Учебный семинар "К-теория ассемблеров" в НМУ. Мысли?

>the only published paper on it was in a conference proceedings where he discussed group-theoretic properties of K_n such as its lower central series

#картинка
https://www.mathnet.ru/rus/mm1241
см. также
https://www.mathnet.ru/rus/present46778

Stephen Wilson:

Many requested more info on the gorilla suit, Lili has come to the rescue.

here’s Jack in the gorilla suit, in our apartment in NYC in 1971. My recollection is that we had rented the suit for Halloween, then hung onto it for a few more days. We drove down to the Empire State Building so he could try climbing it à la King Kong and that may have been when we got stopped by a cop. But most New Yorkers just took it in their stride and paid no special attention to the suit.

Ребята, видео о создании Независимого. Там про всё и вся😊
Только опубликовала видео и на Ютубе - https://www.youtube.com/watch?v=3Y7PWy7I-eM
и на рутубе - https://rutube.ru/video/30d4f2b245b62dfcb18415d74fdb7b72/

Сегодня узнал слово càdlàg.

Кто слышал про gömböc (гёмбёц), наверно подумает, что càdlàg тоже венгерское слово, но это французская аббревиатура для
continue à droite, limite à gauche
— непрерывные справа + имеющие предел слева.
Есть ещё английская аббревиатура RCLL, а если вы ратуете за чистоту русского языка — можете писать НСФсЛП, но лучше не надо.

Если дополнительно потребовать монотонности и f(-∞)=0, f(+∞)=1, то это в точности функции распределения случайных величин,
f(t) = P(ξ ≤ t).

Пространство càdlàg-функций называется пространством Скорохода; там есть следующая метрика: расстояние между функциями f(t) и g(t) — это инфимум выражения
|λ - id| + |f - g o λ|,
где λ(t) пробегает всевозможные замены переменных, а |f| — sup-норма на пространстве функций. То есть, в частности, расстояние не превосходит |f-g|, но разрешено ещё сравнивать функции после перепараметризации (со штрафом за изменение скорости хода).

пообщался с DeepSeek'ом, кажется наконец понял зачем он нужен. Правда, если связь совсем неправдоподобная — он начнёт её опровергать, а не галлюцинировать, и это не так интересно (а тут повезло)

Также попробуйте промты типа:
- Explain the meaning of the "fibration spectral sequence" concept in the philosophy of Jean-Paul Sartre
- On page 235 of Friedrich Nietzsche's book Beyond Good and Evil, there is a algebraic argument mentioned which refers, as an analogy, to the Fermat's Little Theorem. Can you please explain the underlying ideas?

подумалось про теорему Уайтхеда (напомню, она говорит что для CW-комплексов слабая гомотопическая эквивалентность — "алгебраическое" условие что некоторые границы в наших двух пространствах заполняются одинаково — эквивалентна гомотопической эквивалентности — "геометрическому" условию что эти пространства деформируются друг в друга).

Она кажется удивительной по неправильной причине. Неудивительно, что для полиэдров она верна. Удивительно, что геометрически естественные объекты — гладкие / алгебраические многообразия — являются полиэдрами. (Мы к этому привыкли, но это должно было нас шокировать в своё время; думаю, если мы и придумаем "мыслящий компьютер", то ему это знание будет совсем не очевидно)

Вообще мы тут не шутки шутим так что вот (приблизительное) определение и пример. Топологии Гротендика мы обсуждали в посте https://www.group-telegram.com/sweet_homotopy.com/2120 .

Пусть в категории C есть инициальный объект 0, и задана топология Гротендика.

Определение: два морфизма f:A->C, g:B->C не пересекаются, если декартов квадрат A x_C B существует и равен 0.

Определение: покрытие непересекающееся, если любые два разных морфизма из него не пересекаются.

Определение (Инна Захаревич, 2016): наш сайт — ассемблер (программисты, не ржать), если верны три аксиомы:
(I) пустое множество является покрытием для 0
(R) любые два конечных непересекающихся покрытия имеют общее измельчение, которое является конечным непересекающимся покрытием
(M) все морфизмы в С — мономорфизмы (т.е. сократимы слева).

Пример такой C:
объекты = многогранники в R^n (= конечные объединения замкнутых n-симплексов),
морфизмы = вложения (возможно, после сдвига и поворота),
покрытия = теоретико-множественные покрытия.
Тогда покрытие "непересекающееся" в нашем смысле iff попарные пересечения имеют меру 0 (потому что тогда пересечение — не объект в С). Все три аксиомы проверяются, так что получился ассемблер.

Вообще чтоб программистам не было смешно надо было называть "категория-собиратель", но тогда будет смешно всем остальным

Возможно, надо всё бросать и это учить, потому что красиво, потому что наглядные приложения сложной техники ("оправдывающие" её существование), а ещё потому что 55 лет назад:
- Подсчёты Арнольда — у истоков гомологической стабильности
- Идеи (школы) Новикова — у истоков хроматической теории гомотопий

и где

Теорема (пишут, что это Theoreme 7.1 в лекциях Бореля Cohomologie des espaces localement compacts d'apres J. Leray)

Пусть k — кольцо характеристики p>0. Тогда не существует контравариантного функтора A(-) из топологических пространств в (градуированно-)коммутативные dg-алгебры над k, удовлетворяющего свойствам:

(1) H(A(X)) = H(X;k) (когомологии изоморфны, как градуированные кольца);
(2) Если
i: X -> Y — вложение замкнутого подмножества, то
i*: A(Y)->A(X) сюръективно.

Доказательство: рассмотрим X=CPⁿ, Y=Cone(X), где n>p.
По свойству (1), H²(A(X))=<x>, где x=[a] для некоторого коцикла a∈A²(X).
По свойству (2), a=i*(b) для некоторой коцепи b∈A²(Y).
Так как char k = p и A(Y) коммутативна, имеем d(b^p) = p*d(b)*b^{p-1} = 0. То есть, b^p — цикл.
Так как H(A(Y))=H(pt;k), получаем b^p=d(c) для некоторого c∈A(Y).
Из функториальности получаем, что a^p=d(i*c), откуда x^p=0. Но p<n и xⁿ ≠ 0, противоречие!

(В характеристике 0 такой функтор есть, это PL-дифференциальные формы Салливана. Если не требовать коммутативности, то, конечно же, подойдёт A(X) = C*(X;k))

Интересно,
(a) можно ли избавиться от свойства (2) в комментах подсказали что если не требовать сюръективности то подойдёт A(X) = (H(X;k),0)
(b) существует ли такой функтор из подкатегории клеточных комплексов размерности <p

Вроде бы (высшая) гомотопическая ассоциативность и (высшая) гомотопическая коммутативность (умножения где-нибудь) — скорее независимые вещи. Они и кодируются немного разной комбинаторикой: ассоциэдрами vs пермутоэдрами (оба многогранника — частный случай граф-ассоциэдра; обычный ассоциэдр соответствует графу-цепочке, а пермутоэдр — полному графу).

Но есть вот какая связь. Логично, что морфизмы в категории гомотопически ассоциативных колец — это "гомотопические гомоморфизмы"* (то есть для объектов свойство (a*b)*c=a*(b*c) выполнено с точностью до гомотопии, а для морфизмов свойство f(a*b)=f(a)*f(b) выполнено с точностью до гомотопии). С другой стороны, кольцо R коммутативно тогда и только тогда, когда отображение умножения R⊗R->R является гомоморфизмом колец. Вот и "описали гомотопическую коммутативность объекта через гомотопическую ассоциативность морфизма".

*можно, кстати, рассматривать категорию строго ассоциативных колец и "гомотопических гомоморфизмов" (если правильно помню, примерно об этом категория DASH Манкхольма: differential algebras + strongly homotopy multiplicative maps. Сейчас вместо "shm map" мы говорим "A_∞-морфизм")