как годовая зарплата учительницы.
На наши деньги, положим, это тысяч триста-четыреста.
Милые дамы, прошу пояснить: если это не фантазия сэра Конан Дойла, то на кой зачем вам такие дорогие предметы одежды?
В кармане убитого нашли то-то и сё-то, в том числе счёт за платье ценой 37 фунтов 15 шиллингов. Комментарий Холмса: "22 гинеи — многовато за одно платье!"
Я знаю, что в Англии той эпохи денежная система была крайне некруглой, но всё равно впечатлился скорости устного счёта мистера Холмса. И ведь это не его выдающиеся способности, это умел делать всякий. Собеседники ничуть не удивились, а полковник Росс, который владелец лошади, не оценил великого сыщика по достоинству поначалу и, следовательно, арифметические способности его его не впечатлили.
Давайте сначала решим задачу. Я сделал это лёжа в ванне в уме, но результат мне не показался верным.
Итак. В фунте должно быть нечётное число шиллингов, иначе цена платья будет нечётной и на 22 не поделится. Пусть в фунте 2х+1 шиллинг, а в гинее у шиллингов.
Тогда платье стоит 74х+52 шиллинга, и это 22 гинеи или 22у шиллингов.
То есть 37х+26 должно делиться на 11. Возьмём х=10 и получим 396, которое равно 11*36.
Итак, в гинее 36 шиллингов, а в фунте 21 шиллинг.
На самом же деле в фунте 20 шиллингов, а в гинее 21 шиллинг.
Но это не подходит! Даже приближенно.
Я сверился по тексту оригинала. Суммы такие.
Пишут, что золотая гинея меняла свою стоимость в шиллингах и не исключено, что в тот момент она была 36 шиллингов, а не 21.
Или автор ошибся просто.
Но в любом случае, удивительно. Видимо, финансовая система Великобритании стимулировала навыки устного счета. Умножить в уме 37 на 21 и поделить на 36, не округляя (я бы сказал, что 21 и всё) — это уровень.
Правда, мать Джима в "Острове сокровищ" "умела считать только гинеи", что вообще странно: гинея была золотой монетой и довольно дорогой. Сравнительно бедная содержательница таверны вряд ли ничего, кроме гиней, не видела. Хотя возможно, что просто в сундуке Бонса были только золотые монеты разных стран, а женщина знакома была только с отечественными.
Не сразу опознаешь луидоры: louis d’ors
Те же знаменитые пиастры называются у Стивенсона pieces of eight, потому что эти песо делились на семь реалов. Делились иногда физически, ножом. Именно это имя орал попугай Сильвера: "Пиастры! Пиастры! Пиастры!".
В другом рассказе про Холмса, "Постоянный пациент", доктор говорит, что его спонсор забирал три четверти заработка, а именно 5 шиллингов три пенса с каждой гинеи. Это сразу даёт стоимость гинеи в 20 шиллингов 12 пенсов. Если шиллинг это 12 пенсов (а так и было), то гинея 21 шиллинг (как и было). Если же мы этого не знаем, то вынуждены полагаться на вычисленные нами 36 шиллингов, что дает равенство 16 шиллингов = 12 пенсов, что не очень-то лепо.
Похоже, что автор ошибся просто.
Возвращаясь к рассказу, с которого начинали: не раскрыт вопрос, сообщили ли вдове убитого о любовнице, которой и было куплено платье, и сообщили ли любовнице о том, что платье последнее.
Впрочем, это уже не математический вопрос.
В другом рассказе, "Медные буки", девушка рассказывает Холмсу, что работает гувернанткой (у состоятельных, очевидно, людей!) и получала 4 фунта в месяц (плюс жильё и питание, конечно, но всё-таки). Ей предложили 100 в год, потом подняли до 120, и она была шокирована щедростью. Холмс говорит, что легко найти человека за 40.
Итак, платье для любовницы стоило как годовая зарплата учительницы.
На наши деньги, положим, это тысяч триста-четыреста.
Милые дамы, прошу пояснить: если это не фантазия сэра Конан Дойла, то на кой зачем вам такие дорогие предметы одежды?
Уважаемые коллеги!
Я поставил перед собой цель — отправить в редакцию URSS книгу с лекциями по математическому анализу (Ёжика) до конца февраля! Тогда есть большой шанс, что этим летом книга будет издана! Книга, в которую вкладываешь свою душу (знаю по опыту А. А. Кулешова), не может быть закончена быстро. Почти каждый раз, когда я перечитываю свою работу, я нахожу мелкие недочёты (а иногда и более серьёзные).
Сейчас я более-менее уверен в материале первого и второго семестров (главы 1–17), а также в разделах, посвящённых числовым, функциональным и степенным рядам. В данный момент я работаю над главой о кратных интегралах. Хотелось бы полностью переписать её, но, вероятно, придётся оставить как есть. Следующей на очереди глава об интегрировании по многообразиям и дифференциальных формах. Эта глава, вероятно, будет самой сложной для завершения. Однако две последние главы — об интегралах, зависящих от параметров, и о рядах Фурье — уже почти готовы. Дорогие коллеги, представляю вам первую версию «Ёжика» 2025 года. Буду ждать ваших замечаний и комментариев!
P. S. Сегодня я хотел также выложить ссылку на записи своих лекций, но, видимо, это сделаю позже. Не всё сразу! ;)
#ёжик_пишет
#математический_анализ_I
#математический_анализ_II
Я поставил перед собой цель — отправить в редакцию URSS книгу с лекциями по математическому анализу (Ёжика) до конца февраля! Тогда есть большой шанс, что этим летом книга будет издана! Книга, в которую вкладываешь свою душу (знаю по опыту А. А. Кулешова), не может быть закончена быстро. Почти каждый раз, когда я перечитываю свою работу, я нахожу мелкие недочёты (а иногда и более серьёзные).
Сейчас я более-менее уверен в материале первого и второго семестров (главы 1–17), а также в разделах, посвящённых числовым, функциональным и степенным рядам. В данный момент я работаю над главой о кратных интегралах. Хотелось бы полностью переписать её, но, вероятно, придётся оставить как есть. Следующей на очереди глава об интегрировании по многообразиям и дифференциальных формах. Эта глава, вероятно, будет самой сложной для завершения. Однако две последние главы — об интегралах, зависящих от параметров, и о рядах Фурье — уже почти готовы. Дорогие коллеги, представляю вам первую версию «Ёжика» 2025 года. Буду ждать ваших замечаний и комментариев!
P. S. Сегодня я хотел также выложить ссылку на записи своих лекций, но, видимо, это сделаю позже. Не всё сразу! ;)
#ёжик_пишет
#математический_анализ_I
#математический_анализ_II
Доброго выходного дня, коллеги! 🎇
Пока у всех еще продолжаются новогодние каникулы, предлагаю поразмыслить над таким понятием как "дробная производная".
Напишите, доводилось ли Вам иметь дело с ней в своих научных работах?)
P.S. Картинка позаимствована у паблика "Математика не для всех".
#ёжик_развлекается
#ёжик_предлагает_подумать
Пока у всех еще продолжаются новогодние каникулы, предлагаю поразмыслить над таким понятием как "дробная производная".
Напишите, доводилось ли Вам иметь дело с ней в своих научных работах?)
P.S. Картинка позаимствована у паблика "Математика не для всех".
#ёжик_развлекается
#ёжик_предлагает_подумать
Задачка о правильном треугольнике от нашего друга и коллеги Wild Mathing:
vk.com/video-135395111_4562...
#ёжик_развлекается
#ёжик_смотрит_видео
#школьная_математика
vk.com/video-135395111_4562...
#ёжик_развлекается
#ёжик_смотрит_видео
#школьная_математика
Дорогие коллеги!
В эти праздничные дни мы и группа НТР напоминаем вам не забывать о вечном и насущном — матане. Слушаем трек и раскладываем его в ряд Фурье в уме 😊
#ёжик_развлекается
В эти праздничные дни мы и группа НТР напоминаем вам не забывать о вечном и насущном — матане. Слушаем трек и раскладываем его в ряд Фурье в уме 😊
#ёжик_развлекается
«Толщина» пространства. Версия.
N-мерные шары. Парадокс.
Рассмотрим прямую (линию), принадлежащую обычному трехмерному евклидову геометрическому пространству. Считается, что прямая одномерна — имеет только одно измерение — длину. Но это возможно только в идеальном математическом мире, который умозрительный. Но в процессе обучения или работы, при передаче графической информации, для различения прямых, их надо просто начертить. В этом случае, прямая будет иметь не только протяженность-длину, но и ширину. И эта ширина — ненулевая. Уже после этого, передаваемая информация становится умозрительной, начинает принадлежать идеальному миру субъекта.
Эта ширина прямой минимальна, она как бы «стремится» к нулю, но не является нулевой. За счет ненулевой ширины можно разместить какое-то количество прямых в непосредственной близости одна от другой и какой-то набор таких прямых даст нам плоскость. Плоскость имеет две координаты, например, X и Y и является двумерной. Но и плоскость в третьем взаимно перпендикулярном направлении Z имеет ненулевую «толщину», аналогичную ширине прямой. Плоскость с нулевой толщиной была бы «невидима», то есть не существовала бы в физическом мире. С помощью подобной аналогии надо сделать вывод, что объект трехмерного геометрического пространства (допустим, что это куб) в четвертом направлении W, взаимно перпендикулярном к X, Y, Z, также имеет ненулевую толщину (обозначим её Δ).
Получается, в общем случае, что каждое геометрическое пространство с размерностью N имеет протяженность в пространстве с размерностью (N+1), которую можно условно назвать «толщиной» пространства и обозначить как Δ. При этом Δ ≈ 0, но Δ ≠ 0. Это справедливо для случая представления N-мерных геометрических пространств, которые представлены «слиянием» пространств с мерностью (N-1)
Описывая толщину пространства, мы установили, что куб имеет четвертое направление на оси W и «расстояние» на этой оси равно Δ. Но почему мы этого не наблюдаем? Здесь можно сказать, что в нашем трехмерном мире все геометрические объекты трехмерны — точка это маленький шарик, у которого есть ненулевой радиус, прямая — это «проволока», плоскость — «лист бумаги», а трехмерный куб — это, например, кубик из детского конструктора. То есть наше восприятие не только «не видит» продолжение трехмерного куба в четвертом направлении W, но также «не видит» измерения, меньше трех.
Наблюдатель-человек находится внутри воспринимаемого трехмерного пространства и не обнаруживает Δ на W, поскольку не может выйти за границы трехмерного объема, хотя каждая точка объема XYZ имеет и координату W, перпендикулярную XYZ, так же, как и каждая точка плоскости XY имеет направление Z, перпендикулярное XY. Также можно спросить — почему мы не можем нарисовать куб так, чтобы обнаружить 4ое измерение? На это надо сказать, что рисунок трехмерных объектов делается с помощью изометрии на плоскости (холсте — двумерном геометрическом пространстве) и является некоторой иллюзией. И если изображение трехмерного объекта искажено на плоскости, то четырехмерный объект на плоскости с какой-либо долей истинности изобразить крайне трудно. То есть, надо «отображать» 4-х мерный объект в 3-х мерный объем с помощью некоторой 3-х мерной изометрии. Но здесь тоже присутствует недочет, поскольку человек-наблюдатель «видит» только «переднюю» часть наблюдаемого объекта. И если изометрия на холсте — это следствие воспринимаемого 3-х мерного пространства (изометрическое изображение идет ПОСЛЕ созерцания), то 4-х мерный объект, невоспринимаемый визуально, еще сложнее истинно отобразить с помощью некоторой изометрии в 3-х мерном геометрическом пространстве.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что первоначальное нольмерное пространство — точка — имеет протяженность во всех направлениях N-мерного геометрического пространства, которая равна Δ.
N-мерные шары. Парадокс.
Рассмотрим прямую (линию), принадлежащую обычному трехмерному евклидову геометрическому пространству. Считается, что прямая одномерна — имеет только одно измерение — длину. Но это возможно только в идеальном математическом мире, который умозрительный. Но в процессе обучения или работы, при передаче графической информации, для различения прямых, их надо просто начертить. В этом случае, прямая будет иметь не только протяженность-длину, но и ширину. И эта ширина — ненулевая. Уже после этого, передаваемая информация становится умозрительной, начинает принадлежать идеальному миру субъекта.
Эта ширина прямой минимальна, она как бы «стремится» к нулю, но не является нулевой. За счет ненулевой ширины можно разместить какое-то количество прямых в непосредственной близости одна от другой и какой-то набор таких прямых даст нам плоскость. Плоскость имеет две координаты, например, X и Y и является двумерной. Но и плоскость в третьем взаимно перпендикулярном направлении Z имеет ненулевую «толщину», аналогичную ширине прямой. Плоскость с нулевой толщиной была бы «невидима», то есть не существовала бы в физическом мире. С помощью подобной аналогии надо сделать вывод, что объект трехмерного геометрического пространства (допустим, что это куб) в четвертом направлении W, взаимно перпендикулярном к X, Y, Z, также имеет ненулевую толщину (обозначим её Δ).
Получается, в общем случае, что каждое геометрическое пространство с размерностью N имеет протяженность в пространстве с размерностью (N+1), которую можно условно назвать «толщиной» пространства и обозначить как Δ. При этом Δ ≈ 0, но Δ ≠ 0. Это справедливо для случая представления N-мерных геометрических пространств, которые представлены «слиянием» пространств с мерностью (N-1)
Описывая толщину пространства, мы установили, что куб имеет четвертое направление на оси W и «расстояние» на этой оси равно Δ. Но почему мы этого не наблюдаем? Здесь можно сказать, что в нашем трехмерном мире все геометрические объекты трехмерны — точка это маленький шарик, у которого есть ненулевой радиус, прямая — это «проволока», плоскость — «лист бумаги», а трехмерный куб — это, например, кубик из детского конструктора. То есть наше восприятие не только «не видит» продолжение трехмерного куба в четвертом направлении W, но также «не видит» измерения, меньше трех.
Наблюдатель-человек находится внутри воспринимаемого трехмерного пространства и не обнаруживает Δ на W, поскольку не может выйти за границы трехмерного объема, хотя каждая точка объема XYZ имеет и координату W, перпендикулярную XYZ, так же, как и каждая точка плоскости XY имеет направление Z, перпендикулярное XY. Также можно спросить — почему мы не можем нарисовать куб так, чтобы обнаружить 4ое измерение? На это надо сказать, что рисунок трехмерных объектов делается с помощью изометрии на плоскости (холсте — двумерном геометрическом пространстве) и является некоторой иллюзией. И если изображение трехмерного объекта искажено на плоскости, то четырехмерный объект на плоскости с какой-либо долей истинности изобразить крайне трудно. То есть, надо «отображать» 4-х мерный объект в 3-х мерный объем с помощью некоторой 3-х мерной изометрии. Но здесь тоже присутствует недочет, поскольку человек-наблюдатель «видит» только «переднюю» часть наблюдаемого объекта. И если изометрия на холсте — это следствие воспринимаемого 3-х мерного пространства (изометрическое изображение идет ПОСЛЕ созерцания), то 4-х мерный объект, невоспринимаемый визуально, еще сложнее истинно отобразить с помощью некоторой изометрии в 3-х мерном геометрическом пространстве.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что первоначальное нольмерное пространство — точка — имеет протяженность во всех направлениях N-мерного геометрического пространства, которая равна Δ.
Будем считать, что N — бесконечно в физическом мире, что требует доказательства или опровержения. По этому случаю есть некоторые соображения. Существуют формулы для расчета объема в N-мерном евклидовом пространстве:
Объем куба:
V(N) = (2R)^N,R — радиус вписанного гипершара в гиперкуб,
N — размерность гиперкуба.
Объем гипершара четной и нечетной размерности:
V(2k) = ( (π^k) / k! ) * (R^2k),
V(2k+1) = ( ( 2 * (k!) * ((4π) ^ k) ) / ( 2k+1)! ) * ( R^(2k+1) ), k ≠ 1.
____________________________
N = 5
Объем куба: V(5) = (2R)^5 = 32 * R^5
k = 2
Объем шара: V(4) = ( (π^2) / 2! ) * R^4 ≈ 4,9348 * R^4,
V(5) = ( (2 * 2! * 16 * π^2) / 5!) * R^5 ≈ 5,263789 * R^5
Объем куба больше объема шара при N = 5
в V(куб)/V(шар) ≈ 6,0792 раз
____________________________
N = 10
Объем куба: V(10) = 1024 * R^10
k = 5
Объем шара: V(10) ≈ 2,5501 * R^10
Объем куба больше объема шара при N = 10
в V(куб)/V(шар) ≈ 401,5427 раз
____________________________
N = 26
Объем куба: V(26) = 67 108 864 * R^26
k = 13
Объем шара: V(26) ≈ 0,000466302 * R^26
Объем куба больше объема шара при N = 26
в V(куб)/V(шар) ≈ 143 916 920 871 раз.
____________________________
N = 48
Объем куба: V(48) = (2,814749767107 * 10^14) * R^48
k = 24
Объем шара: V(48) ≈ 0,00000000000137686 * R^48
Объем куба больше объема шара при N = 48
в V(куб)/V(шар) ≈ 2,044318305051 * 10^26 раз.
Исходя из представленных вычислений видно, что объем гипершара стремится к нулю при стремлении размерности пространства N к бесконечности.
Возможным объяснением может служить то, что, в том числе, у многомерного куба большое количество вершин-углов (2^N). А вершина куба — это «место, где шара нет». Например, у гиперкуба размерности N = 48 (2,814749767107 * 10^14) вершин-углов. При этом длина стороны равна по-прежнему 2R.
#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует
Объем куба:
V(N) = (2R)^N,R — радиус вписанного гипершара в гиперкуб,
N — размерность гиперкуба.
Объем гипершара четной и нечетной размерности:
V(2k) = ( (π^k) / k! ) * (R^2k),
V(2k+1) = ( ( 2 * (k!) * ((4π) ^ k) ) / ( 2k+1)! ) * ( R^(2k+1) ), k ≠ 1.
____________________________
N = 5
Объем куба: V(5) = (2R)^5 = 32 * R^5
k = 2
Объем шара: V(4) = ( (π^2) / 2! ) * R^4 ≈ 4,9348 * R^4,
V(5) = ( (2 * 2! * 16 * π^2) / 5!) * R^5 ≈ 5,263789 * R^5
Объем куба больше объема шара при N = 5
в V(куб)/V(шар) ≈ 6,0792 раз
____________________________
N = 10
Объем куба: V(10) = 1024 * R^10
k = 5
Объем шара: V(10) ≈ 2,5501 * R^10
Объем куба больше объема шара при N = 10
в V(куб)/V(шар) ≈ 401,5427 раз
____________________________
N = 26
Объем куба: V(26) = 67 108 864 * R^26
k = 13
Объем шара: V(26) ≈ 0,000466302 * R^26
Объем куба больше объема шара при N = 26
в V(куб)/V(шар) ≈ 143 916 920 871 раз.
____________________________
N = 48
Объем куба: V(48) = (2,814749767107 * 10^14) * R^48
k = 24
Объем шара: V(48) ≈ 0,00000000000137686 * R^48
Объем куба больше объема шара при N = 48
в V(куб)/V(шар) ≈ 2,044318305051 * 10^26 раз.
Исходя из представленных вычислений видно, что объем гипершара стремится к нулю при стремлении размерности пространства N к бесконечности.
Возможным объяснением может служить то, что, в том числе, у многомерного куба большое количество вершин-углов (2^N). А вершина куба — это «место, где шара нет». Например, у гиперкуба размерности N = 48 (2,814749767107 * 10^14) вершин-углов. При этом длина стороны равна по-прежнему 2R.
#ёжик_пишет
#ёжик_дискутирует
Уважаемые коллеги!
📚 Представляем вашему вниманию подборку книг на тему теории обобщённых функций!
Обобщённая функция или распределение — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.
Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.
С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.
Теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.
Вашему вниманию предлагается
📖 Владимиров В.С. «Обобщенные функции в математической физике»
▫️Кроме общей теории обобщенных функций, включающей преобразования Фурье и Лапласа, а также другие интегральные преобразования, в книге содержится ряд приложений к дифференциальным уравнениям в частных производных и математической физике.
• Обобщенные функции и их свойства.
• Интегральные преобразования обобщенных функций
• Некоторые приложения в математической физике
📖 Агранович М.С. «Обобщенные функции»
▫️Вводный курс по теории обобщенных функций (распределений), написанный на основе лекций, прочитанных автором в Независимом московском университете. Доступен старшекурсникам механико-математических и физико-математических факультетов университетов.
▫️Рассчитан в первую очередь на тех из них, кто специализируется по уравнениям в частных производных или уравнениям математической физики, но может быть полезен также начинающим математикам других направлений, включая прикладников, а также физикам и инженерам.
В курс включены краткий очерк общей теории уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в Rn и теорема Шварца о ядре.
📖 Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. «Введение в теорию обобщенных функций»
▫️Настоящая брошюра содержит полугодовой курс Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова «Введение в теорию обобщенных функций», прочитанный в весеннем семестре 2006 года.
• Предварительные сведения и основные определения
• Топологические и метрические пространства
• Топологические векторные пространства (ТВП)
• Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП)
• Теорема Хана–Банаха
• Бочечные и борнологические пространства
• Индуктивные пределы
• Пространства основных функций.
• Примеры
• Пространство обобщенных функции D'
• Обобщенные функции медленного роста. • Пространство S' (Rn)
• Преобразование Фурье обобщенных функций
• Преобразование Лапласа обобщенных функций
• Асимптотически однородные обобщенные функции
📖 Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. «Теория обобщенных функций: секвенциальный подход»
▫️Теория обобщенных функций в настоящее время завоевала прочное место в арсенале современных математических методов, применяемых не только специалистами-математиками, но также физиками и инженерами. В книге известных польских математиков эта теория излагается исчерпывающим образом - от элементарных ее основ до более глубоких результатов, часть которых публикуется впервые.
▫️Простота и ясность изложения делают книгу доступной широкому кругу читателей, знакомых с математикой в объеме втузовского курса. Она представляет интерес и для специалистов-математиков.
📖 Гальперин И. «Введение в теорию обобщенных функций»
• Функции точки как функционалы.
• Операции над обобщенными функциями.
• Произведение обобщенных функций.
• Сходимость обобщенных функций.
• Непрерывность.
📚 Представляем вашему вниманию подборку книг на тему теории обобщённых функций!
Обобщённая функция или распределение — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.
Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.
С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.
Теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений.
Вашему вниманию предлагается
📖 Владимиров В.С. «Обобщенные функции в математической физике»
▫️Кроме общей теории обобщенных функций, включающей преобразования Фурье и Лапласа, а также другие интегральные преобразования, в книге содержится ряд приложений к дифференциальным уравнениям в частных производных и математической физике.
• Обобщенные функции и их свойства.
• Интегральные преобразования обобщенных функций
• Некоторые приложения в математической физике
📖 Агранович М.С. «Обобщенные функции»
▫️Вводный курс по теории обобщенных функций (распределений), написанный на основе лекций, прочитанных автором в Независимом московском университете. Доступен старшекурсникам механико-математических и физико-математических факультетов университетов.
▫️Рассчитан в первую очередь на тех из них, кто специализируется по уравнениям в частных производных или уравнениям математической физики, но может быть полезен также начинающим математикам других направлений, включая прикладников, а также физикам и инженерам.
В курс включены краткий очерк общей теории уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в Rn и теорема Шварца о ядре.
📖 Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. «Введение в теорию обобщенных функций»
▫️Настоящая брошюра содержит полугодовой курс Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова «Введение в теорию обобщенных функций», прочитанный в весеннем семестре 2006 года.
• Предварительные сведения и основные определения
• Топологические и метрические пространства
• Топологические векторные пространства (ТВП)
• Локально выпуклые топологические пространства (ЛВП)
• Теорема Хана–Банаха
• Бочечные и борнологические пространства
• Индуктивные пределы
• Пространства основных функций.
• Примеры
• Пространство обобщенных функции D'
• Обобщенные функции медленного роста. • Пространство S' (Rn)
• Преобразование Фурье обобщенных функций
• Преобразование Лапласа обобщенных функций
• Асимптотически однородные обобщенные функции
📖 Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. «Теория обобщенных функций: секвенциальный подход»
▫️Теория обобщенных функций в настоящее время завоевала прочное место в арсенале современных математических методов, применяемых не только специалистами-математиками, но также физиками и инженерами. В книге известных польских математиков эта теория излагается исчерпывающим образом - от элементарных ее основ до более глубоких результатов, часть которых публикуется впервые.
▫️Простота и ясность изложения делают книгу доступной широкому кругу читателей, знакомых с математикой в объеме втузовского курса. Она представляет интерес и для специалистов-математиков.
📖 Гальперин И. «Введение в теорию обобщенных функций»
• Функции точки как функционалы.
• Операции над обобщенными функциями.
• Произведение обобщенных функций.
• Сходимость обобщенных функций.
• Непрерывность.
• Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями.
• Свертка.
• Ряды Фурье для обобщенных функций.
📖 Демидов А.С. «Обобщенные функции в математической физике»
▫️В учебном пособии дается взаимосвязанное изложение ряда основных идей, понятий, результатов теории обобщенных функций и уравнений математической физики. Зародившись в недрах математического анализа и уравнений математической физики, теория обобщенных функций преобразила весь современный анализ и, прежде всего, уравнения математической физики.
▫️Поэтому элементы теории обобщенных функций стали необходимы студентам всех физико-математических специальностей. Что же касается студентов, специализирующихся по уравнениям математической физики, то им без знания основ теории обобщенных функций невозможно даже начать сколько-нибудь серьезную работу.
▫️Книга адресована студентам (включая студентов младших курсов) физико-математических специальностей. Она может быть полезна аспирантам и преподавателям.
📖 Микусинский Я., Сикорский Р. «Элементарная теория обобщенных функции» Выпуск 1
▫️Уже сравнительно давно физики и инженеры применяют различные «незаконные» математические приемы, пользуясь расходящимися рядами и интегралами, дельта-функциями типа функции Дирака и т. п.
▫️Математиками (главным образом советскими и французскими) разработана так называемая теория обобщенных функций, в рамках которой указанные выше приемы становятся вполне законными. В брошюрз польских математиков Я. Микусинского и Р. Сикорского дается элементарное введение в теорию обобщенных функций. На базе очень простого определения обобщенных функций авторы развивают основные понятия анализа этих функций: алгебраические действия, дифференцирование, интегрирование, сходимость последовательностей и рядов и т. п.
Для чтения брошюры достаточно знания математического анализа в объеме основного курса технических вузов.
▫️ Брошюра представляет интерес для широкого круга лиц, сталкивающихся с различными приложениями математики и желающих ознакомиться с новыми мощными средствами математического анализа.
📖 Микусинский Я., Сикорский Р. «Элементарная теория обобщённых функций» Выпуск II
▫️Возникновение теории обобщенных функций быстро привело к пересмотру аппарата классического анализа. Новая алгоритмика интересует теперь все более широкий круг специалистов, использующих математику в своей работе. Одна из задач брошюры Минусинского и Сикорского — удовлетворить эту потребность.
Второй выпуск „Теории обобщенных функций" совершенно не зависит от первого, с которым читатели познакомились по русскому переводу, выпущенному в 1959 г.
▫️Предмет второго выпуска — обобщенные функции многих переменных, метод — тот же, что и в первом выпуске: обобщенные функции определяются как „идеальные элементы", присоединяемые к множеству обычных функций подобно тому, как в проективной геометрии бесконечно удаленные точки присоединяются к множеству обычных точек.
▫️Этот метод был улучшен авторами, что сделало построения более свободными и общими.
В отличие от обобщенных функций только конечного порядка, рассматривавшихся в первом выпуске, во втором выпуске рассматриваются произвольные обобщенные функции.
#теория_обобщённых_функций
#обобщенные_функции
• Свертка.
• Ряды Фурье для обобщенных функций.
📖 Демидов А.С. «Обобщенные функции в математической физике»
▫️В учебном пособии дается взаимосвязанное изложение ряда основных идей, понятий, результатов теории обобщенных функций и уравнений математической физики. Зародившись в недрах математического анализа и уравнений математической физики, теория обобщенных функций преобразила весь современный анализ и, прежде всего, уравнения математической физики.
▫️Поэтому элементы теории обобщенных функций стали необходимы студентам всех физико-математических специальностей. Что же касается студентов, специализирующихся по уравнениям математической физики, то им без знания основ теории обобщенных функций невозможно даже начать сколько-нибудь серьезную работу.
▫️Книга адресована студентам (включая студентов младших курсов) физико-математических специальностей. Она может быть полезна аспирантам и преподавателям.
📖 Микусинский Я., Сикорский Р. «Элементарная теория обобщенных функции» Выпуск 1
▫️Уже сравнительно давно физики и инженеры применяют различные «незаконные» математические приемы, пользуясь расходящимися рядами и интегралами, дельта-функциями типа функции Дирака и т. п.
▫️Математиками (главным образом советскими и французскими) разработана так называемая теория обобщенных функций, в рамках которой указанные выше приемы становятся вполне законными. В брошюрз польских математиков Я. Микусинского и Р. Сикорского дается элементарное введение в теорию обобщенных функций. На базе очень простого определения обобщенных функций авторы развивают основные понятия анализа этих функций: алгебраические действия, дифференцирование, интегрирование, сходимость последовательностей и рядов и т. п.
Для чтения брошюры достаточно знания математического анализа в объеме основного курса технических вузов.
▫️ Брошюра представляет интерес для широкого круга лиц, сталкивающихся с различными приложениями математики и желающих ознакомиться с новыми мощными средствами математического анализа.
📖 Микусинский Я., Сикорский Р. «Элементарная теория обобщённых функций» Выпуск II
▫️Возникновение теории обобщенных функций быстро привело к пересмотру аппарата классического анализа. Новая алгоритмика интересует теперь все более широкий круг специалистов, использующих математику в своей работе. Одна из задач брошюры Минусинского и Сикорского — удовлетворить эту потребность.
Второй выпуск „Теории обобщенных функций" совершенно не зависит от первого, с которым читатели познакомились по русскому переводу, выпущенному в 1959 г.
▫️Предмет второго выпуска — обобщенные функции многих переменных, метод — тот же, что и в первом выпуске: обобщенные функции определяются как „идеальные элементы", присоединяемые к множеству обычных функций подобно тому, как в проективной геометрии бесконечно удаленные точки присоединяются к множеству обычных точек.
▫️Этот метод был улучшен авторами, что сделало построения более свободными и общими.
В отличие от обобщенных функций только конечного порядка, рассматривавшихся в первом выпуске, во втором выпуске рассматриваются произвольные обобщенные функции.
#теория_обобщённых_функций
#обобщенные_функции
Для улучшения точности MCST и экономии времени расчетов применяют несколько подходов. Например, распараллеливают процесс построения дерева. Либо выбирают новый ход не случайно, а на основе некоторой оценочной функции. Такую оценочную функцию может выдавать нейросеть, натренированная на реальных сыгранных партиях. То есть нейросети скармливают позиции из сыгранных игр и подстраивают ее веса так, чтобы она правильно предсказывала исход игры, возникшей из данной позиции. Именно такой подход использует Альфа-зеро — она оценивает позицию на доске и выдает распределение вероятностей выигрышей для каждого возможного хода. Только она не использует данные о ранее сыгранных партиях. Для обучения она играла сама с собой и самостоятельно строила свою оценочную функцию.
-------
Более подробно о MCST и Альфа-зеро читайте в статьях:
Поиск по дереву методом Монте-Карло и крестики-нолики.
habr.com/ru/article...
Метод Монте-Карло для поиска в дереве.
habr.com/ru/article...
Monte Carlo Tree Search – beginners guide.
int8.io/monte-carl...
A step-by-step look at Alpha Zero and Monte Carlo Tree Search
joshvarty.github.io/AlphaZero/
AlphaGo Zero explained in one diagram.
medium.com/applied-da...
-------
Напоследок следует упомянуть проект Лила чесс-зеро (Leela Chess Zero).
en.wikipedia.org/wiki/Leela...
Его инициатор — бельгийсикй программист Жан-Карло Паскутто. Он возмутился, что Дипмайнд не выложила код Альфа-зеро в открытый доступ, и решил самостоятельно воспроизвести методику, описанную в статье.
К сожалению, у него не было мощных суперкомпьютеров, способных быстро выполнять MCTS, а на своих ресурсах он бы обучал нейросеть играть в шахматы несколько тысяч лет. "Это слишком долго", — сказал Жан-Карло, и решил распараллелить задачу среди неравнодушных пользователей интернета. В результате появился открытый шахматный ИИ движок LCZero.
lczero.org
Вы и сейчас можете подключиться к обучению Лилы, зайдя на сайт проекта и загрузив на комп специальный клиент:
github.com/LeelaChess...
-------
Таким образом получается, что чистый ИИ, не имеющий знаний о многочисленных шахматных комбинациях и окончаниях, вполне себе может обучиться играть в шахматы просто многократно играя в них. Опыт — это самая ценная вещь, которая у нас есть.
Вопрос закрыт, имхо)
#ёжик_пишет #алгоритмы
-------
Более подробно о MCST и Альфа-зеро читайте в статьях:
Поиск по дереву методом Монте-Карло и крестики-нолики.
habr.com/ru/article...
Метод Монте-Карло для поиска в дереве.
habr.com/ru/article...
Monte Carlo Tree Search – beginners guide.
int8.io/monte-carl...
A step-by-step look at Alpha Zero and Monte Carlo Tree Search
joshvarty.github.io/AlphaZero/
AlphaGo Zero explained in one diagram.
medium.com/applied-da...
-------
Напоследок следует упомянуть проект Лила чесс-зеро (Leela Chess Zero).
en.wikipedia.org/wiki/Leela...
Его инициатор — бельгийсикй программист Жан-Карло Паскутто. Он возмутился, что Дипмайнд не выложила код Альфа-зеро в открытый доступ, и решил самостоятельно воспроизвести методику, описанную в статье.
К сожалению, у него не было мощных суперкомпьютеров, способных быстро выполнять MCTS, а на своих ресурсах он бы обучал нейросеть играть в шахматы несколько тысяч лет. "Это слишком долго", — сказал Жан-Карло, и решил распараллелить задачу среди неравнодушных пользователей интернета. В результате появился открытый шахматный ИИ движок LCZero.
lczero.org
Вы и сейчас можете подключиться к обучению Лилы, зайдя на сайт проекта и загрузив на комп специальный клиент:
github.com/LeelaChess...
-------
Таким образом получается, что чистый ИИ, не имеющий знаний о многочисленных шахматных комбинациях и окончаниях, вполне себе может обучиться играть в шахматы просто многократно играя в них. Опыт — это самая ценная вещь, которая у нас есть.
Вопрос закрыт, имхо)
#ёжик_пишет #алгоритмы
int8.io
Monte Carlo Tree Search - beginners guide
Monte Carlo Tree Search - the beginners guide with python code and references to monte carlo tree search application for Deepmind's AlphaGo
Как алгоритм "Monte Carlo Tree Search" помог чистому шахматному ИИ стать чемпионом.
-------
После предыдущего поста про сверхсложные задачи для ИИ у меня возникла дискуссия с читателем Ежика по поводу шахматного ИИ. Мы пытались выяснить, использует ли Альфа-зеро — наилучший, на данный момент, шахматный ИИ — таблицы шахматных комбинаций для оценки позиции и выбора хода? В частности мы говорили о таблицах шахматных окончаний Налимова — использовала ли их нейросеть на этапе обучения игре в шахматы или нет?
Если ответить кратко, то мы этого не знаем. Потому что Дипмайнд — разработчик Альфе-зеро — не выложила в открытый доступ код алгоритма, а всего лишь опубликовала его описание в статьях.
Silver D. et al. (2016)
Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search.
doi.org/10.1038/na...
Silver D. (2018)
A general reinforcement learning algorithm that masters chess, shogi, and Go through self-play.
doi.org/10.1126/sc...
Как настоящие джентльмены, мы должны научным статьям доверять. Если так, то получается, что Альфа-зеро при рождении являла собой "tabula rasa" — чистую доску, на которой были записаны лишь правила шахматной игры и некоторые начальные оценочные функции. Всему остальному она научилась, сыграв сама с собой огромное количество партий.
А стать наилучшем ИИ по игре в шахматы, а также Го и другие игры, ей помог алгоритм Monte Carlo Tree Search (MCTS) — то бишь метод случайного поиска в дереве (если, конечно, я правильно перевел название алгоритма). Вот давайте его немного и рассмотрим.
--------
Как и все монтекарловские алгоритмы, MCTS до безобразия прост, эффективен, но требует невообразимого количества ресурсов для достижения хороших результатов.
Шахматный ИИ, как и человек, выбирает следующий ход, используя дерево ходов, возможных из текущей позиции. Так как возможных ходов обычно много, и на каждом следующем уровне количество ходов катастрофически увеличивается, то просчитать все варианты ходов не под силу никакому суперкомпьютеру. Поэтому шахматные алгоритмы используют различные приемы, оптимизирующие выбор наилучшего хода. MCTS как раз и является таким приемом.
-------
Представим каждую позицию узлом дерева. В его корень поместим текущую позицию. От нее проведем ветки к позициям возникающим после каждого хода, получив одноуровневое дерево с листьями.
А вот дальше мы не будем продолжать построение дерева от каждого узла, а выберем только один из листов случайным образом. А от него просчитаем партию до конца, каждый раз выбирая ходы случайным образом (вот он метод Монте-Карло!). В конце-концов мы получим какой-то исход, которому припишем целое число: -1 (проигрыш), 0 (ничья), 1 (выигрыш).
Запомним этот результат в листе (узле), с которого мы начали случайное построение дерева. И теперь опять случайным образом выберем один из листов, и от него просчитаем партию до конца, опять же случайным образом выбирая каждый ход.
После многократных повторений этой процедуры и пересчета значений в начальных узлах, мы припишем начальным ходам числовые значения — баллы, равные сумме реультирующих балов всех партий, построенных после этого хода случайным выбором ходов. Каждый балл, соотнесенный к общему количеству партий, покажет вероятность того, что данный конкретный ход приведет к выигрышу. Очевидно, чем больше случайных партий мы просчитаем, тем точнее эти веса будут отражать реальные вероятности выигрышей.
-------
После предыдущего поста про сверхсложные задачи для ИИ у меня возникла дискуссия с читателем Ежика по поводу шахматного ИИ. Мы пытались выяснить, использует ли Альфа-зеро — наилучший, на данный момент, шахматный ИИ — таблицы шахматных комбинаций для оценки позиции и выбора хода? В частности мы говорили о таблицах шахматных окончаний Налимова — использовала ли их нейросеть на этапе обучения игре в шахматы или нет?
Если ответить кратко, то мы этого не знаем. Потому что Дипмайнд — разработчик Альфе-зеро — не выложила в открытый доступ код алгоритма, а всего лишь опубликовала его описание в статьях.
Silver D. et al. (2016)
Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search.
doi.org/10.1038/na...
Silver D. (2018)
A general reinforcement learning algorithm that masters chess, shogi, and Go through self-play.
doi.org/10.1126/sc...
Как настоящие джентльмены, мы должны научным статьям доверять. Если так, то получается, что Альфа-зеро при рождении являла собой "tabula rasa" — чистую доску, на которой были записаны лишь правила шахматной игры и некоторые начальные оценочные функции. Всему остальному она научилась, сыграв сама с собой огромное количество партий.
А стать наилучшем ИИ по игре в шахматы, а также Го и другие игры, ей помог алгоритм Monte Carlo Tree Search (MCTS) — то бишь метод случайного поиска в дереве (если, конечно, я правильно перевел название алгоритма). Вот давайте его немного и рассмотрим.
--------
Как и все монтекарловские алгоритмы, MCTS до безобразия прост, эффективен, но требует невообразимого количества ресурсов для достижения хороших результатов.
Шахматный ИИ, как и человек, выбирает следующий ход, используя дерево ходов, возможных из текущей позиции. Так как возможных ходов обычно много, и на каждом следующем уровне количество ходов катастрофически увеличивается, то просчитать все варианты ходов не под силу никакому суперкомпьютеру. Поэтому шахматные алгоритмы используют различные приемы, оптимизирующие выбор наилучшего хода. MCTS как раз и является таким приемом.
-------
Представим каждую позицию узлом дерева. В его корень поместим текущую позицию. От нее проведем ветки к позициям возникающим после каждого хода, получив одноуровневое дерево с листьями.
А вот дальше мы не будем продолжать построение дерева от каждого узла, а выберем только один из листов случайным образом. А от него просчитаем партию до конца, каждый раз выбирая ходы случайным образом (вот он метод Монте-Карло!). В конце-концов мы получим какой-то исход, которому припишем целое число: -1 (проигрыш), 0 (ничья), 1 (выигрыш).
Запомним этот результат в листе (узле), с которого мы начали случайное построение дерева. И теперь опять случайным образом выберем один из листов, и от него просчитаем партию до конца, опять же случайным образом выбирая каждый ход.
После многократных повторений этой процедуры и пересчета значений в начальных узлах, мы припишем начальным ходам числовые значения — баллы, равные сумме реультирующих балов всех партий, построенных после этого хода случайным выбором ходов. Каждый балл, соотнесенный к общему количеству партий, покажет вероятность того, что данный конкретный ход приведет к выигрышу. Очевидно, чем больше случайных партий мы просчитаем, тем точнее эти веса будут отражать реальные вероятности выигрышей.